轴向拉压变形

1
上海工程技术大学基础教学学院工程力学部
1
第三章 轴向拉压变形
§3—1 轴向拉压杆的变形 §3—2 桁架的节点位移 §3—3 拉压与剪切应变能 §3—4 简单拉压超静定
拉压变形小结
2
一、概念
§3—1 轴向拉压杆的变形
1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。
2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。
3
三、叠加原理
①当各段的轴力为常量时——
? ? L ? ? L1 ? ? L 2 ? ? L 3 ? ? ? ?
F Ni L i EA i
几个载荷同时作用所产生的变形，等于各载荷单独作
用时产生的变形的总和 — 叠加原理
②当轴力为x的函数时 N=N(x)——
? ? L ? d? L1 ? d? L2 ? d? L3 ? ? ? ?
FN ( x)dx L EA
（3）、使用条件：轴向拉压杆，弹性范围内工作。
应力与应变的关系：（虎克定律的另一种表达方式）
?L ? FN L EA
?
FN ? E ?L ?
A
L
? ? E?
5
小结： 变形——构件在外力作用下或温度影响下所引起的形状尺 寸的变化。 弹性变形——外力撤除后，能消失的变形。 塑性变形——外力撤除后，不能消失的变形。 位移——构件内的点或截面，在变形前后位置的改变量。 线应变——微小线段单位长度的变形。
6

2
A a
B a
C
F
x
F
2F 3F
例：已知杆件的 E、A、F、a 。
求：△LAC、δ B（B 截面位移） ε AB （AB 段的线应变）。 解：1、画FN 图： 2、计算：
FN
? (1).?L ?
FN L EA
?
?LAC
?
?LAB
?
?LB
C
?
? Fa EA
?
?3Fa EA
?
? 4Fa EA
(2).? B ? ?LBC
( 3 ).? AB ?
? ? 3Fa
EA
? L AB ?
?
L AB
Fa a
EA
? ?F EA
7
§3—2 桁架节点位移
三角桁架节点位移的几何求法。
怎样画小变形放大图？分析：1、研究节点 C 的受力，确定
各杆的内力 FNi；
A
L1
B 2、求各杆的变形量△Li；
L2
F1
F2
C
3、变形图严格画法，图中弧线； (1) 以A为圆心，AC1为半径画弧线；
C
?L1 (2) 以B为圆心，BC2为半径画弧线；
F ?L2 F
C1
交点C’就是C点实际位移。 4、变形图近似画法:
C2
C ''
以切线代替图中弧线。
C'
C '' 就是C点近似位移。
8
写出图 2 中 B 点位移与两杆变形间的关系
L1
B
A
?l
?
2
?l 1 B1
L2
F
分析： 一、受力分析： 二、画B点的变形图：
1）画沿原杆伸长或缩短线； 2）作伸长或缩短线端点垂线；
C 图2
拉 S1 压 S2
vB ? BB2
B2 B
F
B’交点就是节点B的位移点。
3) B点水平位移：uB ? BB1 ? ?L1
B'
B点垂直位移：
vB
?
? L1ctg ?
?
?L2 sin ?
?B ?
u
2 B
?
vB2
9
例：杆1为钢管，A1= 100 mm2，E1 = 200 GPa,L1= 1 m ;杆2为硬
铝管，A2= 250 mm2，E2 = 70 GPa,P = 10 kN。试求：节点A
点的垂直位移。N1
解：1)求各杆内力
B C
N2 l1
A P
A2 45 A
?l2
?l1
N1 ? 2P ? 14.14kN , N 2 ? ?P ? ?10kN
2)求各杆的伸长?li
?l1
?
N1l1 ? 0.707, E1 A1
?l2
?
N 2l2 E2 A2
?
?0.404mm
3)画A点的位移图
AA5 ? AA4 ? A4 A5
P
A1
AA4 ? ?l1 / cos 45 A4 A5 ? ?l2ctg 45
45 A4
AA5
??
