概率论课后答案

习题1-2

1. 选择题

(1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生.

(C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生.

解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).

(2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.

解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:

(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}；

(4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }.

3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生；

(2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生;

(6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2)

A B C ; (3) ABC ABC ABC ;

(4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C .

4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2

3A A ； (6)12A A .

解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.

习题1-3

1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ).

(A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ .

(C)()()()P AB P A P B =

. (D)()()()P A P AB P AB =+.

解 由文氏图易知本题应选(D).

(2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ).

(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C). 2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ).

解 因

()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= ,

故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =-

3. 已知()

0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .

解 由公式()()()()P A B P A P B P AB =+- 知()0.3P AB =. 于是

()()()0.1.P AB P A P AB =-=

4. 设A , B 为随机事件,()

0.7P A =,()0.3P A B -=, 求()P AB .

解 由公式()()()P A B P A P AB -=-可知,()

0.4P AB =. 于是()0.6P AB =.

5. 设A , B 是两个事件, 且()0.6P A =, ()0.7P B =.问: (1) 在什么条件下()P AB 取到最大值, 最大值是多少？ (2) 在什么条件下()P AB 取到最小值, 最小值是多少？

解 ()()()()P AB P A P B P A B =+- =1.3()P A B - .

(1) 如果A B B = , 即当A B ?时, P B A P =)( ()B =0.7, 则()P AB 有最大值是0.6 . (2) 如果)(B A P =1，或者A B S = 时, ()P AB 有最小值是0.3 .

6. 已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =, 1

()()12

P AC P BC ==, 求A , B , C 全不发生的概

率.

解 因为ABC

AB ?,所以0()P ABC P AB ≤≤（）=0, 即有()P ABC =0.

由概率一般加法公式得

()()()()()()()()

7

.12

P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+= 由对立事件的概率性质知A ,B , C 全不发生的概率是

5()()1()12

P ABC P A B C P A B C ==-=

.

习题1-4

1. 选择题

在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( )．

(A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品. (C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品. 解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为11

322

5

C C C ?, 没有

一等品的概率为

2

3225

C C C ?, 将两者加起即为0.7. 答案为（

D ）.

2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.

解 (1) 恰有1件次品的概率是12545

3

50

C C C ;(2) 恰有2件次品的概率是21

545

3

50

C C C ; (3 )至少有1件次品的概率是

1-03

545350C C C ; (4) 至多有1件次品的概率是035453

50C C C +12

545

350C C C ; (5) 至少有2件次品的概率是21545350C C C +30

545

3

50

C C C .

3. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：

(1) 两个球均为白球的概率；

(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率； (3）至少有一个黑球的概率.

解 从9个球中取出2个球的取法有2

9C 种，两个球都是白球的取法有2

4C 种，一黑一白的取法有1

1

54C C 种，

由古典概率的公式知道

(1) 两球都是白球的概率是2

9

2

4C C ;

(2)

两球中一黑一白的概率是

1154

2

9C C C ;

(3)

至少有一个黑球的概率是12

9

24

C C -.

4. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和小于65;(2) 两数之积小于14

;(3) 以上

两个条件同时满足;(4) 两数之差的绝对值小于

1

2

的概率.

解 设X , Y 为所取的两个数, 则样本空间S = {(X , Y )|0

(1) P {X +Y <65}=1441172550.68125

-??=≈; (2) P {XY <14}=11

41111

1ln 40.64444dx x ?+=+≈?; (3) P {X +Y <65, XY <1

4

}

=0.2680.932110.2680.9325

1616

1()()5545x dx dx x dx x ?+-++-???≈0.593.

(4) 解 设x , y 为所取的两个数, 则样本空间Ω = {(x , y )|0

2

}. 参见图

1-

1.

图1-1 第2题样本空间

故 111123222()14

A

S P A S Ω-???=

==, 其中 S A , S Ω分别表示A 与Ω的面积.

习题1-5

1. 选择题

(1) 设随机事件A , B 满足P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( )

(A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件. (C) AB B =. (D)()()P AB P B =.

解 由条件概率定义可知选(D).

(2) 设A , B 为两个随机事件, 且0()1P A <<, 则下列命题正确的是( ).

