空间向量和立体几何练习题及答案

1. 如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD丄平面ABCD 点M 在线段PB上, PD//平面MAC, PA=PD= ., AB=4.

(1)求证：M为PB的中点；

(2)求二面角B - PD - A的大小；

(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

【分析】(1)设AC n BD=O，则0为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM // PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；

(2)取AD中点G，可得PG丄AD，再由面面垂直的性质可得PG丄平面ABCD，则PG丄AD，连接OG,贝U PG丄OG,再证明OG丄AD .以G为坐标原点，分

别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD 与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B- PD - A的大小；

(3)求出丫的坐标，由」与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

【解答】(1)证明：如图，设AC n BD=O ,

??? ABCD为正方形，二O为BD的中点，连接OM ,

??? PD//平面MAC, PD?平面PBD，平面PBD n 平面AMC=OM ,

??? PD// OM，贝U ，即M为PB的中点；

D D Dr

(2)解：取AD中点G,

??? PA=PD，二PG 丄AD ,

???平面PAD 丄平面ABCD ，且平面 PAD G 平面 ABCD=AD , ??? PG 丄平面ABCD ，贝U PG 丄AD ，连接OG ，贝U PG 丄OG , 由G 是AD 的中点，O 是AC 的中点，可得 OG // DC ,则OG 丄AD .

以G 为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP 所在直线为x 、y 、z 轴距离空间直角坐 标系,

由 PA=PD=V^，AB=4，得 D ( 2, 0，0)，A (- 2, 0, 0)，P (0，0,血)，C (2, 4, 0) , B (- 2, 4, 0), M (- 1, 2,

设平面PBD 的一个法向量为

取平面PAD 的一个法向量为

?二面角B - PD - A 的大小为60 ° ;

（3）解:尿（3 乜 孚），平面BDP 的一个法向量为二灶，1,血）. ?直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为|cos < v >

【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中 档题.

则由 r

m*DP = 0 何 f-2x+V22=0

一一 ，得?

k m-DB = 0 (-4x+4y=0 取 z=:，得:；■.

=ia*n

=- 1 | | n | 2X1 ' "2

cos<

2. 如图，在三棱锥P- ABC中，PA丄底面ABC, / BAC=90° .点D , E, N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2 .

(I)求证：MN //平面BDE ;

(U)求二面角C- EM - N的正弦值；

(川)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为.，求

线段AH的长.

【分析】(I)取AB中点F,连接MF、NF，由已知可证MF //平面BDE，NF

//平面BDE .得至U平面MFN //平面BDE，贝U MN //平面BDE ;

(U)由PA丄底面ABC，/ BAC=90°.可以A为原点，分别以AB、AC、AP 所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-N的余弦值，进一步求得正弦值；(川)设AH=t，则H (0, 0, t)，求出丽、U的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为耳列式求得线段AH的长.

【解答】(I)证明：取AB中点F，连接MF、NF,

??? M 为 AD 中点，二 MF // BD ,

??? BD?平面 BDE , MF?平面 BDE ，二 MF // 平面 BDE . ??? N 为 BC 中点，二 NF // AC ,

又 D 、E 分别为 AP 、PC 的中点，二 DE // AC ,贝U NF // DE .

v DE?平面 BDE ，NF?平面 BDE ，二 NF // 平面 BDE .

又 MF A NF=F .

???平面 MFN //平面BDE ，贝U MN //平面BDE ;

(U)解：v PA 丄底面 ABC , / BAC=90°.

???以A 为原点，分别以AB 、AC 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标 系.

v PA=AC=4，AB=2，

? A (0, 0, 0)，B (2, 0，0)，C (0, 4, 0)，M (0, 0，1)，N (1, 2, 0)，E

(0, 2, 2),

则rj -：K L .一，一， 设平面MEN 的一个法向量为

由图可得平面CME 的一个法向量为「J, | .

(川)解：设 AH=t ，则 H (0, 0, t ),両二G1, -2, t)，豆厶 2).

由 p^MN-0

[m*ME=0

，得￡ ,取 z=2，得；:1.-,).

?二面角C -EM - N 的余弦值为

v 直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为 <7

21

? cog | . 11> =

_

4

,4721

Mini

，则正弦值为—；

4V21 21

解得:?或t=-

???当H 与P 重合时直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为二―，此时线段AH 的

【点评】本题考查直线与平面平行的判定， 考查了利用空间向量求解空间角， 考 查计算能力，是中档题.

3?如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形

ABCD (及其内部)以AB 边所

在直线为旋转轴旋转120。得到的，G 是 F ；

的中点.

(I)设P 是卜上的一点，且 AP 丄BE ，求/ CBP 的大小； (U)当AB=3，AD=2时，求二面角E - AG - C 的大小.

【分析】(I)由已知利用线面垂直的判定可得 BE 丄平面ABP ，得到BE 丄BP ， 结合/ EBC=120。求得/ CBP=30°;

(U)法一、取 「的中点H ，连接EH , GH , CH ，可得四边形BEGH 为菱形， 取

???|cos V ?「L>

|=|

1=1

AG中点M，连接EM , CM, EC,得至U EM丄AG , CM丄AG，说明/ EMC为所求二面角的平面角.求解三角形得二面角E- AG-C的大小.