?l1 cos 45
?
?l2ctg 45
?
0.9999
?
0.404
? AA5 ? 1.404 mm
A3
A5
10
例 ：设横梁 ABCD 为刚梁，斜杆A=440mm2，E = 70kN，P1= 5kN,
P1 A A1
P2=10kN,L=1m;试求：A
P2 60
lC
lB
? AY
? C1
D
点的垂直位移。? ? 30 (不计横梁变形)
解：1)、CD杆内力：研究对象 AB
? mB ? 0 : P12l ? (P2 ? NC sin 30)l ? 0
? N C ? 40 ( kN )
2) CD杆的变形：
P1
P2
A
C
YB
B
XB
?L ? NClCD ? NCl ? 1.5 (mm) EA EA cos ?
3)杆A.C点的变形图：CC 2 ? ?l
A
C
NC B
? CY
? CC1 ?
CC 2 cos ?
?
?l sin ?
C2
?ABA1 ? ? AY ? AA1 ? CC 1 ? 2? CY
?CY C1
? AY ? 2? CY ? 2?l ? 6 (mm) sin ?
11
§3—3 拉压应变能
一、应变能概念
1、外力功：W
固体受外力作用而变形，在变形过程中外力所做的功。
W ? 1 P ? ?l 2
2、应变能：V? 固体在外力作用下，
P ?l
因变形而储存的能量。
V?
?
1 2
N
? ?l
?
1 2
N
?
Nl EA
?
N 2l 2EA
3、能量守恒：W ? V?
4、应变能密度：单位体积内储存的能量。 v? ? V? /V
l P
Pi
o
?li ?l
d (?l )
12

3
应变能密度：v? ? V? /V
应变能：V?
?
N 2l EA
,
体积：V ? A ? l
?
v?
? V? V
?
N 2l 2EA
?
1 Al
?
N2 2 A2
?
1 E
? ? 2 ? 1 ?? 2E 2
dx
dy
?
v?
?
1 ?? 2
?
?2 2E
5、剪切应变能密度：
?dx'
dz
?
?2 ? v? ? 2G ? G：剪切弹性模量
? dy 单元体： dV ? dxdydz
dz
?'
13
二、求结构节点位移的能量法：
例：杆1为钢管，A1= 100 mm2，E1 = 200 GPa,L1= 1 m ;杆2为硬
铝管，A2= 250 mm2，E2 = 70 GPa,P = 10 kN。试求：节点A
点的垂直位移。N1
解：1)求各杆内力
B 45
C
N2 l1
A P
A2 ? AY
A A1
N1 ? 2P ? 14.14kN , N 2 ? ?P ? ?10kN
2)求外力功及各杆的变形V能?i
W
?
1 2
P?
AY
,
V? 1
?
N12l1 , 2E1 A1
V? 2
?
N 22l2 2E2 A2
3)能量守恒
W ? V?1 ? V? 2
A3 P P
? AY
?
2(V?1 ? V?1) P
? 1.404 mm
14
例：各杆截面A，材料E相同。试求：节点 A 点的垂直位移。
B
解：1)求各杆内力
45 31
2l C
A
? AY N1
N2
A
P
P
XB B
N3
N1
N1 ? 2P, N2 ? N3 ? ?P
2)求外力功及各杆的变形V能?i
W
?
1 2
P3?)A能Y, V量?1 守? 2恒NE112lA1W1 ,
V? 2 ? V? 3 ? V?1 ? V? 2
? N22l2 2E2 A2
? V? 3
1 2
P?
AY
?
N12l1 2E1 A1
? 2 N22l2 2E2 A2
?
1 2
P? AY
?
(
2P)2 2EA
2l (?P)2 l ?2 2EA
?
? AY
?
2Pl( 2 EA
? 1)
15
例 ：设横梁 ABCD 为刚梁，斜杆A=440mm2，E = 70GP，P1= 5kN,
P2=10kN,L=1m;试求：A 点的垂直位移。? ? 30 (不计横梁变形)
P1
Al
? AY A1
P2 60
C
lB
?