(A) 若()()P AB P A =, 则A , B 互斥.

(B) 若()1P B

A =, 则()0P A

B =. (C) 若()()1P AB P AB +=, 则A , B 为对立事件. (D) 若(|

)1P B A =, 则B 为必然事件.

解 由条件概率的定义知选（B ）．

2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取一个数, 记为Y ,求P {Y =2}. 解 解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}

+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4} =

4

1×(0+

21+31+4

1

)=

48

13.

3. 口袋中有b 个黑球、r 个红球, 从中任取一个, 放回后再放入同颜色的球a 个. 设B i ={第i 次取到黑球}, 求

1234()P B B B B .

解 用乘法公式得到

)|()|()|()()(32142131214321B B B B P B B B P B B P B P B B B B P =

.32a

r b a

r a r b r a r b a b r b b +++?++?+++?+=

注意, a = 1和a = 0分别对应有放回和无放回抽样.

4. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.

解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但它显然不能看作三人射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A 表示“飞机在一次三人射击中被击落”, 则(0,1,2,3)i B i =表示“恰有i 发击中目标”. i B 为互斥的完备事件组.

于是

没有击中目标概率为0()0.60.50.30.09P B =??=, 恰有一发击中目标概率为

1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P B =??+??+??=,

恰有两发击中目标概率为

2()0.40.50.30.60.50.70.40.50.70.41P B =??+??+??=,

恰有三发击中目标概率为

3()0.40.50.70.14P B =??=.

又已知 0

12

3

(|)0,(|)0.2,(|)

0.6,(|)1

P A B P A B P A B P A B ====, 所以由全概率公式得到 3

()()(|)0.360.20.410.60.1410.458.i

i

i P A P B P A B ==

=?+?+?=∑

5. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球.

(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率.

解 (1)以A 表示“取得球是白球”，i H 表示“取得球来至第i 个箱子”,i =1,2,3. 则P (i H )=

13, i =1,2,3, 123115

(|),(|),(|)528

P A H P A H P A H ===. 由全概率公式知

P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=

120

53

. (2) 由贝叶斯公式知 P (2

|H A )=

222()()(|)20

()()53

P AH P H P A H P A P A ==

6. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间

的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查. (1) 求这件产品是次品的概率;

(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？

解 设A 表示“取到的是一件次品”,

i B (i =1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”. 易知,

123,,B B B 是样本空间S 的一个划分, 且

122()0.4,()0.38,()0.22P B P B P B ===，12(|)0.04,(|)0.03P A B P A B ==,3(|)0.05P A B =.

(1) 由全概率公式可得

112233()(|)()(|)()(|)()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++

0.40.040.380.030.220.050.0384.

=?+?+?=.

(2) 由贝叶斯公式可得

111(|)()0.40.04

5

(|)()

0.038412P A B P B P B A P A ?=

=

=

,

222(|)()

0.380.0319(|)()0.038464P A B P B P B A P A ?===,

333(|)()0.220.0555

(|)()0.0384192

P A B P B P B A P A ?===.

习题1-6

1. 选择题

(1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成立的是( ).

(A) A , B 相互独立. (B) A , B 不相互独立.

(C) A , B 互为对立事件. (D) A , B 不互为对立事件. 解 用反证法, 本题应选(B).

(2) 设事件A 与B 独立, 则下面的说法中错误的是( ).

(A) A 与B 独立. (B) A 与B 独立. (C)

()()()P AB P A P B =. (D) A 与B 一定互斥.

解 因事件A 与B 独立, 故A B 与,A 与B 及A 与B 也相互独立. 因此本题应选(D).

(3) 设事件A 与 B 相互独立, 且0

(A)

(|)()P A B P A =. (B) ()()()P AB P A P B =.

(C) A 与B 一定互斥. (D)

()()()()()P A B P A P B P A P B =+- .

解 因事件A 与B 独立, 故A B 与也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).

2．设A , B 是任意两个事件, 其中A 的概率不等于0和1, 证明 P (B |A )=)(A B

P 是事件A 与B 独立的充分必要条件.

证 由于

A 的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在.

充分性. 因事件A 与B 独立, 知事件与B 也独立, 因此

()(),()()P B A P B P B A P B ==,

从而

()()P B A P B A =.