法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 E - AG - C的大小.

【解答】解：(I)v AP I BE，AB 丄BE,且AB，AP?平面ABP，AB A AP=A，??? BE丄平面ABP, 又BP?平面ABP,

??? BE丄BP,又/ EBC=120°,

因此/ CBP=30°;

(U)解法一、

取「的中点H，连接EH , GH , CH ,

vZ EBC=120°,A四边形BECH为菱形，

??? AE=GE=AC=GC=J/ + 2j 启.

取AG中点M，连接EM , CM , EC,

则EM 丄AG , CM 丄AG ,

???Z EMC为所求二面角的平面角.

又AM=1 , ? EM=CM=丨「 -:;.

在厶BEC中，由于Z EBC=120°,

由余弦定理得：EC2=22+22- 2X2X2X cos120 ° =12 ,

?「’ 「；，因此△ EMC为等边三角形，

故所求的角为60

解法二、以B 为坐标原点，分别以BE , BP , BA 所在直线为x . 间直角坐标系.

由题意得：A (0, 0, 3), E (2, 0, 0), G (1^3, 3), C (-

设 in 二（K 「y ]* z i ）为平面AEG 的一个法向量,

【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力,

的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题.

4?如图，在以A ,B,C,D ,E ,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD , / AFD=90°,且二面角 D - AF - E 与二面角 C - BE - F 都是 60 ° .

y , z 轴建立空

1,；, 0),

m *

AE=O t

AG = O

，得

取乙=2，得,,.：：,.,'；

设口二（牙y 2 ' s 〕为平面ACG 的一个法向量, h 2

二

U

2 X ?+3z 2

=0 n * AG=O 0

，可得 ，取 Z2= - 2，得-.〉

面角E - AG - C 的大小为60

训练了线面角

(I)证明平面ABEF丄平面EFDC ;

【分析】(I)证明AF丄平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF丄平面EFDC ;

(U)证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角 E - BC- A 的余弦值.

【解答】(I)证明：：ABEF为正方形，二AF丄EF.

vZ AFD=90°,「. AF 丄DF,

v DF n EF=F ,

??? AF丄平面EFDC ,

v AF?平面ABEF ,

???平面ABEF丄平面EFDC ;

(U)解：由AF 丄DF , AF 丄EF,

可得Z DFE为二面角D - AF - E的平面角；

由ABEF为正方形，AF丄平面EFDC ,

v BE丄EF, ??? BE丄平面EFDC

即有CE 丄BE , 可得/ CEF 为二面角C - BE - F 的平面角. 可得/ DFE= / CEF=60°.

??? AB // EF , AB?平面 EFDC , EF?平面 EFDC , ??? AB //平面 EFDC ,

???平面 EFDC G 平面 ABCD=CD , AB?平面 ABCD , ??? AB // CD , ??? CD // EF ,

???四边形EFDC 为等腰梯形.

以E 为原点，建立如图所示的坐标系，设 FD=a , 则 E (0, 0, 0), B (0, 2a, 0) , C (一，0 ,

ID

=_ _ =龙yn

=血巧?话416 = 19 ,

???匝=(0 , 2a, 0), [BC =(吕,

二a), J ，= (-2a, 0, 0)

设平面BEC 的法向量为

/ 、 ntI in'-EB=0 (xi , yi , zi ),贝広 ___

lm^BC=0

号工I -2已y ]+爭■乩上i==0 ' 取=(J, 0,- 1).

设平面ABC 的法向量为 - k-

n = (X2 , y2 , Z2),

则

n-BC-0

L n* AB = 0 Q

73 y x 2-2ay 2+-2_az 2~1^

芷g 二0

取'=(0,

4).

设二面角E - BC -A 的大小为则cos & iD*n

,A (2a, 2a, 0),

【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键.

5. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O, AB=5，AC=6，点E，F

分别在AD，CD 上, AE=CF=_，EF交于BD于点H，将△ DEF沿EF折到△ 4

D' EF 的位置，0D' = I.

(I)证明：D' H 丄平B ABCD;

(U)求二面角B- D' A-C的正弦值.

【分析】(I)由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EF // AC，再由ABCD是菱形，得AC丄BD，进一步得到EF丄BD，由EF丄DH，可得EF 丄D' H,然后求解直角三角形得D' H丄0H，再由线面垂直的判定得D' H丄平面ABCD ;

(U)以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到「■的坐标，分别求出平面ABD'与平面AD'C的一个法向量：」，设二面角二面角B- D' A- C的平面角为求出|cos|B?则二

面角B - D' A -C 的正弦值可求.