C1
D
解：1)、CD杆内力：研究对象 AB
? mB ? 0 : P12l ? (P2 ? NC sin 30)l ? 0
? N C ? 40 ( kN )
2) 求外力功与杆的变形能：
P1
P2
A
C
W ? W1 ? WV2 ,? ,
YB
B
XB
W1
?
1 2
P1?
Ay
,W2
?
1 2
P2 ? Cy
,
V?
?
N 2lCD 2 EA
,
A
C
? AY A1
? CY C1
NC B
? Ay ? 2? Cy W
3) 能量守恒：W
? ? Ay ? V2?
( P1
?
P2 2
),
? AY
?
2?2
?
N
2 CD
lCD
(2P1 ? P2 ) 2EA
?6
(mm)
16
§3 - 4 拉压超静定
一、概念 1、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数，
只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。
2、超静定：结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个
数，只利用静力方程不能求出所有的未知力。
N1
? N2
A
X ? 0, N1 N3 N2
P
?Y ? 0.
A
P
B
D
1
3
C 2
??
3、多余约束：在超静定系统中多余维
A
持结构几何不变性所需要的杆或支座。
P
4、多余约束反力：多余约束对应的反力。
17
5、超静定的次数（按超静定次数划分)：
B
D
C
超静定次数 = 多余约束个数
1
3
2
= 未知力个数-有效静力方程个数。 ? ?
A
二、求解超静定（关键——变形几何关系的确定） P
步骤：1、根据平衡条件列出平衡方程（确定超静定的次数）。
2、根据变形协调条件列出变形几何方程。
3、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。
?L ? FN L EA
4、联立静力方程与力的补充方程求出所有的未知力。 三、注意的问题
拉力——伸长变形相对应；压力——缩短变形相对应。
18

4
例：l1 ? l2 , E1 A1 ? E2 A2 , E3 A3 ，求：各杆的内力。 解：?、平衡方程:
B
D
C
? X ? 0 ? FN1 sin ? ? FN 2 sin ? ? 0
13
2
? Y ? 0 ? FN1 cos? ? FN 2 cos? ? FN 3 ? F ? 0
??
A
?l3
?l2 A2
y
?l1
A1 A3 P
FN1
FN3 FN2
?、几何方程——变形协调方程： ? l1 ? ? l2 ? ? L3 cos ?
?、物理方程－变形与受力关系
?l1
?
FN1l1 E1 A1
,
?l3
?
FN 3l3 E3 A3
?、联立求解:
F N 1 L1 ? F N 3 L 3 cos ?
E 1 A1
E 3 A3
??
x
A
P
FN1
?
FN 2
?
E1A1F cos2 ? 2E1 A1 cos3 ? ? E3 A3
; FN 3
?
E3 A3F 2E1A1 cos3 ? ?
E3 A3
19
例 木制短柱的四角用四个 40*40*4 的等边角钢加固，角钢和
木材的许用应力分别为 [?]1 =160 MPa 和 [?]2 =12 MPa，弹
性模量分别为 E1=200 GPa 和 E2 =10 GPa；求许可载荷 F.
解：?、平衡方程:
F
F
? Y ? 0 ? 4FN1 ? FN 2 ? F ? 0
1m
250
FN 2 4FN1
?、几何方程： ? L1 ? ? L2
?、力的补充方程：
?L ? FN L EA
F N 1 L1 ? F N 2 L 2
E 1 A1
E 2 A2
250
? F N 1 ? 0 .07 F ; F N 2 ? 0 .72 F
20
? 、求结构的许可载荷：
? ? ? max
? FN max A
?
?
FN max ? A?? ?
F N 1max
?