必要性. 已知()()P B

A P

B A =, 由条件概率公式和对立事件概率公式得到

()()()()()

1()

()

P AB P AB P B P AB P A P A P A -==

-,

移项得

[]()1()()()()(),P AB P A P A P B P A P AB -=-

化简得 P (AB )=P (A )P (B ), 因此A 和B 独立.

3. 设三事件A , B 和C 两两独立, 满足条件：

,ABC =?1()()()2

P A P B P C ==<

, 且9()16

P A B C =

,

求()P A .

解 根据一般加法公式有

()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+ .

由题设可知 A , B 和C 两两相互独立, ,ABC =? 1

()()()2

P A P B P C ==<, 因此有

2()()()[()],()()0,P AB P AC P BC P A P ABC P ====?=

从而

29()3()3[()]16

P A B C P A P A =-=

,

于是3()

4

P A =

或1()4

P A =

, 再根据题设1()2

P A <

, 故1()4

P A =

.

4． 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为p (0

解 “第4次射击恰好第2次命中” 表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有一次命中目标. 由独立重复性知所求概率为

1223(1)C p p -.

5. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为0.8. 求：

(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率； (2) 恰有一人命中目标的概率； (3) 目标被命中的概率.

解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是

(1) ()()()0.70.80.56;P AB P A P B ==?=

(2)

()()0.70.20.30.80.38;P AB P AB +=?+?=

(3) ()()()()()0.70.80.560.94.P A B P A P B P A P B =+-=+-=

总 习 题 一

1. 选择题：设,,A B C 是三个相互独立的随机事件, 且0()1P C <<, 则在下列给定的四对事件中不相互

独立的是( ).

(A)

A B 与C . (B)AC 与C .

(C) A B -与C . (D) AB 与C .

解 由于A , B , C 是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正确..

2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率.

解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为

955

19

10099396?=

?.

(1) 抽得一件为正品，一件为次品的概率为

95559519

.10099198

?+?=? 3. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有2

1

的产品是第一家工厂生产的, 其它二厂各

生产

4

1. 又知第一、第二家工厂生产的产品中有2%是次品, 第三家工厂生产的产品中有4%是次品. 现从此箱中

任取一件

产品, 求取到的是次品的概率.

解 从此箱中任取一件产品, 必然是这三个厂中某一家工厂的产品. 设

A ={取到的产品是次品},

B i ={取到的产品属于第i 家工厂生产}, i =1, 2, 3. 由于B i B j =?(i ≠j, i , j =1, 2, 3)且B 1∪B 2∪B 3=S , 所以B 1, B 2, B 3是S 的一个划分. 又 P (B 1)=

2

1

, P (B 2) =

41

, P (B 3)=41,

P (A | B 1)=1002, P (A | B 2)=1002, P (A | B 3)=100

4

,

由全概率公式得

P (A )=P (B 1)P (A |B 1)+P (B 2)P (A |B 2)+P (B 3)P (A | B 3) =

100

441100241100221?+?+?=0.025. 4. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功, 则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某日调整后试生产, 发现第一个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？

解 设A ={设备调整成功}, B ={产品合格}. 则全概率公式得到

()()(|)()(|)0.750.90.250.30.75P B P A P B A P P B =+=?+?=.

由贝叶斯公式可得

()0.750.9

(|)0.9()

0.75

()(|)()P AB P A B P B P A P B A P B ?=

=

==.

5. 将两份信息分别编码为A 和B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作B 的概率为0.02, 而B 被误收作A 的

概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少？

解 以D 表示事件“将信息A 传递出去”，以D 表示事件“将信息B 传递出去”，以R 表示事件“接收到

信息A ”,以R 表示事件“接收到信息B ”.已知

21

()0.02,()0.01,(),()33

P R D P R D P D P D ====.

由贝叶斯公式知

()()()196

()()197

()()()()P R D P D P DR P D R P R P R D P D P R D P D ===+.

习题2-2

1. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0

1,,

0,A X A =??

?

发生不发生. 写出随机变量X 的分布律.

解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p . 或者

2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为c

c c c 167,85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠

P .