【解答】（I ）证明：：ABCD 是菱形， ??? AD=DC ，又 AE=CF 十, ??? ，贝U EF // AC , EA FC

又由ABCD 是菱形，得 AC 丄BD ，贝U EF 丄BD , ??? EF 丄 DH ，贝U EF 丄 D' H ， ??? AC=6， ??? AO=3，

又 AB=5，AO 丄OB ， ??? OB=4，

??? OH= F 1，贝U DH=D H=3,

AD w ，

，

???I OD | 2F |OH| 2+| D'H 12,则 D' H ± OH ， 又 OH A EF=H , ? D' H 丄平面ABCD ;

(n)解：以H 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系, T AB=5 , AC=6 ,

? B (5, 0, 0), C (1, 3, 0), D'( 0, 0, 3), A (1,- 3, 0),

同理可求得平面AD'C 的一个法向量:\ I ,

设平面ABD 的一个法向量为

口］二〔為 y- z ）,

nj * AB 二D

nj ?二D

，得*

,取 x=3，得 y= — 4, z=5.

设二面角二面角B - D' A -C 的平面角为9, 九5訂

_|3X3+￡X1| 硒

6. 在三棱柱ABC - A i B i C i 中，CA=CB ，侧面ABBA 是边长为2的正方形，点E , F 分别在线段 AA i 、A 1B 1 上，且 AE —，A i F^L ，CE 丄 EF .

2 4

(I)证明：平面 ABB i A i 丄平面ABC ;

(U)若CA 丄CB ,求直线AC i 与平面CEF 所成角的正弦值.

【分析】(I )取AB 的中点D ，连结CD ，DF ，DE ?计算DE ，EF ，DF ，利用 勾股定理的逆定理得出

DE 丄EF ，由三线合一得 CD 丄AB ，故而 CD 丄平面

ABB i A i ，从而平面 ABB i A i 丄平面ABC ;

则 | cos |=

|石||苍|

V1

训练了利用

，=

~25

平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题.

(II)以C为原点建立空间直角坐标系，求出「|和平面CEF的法向量I,则直

线AC i与平面CEF所成角的正弦值等于

【解答】证明：(I)取AB的中点D，连结CD, DF , DE .

??? AC=BC , D 是AB 的中点，二CD 丄AB .

???侧面ABB i A i是边长为2的正方形，AE=丄,A i F=〒.

:A i E=], EF= “DE= ]「：二,

DF=j，

??? EF2+DE2=DF2,A DE丄EF, 又CE丄EF, CE A DE=E , CE?平面CDE, DE?平面CDE ,

??? EF丄平面CDE , 又CD?平面CDE ,

??? CD丄EF,

又CD丄AB , AB?平面ABB i A i , EF?平面ABB i A i , AB , EF为相交直线,

??? CD丄平面ABB i A i ,又CD? ABC ,

平面ABB i A i X平面ABC.

(II )v 平面ABB i A i X平面ABC ,

???三棱柱ABC- A i B i C i是直三棱柱，二CG X平面ABC.

v CA X CB , AB=2 , /? AC=BC=「.

以C为原点,以CA , CB , CC i为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示：

则 A (.二,0, 0), C (0, 0, 0) , C i (0, 0, 2) , E (.二,0,亍),F ( _ ' , _ , 2).

???呢=(-血,0 , 2), CE=(並,0, |), CF=(誓,半,2).

8

f n ■ CR 二Cl

设平面CEF的法向量为口= (x , y, z),贝卜_____ __

n*CF=0

L

???直线ACi 与平面CEF 所成角的正弦值为 .

【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中 档题.

7. 如图，在四棱锥中 P — ABCD ，PA 丄平面 ABCD ，AD // BC ，AD 丄CD ，且 AD=CD=2 :':，BC=4 .t, PA=2 .

x+

护

y+2z=0

,令z=4，得 n= (— :，- 9 :■:, 4). 3 K

. =10, | i.|=6

口，丨「|=

「，.

/? si n v □ ■AC 】 -V30| |n||AC ；| ~13~

■ A >

(1)求证：AB 丄PC ;

(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M - AC - D的大小为45 ° , 如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.

【分析】(1)利用直角梯形的性质求出AB，AC的长，根据勾股定理的逆定理得

出AB丄AC,由PA丄平面ABCD得出AB丄PA,故AB丄平面PAC，于是AB丄PC；

(2)假设存在点M，做出二面角的平面角，根据勾股定理求出M到平面ABCD 的距离从而确定M的位置，利用棱锥的体积求出B到平面MAC的距离h,根据勾股定理计算BM，则丄^即为所求角的正弦值.

【解答】解：(1)证明：???四边形ABCD是直角梯形，

AD=CD=2 :■:, BC=4 .t,

??? AC=4 , AB=&皤扭)2+即2=血西=4,

???△ ABC是等腰直角三角形，即AB丄AC,

??? PA丄平面ABCD , AB?平面ABCD ,

??? PA 丄AB,

??? AB丄平面PAC, 又PC?平面PAC,

??? AB 丄PC.

(2)假设存在符合条件的点M,过点M作MN丄AD于N，则MN // PA, ??? MN 丄平面ABCD，二MN 丄AC.

过点M作MG丄AC于G,连接NG，则AC丄平面MNG ,

??? AC丄NG，即/ MGN是二面角M - AC - D的平面角.

若/ MGN=45，贝U NG=MN , 又AN= . ■:NG= : ：MN ,

??? MN=1，即M是线段PD的中点.