A1 ?? ?1
,
角钢面积由型钢表查得:A 1=3.086 c㎡ FN 1max ? 3.1 ? 16 ? 10 3 ? 49 .4(k N )
? ? F N 2 max ? A 2 ? 2 , F N 2 max ? 250 2 ? 12 ? 750 ( kN )
F1max ? A1?? ?1 / 0.07 ? 705.4(kN )
F2max ? A2?? ?2 / 0.72 ? 1042(kN)
? ［Fmax］=705.4 kN
21
例: 图示结构,已知： L、A、E、a、F 。求：各杆轴力。 解：1、平衡方程:
L3 2
1
a A
a
B
F
FN 3 FN 2
A
C
F ?l2
?l3
C1
A1
FN1
B B1 ?l1
?Y ? 0, FN1 ? FN 2 ? FN3 ? F ? 0
? M A ? 0, FN 2a ? FN12a ? 0
2、几何方程：
2?l2 ? ?l1 ? ?l3
3、物理方程：
?l1 ?
FN 1l , EA
?l2
?
FN 2l , EA
?l3 ?
FN 3l , EA
4、联立平衡方程和补充方程得: 2 FN 2 ? FN1 ? FN 3
1
1
5
FN1 ? ? 6 F ; FN 2 ? 3 F ; FN 3 ? 6 F.
22
例：各杆EA相等，l1　? l　2 ?　l 。求：各杆的轴力。
解：1、平衡方程:
l2
l3
45
l1 A
?l3
?l1
F
A1
A2 A3
?l2
A5
A3
N2 45
N3
? X ? 0, N3 sin 45 ? N1 ? 0
?Y ? 0, N 2 ? N3 cos 45 ? F ? 0
2、几何方程——变形协调方程：
? l2
?
? l3 cos ?
? ? l1tg ?
3、物理方程：? li
?
N ili EA
N2l2 ? N3l3 ? N1l1 tg? EA EA cos? EA
N1
A
F
N1
?
F 2(1 ?
, 2)
N2
?
(1? 2 2(1 ?
2)F , 2)
N3
?
3F 2(1? 2)
23
a
a
三、温度应力、装配应力
1）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。
温度引起的变形量　— ?L ? ??tL
1、静定问题无温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。
例：阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固定,杆的上 下两段的面积分别为 ??=?c㎡、??=??c㎡，当温度 升至 T2 =25℃时,求各段的温度应力。E=200GPa ? ? 12 . 5 ? 10 ? 6 1 ? C y
24

5
分析：?、解除约束；杆随温度升高自由伸长?lT ?、两端加约束力：将杆压回到原长。?lN
a
? 解：?、平衡方程:
Y ? 0, N2 ? N1 ? 0
a
y
?lT
N1
N1
?lN
?、几何方程： ?l ? ?lT ? ?lN ? 0
?、物理方程： ? lT ? 2 a ? T ? ;
? lN ?、联立求解：
2?T?
? ?
N 1a ? N 2a EA 1 EA 2 N 1a ? N 2a
EA 1 EA 2
N 1 ? N 2 ? 33 .3(kN )
?、温度应力：
?1
?
N1 A1
?
66.7(MPa),
?2
?
N2 A2
? 33.3(MPa)
N2
25
例 已知两杆面积、长度、弹性模量相同，A、L、E，求：当1杆 温度升高　?T 时，两杆的内力及约束反力。杆温度膨胀系?数
a
1
A
C
?T A'
A'' ?l1
N1 AC
RC
3a
N2 B
分析：1杆解除约束，使其自由伸长；
2
AB 横梁的约束，杆伸长受限；
B'
解：?、平衡方程:
?l2 B
? M c ? 0, N1a ? N2 3a ? 0
?、几何方程：AA' ? BB' a 3a
?、物理方程：
BB' ?
?l2
?
N2l EA
,
AA' ? ?T ? ?l1
9EA?l?T N1 ? 10 ,
N2
?
3EA?l?T 10
,
RC
?
6EA?l?T 5
,
26
2）装配应力——预应力、初应力： 由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变 形而引起的应力。
1、静定问题无装配应力 2、超静定问题存在装配应力。
B 1
C 2
A
B
D
C
1
3
2
??