解 由离散型随机变量的分布律的性质知，

13571,24816c c c c

+++= 所以3716

c =

. 所求概率为 P {X <1| X

0≠}=258168221

}0{}1{=

++=≠-=c

c c c X P X P . 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布, 若{P X ≥51}9

=,

求{P Y ≥1}.

解 注意p{x=k}=k

k n k n C p q -,由题设5

{9

P X =≥21}1{0}1,P X q =-==-

故213

q

p =-=

. 从而

{P Y ≥3219

1}1{0}1().327

P Y =-==-=

4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927

, 求每次试验成

功的概率.

解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是27

19，那么一次都没有成功的概率是

27

8

.

即27

8)1(3=

-

p , 故

p =

3

1. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X

P X ===, 求参数λ.

解 由泊松分布的分布律可知6=λ.

6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律.

解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表示3个数中的最大值，X 的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有103

5

=C 种取法.

{X =3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X =3}=2235C C =101

;

{X =4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X =4}=10

3

3523=C C ;

{X =5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X =5}=5

3

3524=C C .

X 的分布律是

1. 设

求分布函数解 (1) F (x )=0,

1,

0.15,10,

0.35,01,1,

1.

x x x x <-??-

?

(2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;

(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35. 2. 设随机变量X 的分布函数为

F (x ) = A +B arctan x -∞

试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.

解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知

()0112

,.2()1

2

A B A B A B πππ?

+-=???==?

?+=??

于是

11

()arctan ,.2F x x x π

=

+-∞<<+∞ (2)

{11}(1)(1)P X F F -<=--≤

1111

(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+-

11111().24242

ππππ=+?---=

3. 设随机变量X 的分布函数为

F (x )=0, 0,

01,21,1,

,x x

x x <

求P {X ≤-1}, P {0.3

解 P {X 1}(1)0F -=-=≤,

P {0.3

P {0

5. 假设随机变量X 的绝对值不大于1;

11

{1},{1}84

P X P X =-===; 在事件{11}X -<<出现的条

件下, X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比. (1) 求

X

的分布函数

(){F x P X =≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .

解 (1) 由条件可知, 当1x <-时, ()0F x =; 当1x =-时,

1(1)8

F -=

;

当1x =时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1.

所以

115

{11}(1)(1){1}1.848

P X F F P X -<<=---==--=

易见, 在X 的值属于(1,1)-的条件下, 事件{1}X x -<<的条件概率为

{1P X -<≤|11}[(1)]x X k x -<<=--,

取x =1得到 1=k (1+1), 所以k =12

.

因此

{1P X -<≤|11}1

2

x X x -<<=

+. 于是, 对于11x -<<, 有 {1P X -<≤}{1x P X =-<

≤,11}x X -<<

{11}{1|11}≤P X P X x X =-<<-<-<<

5

1

55.82

16

x x ++=

?

=

对于x ≥1, 有() 1.F x = 从而

0,1,57(),

11,161,

1.

x x F x x x <-+=-<

7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16p P X F P X F F F F =<=-==---=-=

习题2-4

1. 选择题 (1) 设

2, [0,],

()0, [0,].x x c f x x c ∈=???

?

如果c =( ), 则()f x 是某一随机变量的概率密度函数. (A)

13. (B) 1

2. (C) 1. (D)

3

2

.

解 由概率密度函数的性质()d 1f x x +∞-∞

=?

可得0

2d 1c

x x =?, 于是1=c , 故本题应选(C ).

(2) 设~(0,1),X

N 又常数c 满足{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ).

(A) 1. (B) 0. (C) 12

. (D) -1.

解 因为{}{}P X c P X c =

<≥, 所以1{}{}P X c P X c -<=<,即

2{}1P X c <=, 从而{}0.5P X c <=,即()0.5c Φ=, 得c =0. 因此本题应选(B).

(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ). (A)

cos ,[0,],()0,x x f x π∈=??

?其它. (B) 1

,2,

()20,x f x <=?????其它.

(C)

22

()

2,0,

()0,

0.≥x x f x x μσ--=

=?

可知本题应选(D).

(4) 设随机变量2~(,4)X

N μ, 2~(,5)Y N μ, 1

{X P P =≤4μ-}, {2P P Y =≥5μ+}, 则( ).

