第1章习题

生产定额(吨/天)

工段B 生产合同每周最低需求量

（吨）i b i

A 产品

1A 2A 3A 1B 2B 11311310002000599成本（元/天）#1#1#1#2#

2#2#3

#3#3#4定额（工时/件） #j 零件成本（元/件）

零件#i 机床0.30.20.20.20.20.20.250.80.60.60.250.5461245775610811线性规划作业题

P52 第2题

某厂的一个车间有1B ，2B 两个工段可以生产123,,A A A 三种产品，各工段开工一天生产三种产品的数量和成本，以及合同对三种产品的每周最低需求量由下表给出。问每周各工段对该生产任务应开工几天，可使生产合同的要求得到满足，并使成本最低。建立模型。

解：设生产j B 产品的天数为j x （j=1,2）

12min 10002000f x x =+

s.t

125x x +≥

1239x x +≥ 1239x x +≥

0j x ≥,j=1,2

P52 第3题

一个车间加工三种零件，其需求量分别为4000，5000，3500件。车间内现有四台机床，都可用来加工，每台机床可利用工时分别为1，600；1，250；1，800；2，000。机床#

i 加工零件

#j 所需工时和成本由下表给出：

问如何安排生产，才可使生产成本最低？

解：设机床#

i 生产零件

#j 的件数为ij x ，

111213212223313233414243min 461247105587611f x x x x x x x x x x x x =+++++++++++

s.t

112131414000x x x x +++=

122232425000x x x x +++= 132333433500x x x x +++=

1112130.30.20.81600x x x ++≤ 2122230.250.30.61250x x x ++≤

3132330.20.20.61800x x x ++≤

4142430.20.250.52000x x x ++≤ 0ij x ≥， 1,2,3,4i =，; 1,2,3j =

P53 第6题

某厂月底安排某一产品在下个月四周的生产计划。估计每件产品在第一周和第二周的生产成本150元，后两周为170元，各周产品需求量分别为700，800，1000，1200件，工厂每周至多生产产品900件，在第二周和第三周可加班，加班生产时每周增产300件，但生产成本每件增加30元，过剩的产品存贮费为每件每周15元，问如何安排生产，使总成本最小？解：设4周生产的产品件数分别为1234,,,x x x x ；第2，3周加班生产的件数为23,y y ： 12341122min 150()170()15(700)15(700800)f x x x x x x x y =++++-+-++-

122332315(7008001000)180200x x y x y y y +-++-++-++

s.t 1700x ≥ 122700800x x y -++≥

122337008001000x x y x y -++-++≥ 1223370080010001200x x y x y -++-++-=

12340,,,900x x x x ≤≤;20300y ≤≤;30300y ≤≤

P53 第7题

某企业年出有现金30万元，该企业有两个方案选择（1）年初贷给其它企业，年息18%，第二年初可以收回

（2）本企业投资扩大生产。若年初投资一定金额，则第二年还需要继续投资第一年的

60%，而第三年可有等于第二年投资额的1.4倍收益

为使第五年年初企业对这部分资金的最大收益，试确定企业每年资金的使用方案，列出数学模型。

解答：设j x 为该企业相似第一方案中第j 年初使用资金，j y 为该企业在第二方案中使用的资金

年份 j(年初 ) 1 2 3 4 5

111.18x x →

221.18x x →

331.18x x →

441.18x x →

111.4(1.6)y y →

10.6y Z

221.4(1.6)y y →

0.6y Z 331.4(1.6)y y →

0.6y Z 43max 1.18 2.24f x y =+

s.t.