A'
?
A
27
B
D
C 例：已知：各杆长为：l1 ? l2 ? l 、l3 ；
1
3
2
??
A1=A2=A、A3 ；E1=E2=E、E3。3杆的尺寸 误差为 ?，求:各杆的装配内力。
A'
? 解：?、平衡方程:
N1
N3
A
N2
? X ? 0 N1 sin ? ? N 2 sin ? ? 0 ?Y ? 0 N3 ? N1 cos? ? N2 cos? ? 0
A' A1
?、几何方程：
(? ? ? l 3 ) cos ? ? ? l1
A3 A'
?l3
?、物理方程：
A2
?
? l1 ?
N 1L1 , E 1 A1
? l3
?
N 3L3 E 3 A3
?l1 A
?l2
28

6
? 、联立平衡方程和补充方程，得:
N1
?
N2
?
? l3
? 1?
E1A1 cos2 ? 2 cos3 ? E1A1 /
E3 A3
N3
?
? l3
? 1?
2 E1 A1 2 cos3 ?
cos3 ? E1A1 /
E3 A3
29
8、线应变——微小线段单位长度的变形。
?L ? FN L EA
? ? ?L L
难点 二、求解超静定（关键——变形几何关系的确定） 步骤：1、根据平衡条件列出平衡方程（确定超静定的次数）。
2、根据变形协调条件列出变形几何方程。
3、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。 ?L ? FN L EA
4、联立静力方程与力的补充方程求出所有的未知力。 注意的问题：
拉力——伸长变形相对应；压力——缩短变形相对应。
31

7
§3 – 18a. 22(a). 23, 26
33
例 ：设横梁 ABCD 为刚梁，横截面面积为 76.36mm2的钢索绕过
无摩擦的滑轮。设 F=20kN，试求：刚索的应力和 C 点的垂直
位移。设刚索的 E=177GPa。
解：1）、求钢索内力： ABD
A 800
A XA
YA
刚索
B 60°60° D 400 C 400 F
B
FN FN C
D
F
? mA ? 0 FN sin 60o ? 0.8 ?1.2F ? 1.6FN sin 60o ? 0
? F N ? F / 3 ? 11 .55 ( kN )
2) 钢索的应力和伸长分别为： ? ? FN ? 11 .55 ? 10 9 ? 151( MPa )
A 76.36 ?L ? FN L ? 11.55 ?1.6 ? 1.36(mm)
EA 76.36 ?177
34

8
A 800
A
刚索
B 60°60° D 400 C 400 F
3）画变形图求C点的垂直位移为：
?C
?
BB? ? DD? ? 2
?1
sin 60 ? ? 2 2
sin 60
? ?L ? 1.36 ? 0.79(mm) 2sin 60 2? 3 2
刚索
BC
D
△1 B′
△c △2
D′
35
例：结构如图，已知材料的[?]=2 M P a ，E=20 G P a,混凝土 容重?=22k N/m3，设计上下两段的面积并求A截面的位移△ A。
F=100kN FN A x1
解：1、画轴力图 P AB：FN1（x1）=F+γ A1x1
BC：FN2（x2）=F+γ L1A1 + γ A2x2
2、由强度条件求面积
B
? ? F+γ L1A1
? max
?
FN max A
??
?
x2
12m 12m
C
X
F+γ L1A1+γ L2A2
36
F ? ? L1 A1 ? ?? ? ?
A1
A1
?
??
F
? ? ?L1
F
? ? L1 A1 ? ? L 2 A 2 A2
? ?? ? ?
A2 ?
F ? ? L1 A1
?? ? ? ? L 2
3、确定A截面的位移
? ? ?? ? ? L ? ? ( dx ) ? F N ( x ) dx ?