(A) 对任意的实数12,P P μ=. (B) 对任意的实数1

2,P P μ<. (C) 只对实数μ的个别值, 有1

2P P =. (D) 对任意的实数1

2,P P μ>. 解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数μ, 有 1

2(1)1(1)P P ΦΦ=-=-=. 因此本题应选(A).

(5) 设随机变量X 的概率密度为

()f x , 且()()f x f x =-, 又F (x )为分布函数, 则对任意实数a , 有

( ).

(A) 0

()1d ()∫a

F a x f x -=-

. (B) 0

1

()d 2

()∫a

F a x f x -=-

.

(C) ()()F a F a -=. (D) ()2()1F a F a -=-.

解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B). (6) 设随机变量

X

服从正态分布

211(,)

N μσ,

Y

服从正态分布

2

22(,)

N μσ,且

12{1}{1},P X P Y μμ-<>-< 则下式中成立的是( ).

(A) σ1 < σ2. (B ) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2. (D) μ1 >μ2.

解 答案是(A).

(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10

(<<αα, 数αu 满足{}P X u αα>=, 若

{}P X x α<=, 则x 等于( ).

(A)

2

u α . (B) 2

1α

-

u

. (C)

1-2

u α. (D) α-1u .

解 答案是(C).

2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 要使1

{2}4

P k

X k <<=

成立, 应当怎样选择数k ? 解 因为随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 其分布函数为

1e ,0,

()0,

0.≤x x F x x λ-->=??

? 由题意可知

221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4

k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-.

于是

ln 2

k λ

=

.

3. 设随机变量X 有概率密度

34,01,

()0,

x x f x <<=??

?其它, 要使{}{}≥P X a P X a =<(其中a >0)成立, 应当怎样选择数a ?

解 由条件变形,得到1{}{}P X

a P X a -<=<,可知{}0.5P X a <=, 于是30

4d 0.5a

x x =?,

因此

a =

4. 设连续型随机变量X 的分布函数为

20,0,()01,1,1,

,

≤≤x F x x x x <=>?????

求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<.

解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系()

()F x f x '=,

可得

2,01,

()0,其它.x x f x <

?

(2)

22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=.

5. 设随机变量X 的概率密度为

f (x )＝

2,01,0,x x ??

?

≤≤ 其它, 求P {X ≤

12

}与P {

14

X ＜≤2}.

解

{P X ≤1

220

1

11

2d 224

}x x x ===?;

1

{4P X <≤1

214

1

15

2}2d 1164x x x ===?. 6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数

,

01,(),12,0,x x f x A x x <=-

???

≤≤其它.

求: (1) 常数A ；(2) X 的分布函数F (x ).

解 (1) 由概率密度的性质可得

1

2

2

2

1

1

2

1

111d ()d []

12

2

x x A x x x

Ax x A =+-=

+-

=-??,

于是

2A =；

(2) 由公式()()d x F x f x x -∞

=?

可得

当x ≤0时,

()0F x =;

当0x <≤1时, 20

1()d 2

x

F x x x x ==

?;

当1x <≤2时, 21

1

()d (2)d 212

x x F x x x x x x =+-=-

-??;

当x >2时,

()1F x =.

所以

22

0,

0,

1()221, 2.

1,021,12x F x x x x x x x =->???

≤≤,

≤,

7. 设随机变量X 的概率密度为

1

(1),02,()4

0,x x f x ?????

+<<=其它,

对X 独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.

解 根据概率密度与分布函数的关系式

{P a X <≤}()()()d b

a

b F b F a f x x =-=?,

可得

21

15{1}(1)d 4

8

P X x x >=+=

?

.

所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为

223333535175()()()888256C C +=.

8. 设~(0,5)X U , 求关于x 的方程2

4420x Xx ++=有实根的概率.

解 随机变量X 的概率密度为

1

05,()50,

,x f x <=?????≤其它,

若方程有实根, 则

21632X -≥0, 于是2X ≥2. 故方程有实根的概率为

P {2X ≥2}=2

1{2}P X -<

1{P X =-<<

1d 5x =-

15

=-

.

9. 设随机变量)2,3(~2N X

.