11300000x y +=

2121.180.6x x y y =++

213231.18 2.240.6x y x y y +=++

32431.18 2.240.6x y x y +=+

0,1,2,3,4j x j ≥=

0,1,2,3,4j y j ≥=

P53 第8题

把下列线性规划化成标准型

1234max 3425z x x x x =-+-

s.t 1234422x x x x -+-≥

1234340x x x x +++≤

12340,0,0,x x x x ≤≥≥无要求

解：原式化为

1234min 3425z x x x x =-+-+

s.t

12345422x x x x x -+--=

123463420x x x x x ++++=

12340,0,0,x x x x ≤≥≥无要求

1174489

0,;x x x x x x x ≤=-=-Q Q 设无要求,设

则代入化为标准型：

s.t

235789242x x x x x x -+---+=

23678934420x x x x x x ++-+-=

0j x ≥, j=2,3,5，……，9

72389

min 34255f x x x x x =+-+-

≥

240

x =

第9题：试画出下列线性规划可行域，并求出最优解和最优值（1）

12min 32f x x =+

s.t

1224x x +≥

1266x x +≥ 10x ≥,20x ≥

解：根据约束条件和变量的非负要求，画出各自满足的区域（图）

从图中可知当12324x x +=时：(0,2)x *T =，4f *=

（2）

12max 25f x x =+

s.t 12212x x +≤ 12216x x +≤ 120,0x x ≥≥

从图中可知当12

2540x x +=时：(0,8)x *T =，40f *=

P53 第9题试画出下列线性规划的可行域，并求出最优解和最优值。（1） 12min 32f x x =+

s.t.

1224x x +≥

1266x x +≥

120,0x x ≥≥

解：

1224x x +≥ 1266x x +≥

(0,2)T (2,1)T (0,1)T (6,0)T (3,2)T f '?=

如图： K 无界，有可行域； **(0,2),4T x f ==

（2） 12max 25f x x =+

s.t.

12212x x +≤

12216x x +≤

120,0x x ≥≥

解：12212x x +

≤ 12216x x +≤

(3,6)T (6,0)T (6,5)T (0,8)T

(2,5)T f '=

如图：K 有界**(0,8),40T x f == P53 习题10 给定线性规划问题： 12max 23f x x =+

122x x +≤

12469x x +≤ 120,0x x ≥≥

（1）给出两个最优顶点及其最优值（2）给出它的全部最优解的集合解：

（1）两个最优顶点

*13(0,)2T x =，*

231(,)22T x =，*92

f =

全部最优解的集合：

*121213{(,)469,0,}2T x x x x x x ??

=+=∈????

线段AB 上的点都是最优解

P54 第12题

题目：用单纯形法求解下列线性规划问题

()1 12min 54f

x x =--

st 1

26x x

+≤

1224x x -≤ 125315x x +≤ 120,0x x ≥≥

解： 12min 54f x x =-- ..s t 12326x x x ++= 12424x x x -+= 1255315x x x ++= 0, 1.2......5j x j ≥=

选取初始指标集{}3,4,5B I =，{}1,2D I =，B=I ，其单纯形表如下表1

选取

t=2 x2进基，最小比值准则确定k=3, x5出基，转轴的表3

此时,检验数全部非负,算法终止,最优解和最优值为**

1215120,,777T

x f ??==- ?

P54 第15题：

应用单纯形法证明下列问题无最优解

12max 2Z x x =+

s.t.

12322x x x -++≤

1231x x x -+-≤

0,1,2,3j x j ≥=

试找出一个可行解，它的目标函数值大于2000 解：令

f Z =-

12min 2f x x ∴=--

123422x x x x -+++= 12351x x x x -+-+=

0,1,2,3,4,5j x j ≥=

B x 1

x 2

x 3

x 4

x b

-2-1-1

11-2

-10

100

114x 5

x 5

x 0

在表中，110r =-<，又 1120y =-<，2110y =-<

最小比值准则失效，（LP ）的目标函数值在可行域内无下界

f →-∞ ，无最优解。

取10x ε'=> 2

30,0x x ''== 则

522,1x x εε''=+=+ ()f x ε'=-

为使()2000f x '<- 取2001ε

得(2001,0,0,4004,2002)T x '= 则

()2001f x '=-

即 ()20012000Z x =>

P55 第16 题给定线性规划问题： 12min 2f x x =-

..s t 123412x x +=

123212x x x -+= 0,1,2,3j x j ≥=

对基[]31,B A A =，用矩形运算给出其单纯形表。解答：}{033,1,,312B I B B ??

===- ???

()1

2121312

220212331*3101032111433**114033211243**1124030111310

*20,1343*0,B T B

B B y B A b B b

C C C r C C y f C b ---??--??

?-== ? ?

-????

??--?? ? ?=== ? ? ?-????????-????