L
L EA ( x )
? ? L1 F N 1 ( x ) dx ? L2 F N 2 ( x ) dx
0
EA 1
0
EA 2
?? ? ? L ? FL 1 ? G 1 L1 ? ( F ? G 1 ) L 2 ? G 2 L 2
EA 1 2 EA 1
EA 2
2 EA 2
37

3.4 m 2m
9
B
F
H 例：结构如图，AB、CD、 EF、
q0 =100kN /m GH 都由两根不等边角钢组成，
E
已知材料的[?]=170 MP a ，
F=300kN 1.2 m D 1.8 m G E=210 G P a ，AC、EG 可视为
A 0.8 m 3.2 m
C
刚杆，试选择各杆的截面型号
和A、D、C点的位移。
FNE
FNG 解：?求内力，受力分析如图
E FNA F=300 kN
q 0 =100kN /m
D
G
FND
3 .2
F NA ?
? 300 ? 240 ( kN ) 4
F ND
? 0 .8 ? 300 4
? 60 ( kN )
A
FND C
F NE ? 186 ( k N )
F NG ? 174 ( k N )
38
?由强度条件求面积
?
?
FN A
? ?? ??
A?
FN
?? ?
A AB
?
240 170
? 10 ? 3
? 14 .12 cm 2
ACD ? 3.5cm2 AEF ? 10.9cm2 AGH ? 10.2cm2
?按面积值查表确定钢号
AB : 2 ? ( 90? 56? 5 ), AAB1 ? 2 ? 7.212cm2 CD : 2 ? (40 ? 25 ? 3), ACD1 ? 2 ?1.89cm2
EF(GH) : 2 ? (70? 45? 5), AEF1 ? 2 ? 5.609cm2
39
?求变形 ? L ? FN L EA
? L AB
?
F NAB L AB EA AB
?
240 ? 3 .4 ? 10 ? 4 ? 2 .67 ( mm ) 2.1 ? 14 .54
? LCD ? 0.91 mm ? LEF ? 1 .74 mm ? LGH ? 1.63 mm
?求位移,变形图如图
B
F
E
H G
?D
?
?LEF ? ?LGH EG
? DG
D
E1
D1
G1
? ? LGH ? 1.70 mm
A
C
? C ? ? D ? ? LCD ? 2.61 mm
? A ? ? L AB ? 2 .61 mm
A1
C1
40

解：?、平衡方程:
L2
L1
FN 3 ? FN 2 cos? ? 0
——（1）
FN1 ? FN 2 sin? ? F ? 0 ——（2）
?、几何方程——变形协调方程：
L3
? A?3L3
A? L2
? L1 ?
? L2 sin ?
? ? L 3 ctg ?
y x
FN2
A0 FN1
? A2 F
?L1
?、补充方程：由物理方程代入几何方程得： ?L ? FN L EA
A1
FN1L1 ? FN 2 L2 ? FN 3L3 ctg? EA1 EA2 sin? EA3
——（3）
FN3 F
?、联立（1）、（2）、（3）得:
FN1; FN 2 ; FN 3 ? ?1;? 2 ;? 3
41
10
例 已知：图示结构，A1=100 mm2、L1=330 mm、E1=200 GPa、 A2=200 mm2、L2=220 mm、E2=100 GPa,?1 ? 12.5?10?6 1/Co ,
?2 ? 16.5*10?6 1/ C 0; ?t ? 300 C , 求：FN1、FN2。
1 240
A N1
2 C 150 B
N2
解：?、平衡方程:
? M c ? 0, 150 N2 ? 240 N1 ? 0
?、几何方程：
? L 1 ? 240
? L2
150
A
240 C 150 B
42
FN1 A
△L21 40
2 C 150 FN2
B △L2
? L1
?
F N 1 L1 E 1 A1
? ? 1? tL 1
?L2
?
FN 2L2 E 2 A2
? ? 2 ? tL 2
?、几何方程：
? L 1 ? 240
? L2
150
?、补充方程：
8 0.0165FN1 ?124? 5(0.011FN2 ?109)
?、联立平衡方程和补充方程，得：
FN1 ? 6.68(kN ); FN 2 ? ?10.7(kN )
43