(1) 计算{25}P X <≤, {410}P X -<≤

, {||2}P X >, }3{>X P ； (2) 确定c 使得{}{};P X c P X c >=≤

(3) 设d 满足{}

0.9P X d >≥, 问d 至多为多少？ 解 (1) 由P {a

3

3

333

}()()22

222

a X

b b a ΦΦ-----<

=-≤

公式, 得到 P {2

P {-4

{||2}P X >={2}P X >+{2}P X <-

=123

(

)2

Φ--+23

(

)2Φ--=0.6977,

}3{>X P =133

{3}1()1(0)2

P X ΦΦ-=-=-≤=0.5 . (2) 若{}{}≤P X c P X c >=,得1{}{}P X c P x c -=≤≤,所以

{}0.5P X c =≤

由(0)Φ=0推得

3

0,2

c -=于是c =3. (3)

{}0.9≥P X d > 即13(

)0.92

d Φ--≥, 也就是

3()0.9(1.282)2

d ΦΦ--

=≥,

因分布函数是一个不减函数, 故(3)

1.282,2

d --≥ 解得

32( 1.282)0.436d +?-=≤.

10. 设随机变量2~(2,)X

N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <.

解 因为()~2,X N σ2

,所以~(0,1)X Z N μσ

-=. 由条件{04}0.3P X <<=可知 0224222

0.3{04}{}()()X P X P ΦΦσσσσσ

---=<<=<<=--,

于是22()10.3Φσ-=, 从而2

()0.65Φσ

=.

所以 {{}2020}P P X X σσ==--<<22

()1()0.35ΦΦσσ

-=-=. 习题2-5

1. 选择题

(1) 设X 的分布函数为F (x ), 则31Y X =+的分布函数()G y 为( ).

(A) 1

1()33

F y -. (B) (31)F y +.

(C)

3()1F y +. (D)

1

1

33

()F y -. 解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A).

(2) 设()~01,X

N ,令2Y X =--, 则~Y ( ).

(A)(2,1)N --. (B)(0,1)N . (C)(2,1)N -. (D)(2,1)N .

解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C).

2. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布及概率密度. 解 若随机变量

2~(,)

X N μσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布, 即

2~(,()).Y aX b N a b a μσ=++ 这里1,μσ=所以Z ~(5,8)N .

概率密度为

()f z =

2

(5)16

,

x x --

-∞<<+∞.

3. 已知随机变量X 的分布律为

(1) 求Y ＝2－X 的分布律； (2) 求Y ＝3＋X 2分布律. 解 (1)

(2)

4. 已知随机变量X ()X f x ＝1

142ln 2

0x x <

???，　，　，　

其它， 且Y ＝2－X , 试求Y 的概率密度.

解 先求Y 的分布函数)(y F Y :

)(y F Y ={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X

=≥2}y -

1{2}P X

y =-<-=1-

2()d y

X f x x --∞

?

.

于是可得Y 的概率密度为

()(2)(2)Y X f y f y y '=---=12(2)ln 20,.,124,其它y y -?

<-

???

即 121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-?

?

=???

5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2Y

X =的概率密度.

解 由题意可知随机变量X 的概率密度为

()0,.

1

,22,4其它X f x x =

?-<

??

因为对于0

<4,

(){Y F y P Y =≤2}{y P X =≤}{y P =

X

(X X F F =-.

于是随机变量2Y

X =的概率密度函数为

()Y f y (X X f

f =+0 4.

y =

<<

即

()04,0,.其它f y y =<

总习题二

1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.

解 以X 表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知~(5,0.2)X B .

(1) 恰好有3件次品的概率是P {X =3}=23

3

58.02.0C .

(2) 至多有3件次品的概率是

k k k k C

-=∑53

5

8.02.0.

2. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1. 问在同一时刻

(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有1个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？ (4) 至少有3个设备被使用的概率是多少？

解 以X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则X ~B (5,0.1),

P {X =k }=k k

k C -559.01

.0,k =0,1, (5)

(1) 所求的概率是P {X =2}=0729.09

.01.032

2

5=C ;

(2)

所求的概率是P {X ≥1}=140951

.0)

1.01(5

=--; (3) 所求的概率是 P {X ≤3}=1-P{X =4}-P {X =5}=0.99954;

(4) 所求的概率是P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=0.00856. 3. 设随机变量X 的概率密度为

e ,0,()00,

≥，x k x f x x θθ

-=

且已知1{1}2

P X

>=

, 求常数k , θ.

解 由概率密度的性质可知

e d 1x

k

x θθ

-

+∞=?

得到k =1. 由已知条件

1

1

1

e d 2

x

x θ

θ

-

+∞

=

?

, 得1

ln 2θ

=.

4. 某产品的某一质量指标2

~(160,)X N σ, 若要求{120P ≤X ≤200}≥0.8, 问允许σ最大是多少?

解 由{120P ≤X ≤}200

120160160200160{}X P σσσ

---=≤≤

=40

40

40

(

)(1(

))2(

)1ΦΦΦσ

σ

σ

--=-≥0.8,

得到40

(

)Φσ

≥0.9, 查表得

40

σ

≥1.29, 由此可得允许σ最大值为31.20.

5. 设随机变量X 的概率密度为

φ(x ) = A e -|x |, -∞

试求: (1) 常数A ; (2) P {0

解 (1) 由于

||()d e d 1,x x x A x ?+∞

+∞--∞

-∞

==?

?即0

2e d 1x A x +∞

-=?故2A = 1, 得到A =

12

.

所以 φ(x ) =

12

e -|x |.

(2) P {0

1

1

1

1

1e e d (e )0.316.022

2

x

x

x ----=-=

≈?

(3) 因为||

1()

e d ,2x

x F x x --∞=?

得到 当x <0时, 11()e d e ,22x x x

F x x -∞==?

当x ≥0时, 00111()e d e d 1e ,222

x x x x

F x x x ---∞=+=-??

所以X 的分布函数为 1,0,2

()11,0.2

x

x x F x x -?

习题3-1

1.

而且12

{0}1P X X ==. 求X 1和X 2的联合分布律.

解 由

{0}1P X X ==知{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形如

于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律

(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04

P X P X =?==

≠, 所以X 1和X 2不独立.

2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律.

解 从7只球中取4球只有354

7=C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红

球有j 只(余下为白球4i j --

只)的取法为

4322

i j i j

C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有

022

322

1{0,2}35

35

P X Y C C C ====,111322

6{1,1}35

35

P X Y C C C ====,

121322

6

{1,2}35

35

P X Y C C C ====,202322

3

{2,0}35

35

P X Y C C C ====,

211

322

12{2,1}35

35P X Y C C C ====,220

322

3{2,2}35

35P X

Y C C C ===

=

,

301322

2

{3,0}3535P X Y C C C ===

=

,

310

322

2

{3,1}3535

P X Y C C C ====

,

{0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============.

3.

(,)(6),02,24,

0,

.f x y k x y x y =--<<<

?其它

求: (1) 常数k ; (2)

{1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤.

解 (1) 由

(,)d d 1f x y x y +∞

+∞-∞-∞=??

, 得

242

422

2

2

04

2

11d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-=?????

????

,

所以

1

8

k =

. (2)

3120

1,3

1{1,3}d (6)d 8

(,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<=

=--??

??

1

3

220

1

1(6)d 82y x x y =--?

??????321113()d 828y y =-=?.

(3)

1.51.5

{ 1.5}d (,)d

()d X P X x f x y y f x x +∞-∞

-∞

-∞

<=

=?

?

?

4 1.52

1d (6)d 8

y x y x --=??

1.5

4

22

01

1(6)d 82y x x y =--?

????

?? 421633

()d 882y y =-? 2732

=. (4) 作直线4x y +=, 并记此直线下方区域与(,)0f x y ≠的矩形区域(0,2)(0,4)?的交集为G . 即:02,0G x y <<<≤4x -.见图3-8. 因此

{P X Y +≤4}{(,)}P X Y G =∈

(,)d d G

f x y x y =??4420

1

d (6)d 8x y x y x -=--?? 44

220

11(6)d 82x

y x x y -=--?

?????? 4

221

1

[(6)(4)(4)]d 82y y y y =

----? 42211

[2(4)(4)]d 82y y y =-+-? 4

2

3

211

(4)(4)86y y =----?

?????23

=.