?=== ? ? ???????????== ? ?

????

- ?

=-=--=- ?

==()41*4

4??= ???

B C C B x 1

x 2

x 3

x b

1-2001

3x 1

x 010

113

-103

-43

100

44-4

P56 第21题

用大M 法求解下列各个线性规划问题：（1） 123min 3f x x x =-++

..s t 123211x x x -+≤

1234223x x x -++≥

1321x x -=- 0,1,2,3j x j ≥=

解：12367min 3f x x x Mx Mx =-++++

1234211x x x x -++= 123564223x x x x x -++-+= 13721x x x -++=

取初始指标集为{}4,6,7B I =,B=I, (0,,).T

B C M M =

计算得

111.(1,4,1)T

y B A -==-,

212.(2,1,0)T

y B A -==-,

313.(1,2,1)T

y B A -==,

515.(0,1,0)T y B A -==-,1(11,3,1)T b B b -

-==,1

011(0,,)341T B f C B b M M M -?? ?=== ? ???

()()1235

1235123512004121,,,,,,(,,,)(3,1,1,0)(0,,)20

0T B r r r r c c c c C y y y y M M -?? ?--

?=-=-- ?- ??

(63,1,13,)M M M M =---

表1：

B x 1x 2

x 3

x 4

x 5

x b

r 1

-4

-2

-3+6M -21

01-M

(1)1-3M

0-10

0100

x 10

-311

006

x 7

x M M 0

100113-4M

6x 7x

取x3进基,X7出基得表2：

x 1

x 2x 3x 4x 5x b

-2

-1

-2(1)0

1-M

00 00

0-10

0100

4x 106

x 7

x 3M-11

-2-1101-1-M

x 3x r

取x2进基,X6出基得表3: 表3：

x 1

x 2x 3x 4

x 5

x b

(3)0-2

(-1)

0100

00 00

-2-101

210

M-14x 106x 7

x M+1

-2-53x 2

x -2

表4：

B x 1x 2

x 3x 4x 5x b

1000

0100

002/31/3-2/3-1

-4/31/3

2/31

4/3 M-1/34x 0

x 7

x M-2/3

-7/3

-2-5/33

x 2x 1/3 2

最优解：*12345(,,,,)(4,1,9,0,0)T T

x x x x x x ==

最优值：*

2f =-

P56 第22题

应用两阶段法求解下列各个线性规划问题（1）1234min 33f x x x x =-++-

123420x x x x +-+= 123422339x x x x -++= 1234526x x x x x -+-+= 0,1,2,3,4,5j x j ≥=

解：引进人工变量X6,X7,得(LP1)如下: 第一阶段：）67min d x x =+

1234620x x x x x +-++= 1234722339x x x x x -+++= 1234526x x x x x -+-+= 0,1,2,3,4,5j x j ≥=

取初始指标集{}6,7,5B I =,得表1: 表1：

B x 1

x 2x 3x 4x 5x b

-3

0-2-10

2-2

-13-1(-4)

0010

1000

36x 7

x 0

01009-9

6(1)6x 7

x 5

x 0001011r

取x4进基,x6出基,得表2: 表2：

B x 1

x 2x 3x 4

x 5x b

r 2-1

-818

-1(6)00

0010

1-314

x 7

x 0

01009-9

617

x 5

x 14x

取x3进基,x7出基,得表3: 表3：

x 1x 2

x 3

x 4

x 5x b

2/3

-1/613/60-4/37/3

0100

0010

1/2-1/23/21

x 7

x 1

-1/61/61/615

x 5/6

4x 3x r

3/23/29/20

可知(LP1)的最优值为0,出现情况(2),得（LP ）的一个初始可行解：

*12345339

(,,,,)(0,0,,,)222

T T x x x x x x ==

第二阶段：将r 行67x x 和列删去,重新计算r 的值,

125/62/3(,)(3,1)(1,3,0)1/64/3(5/3,17/3)13/67/3r r ?? ?

=-----=- ? ???

,得表4:

x 1

x 2

x 3

x 4

x 5x b

2/3-1/613/6

-5/3-4/37/3

17/3

0100

0010

-300-1313/23/2-3

9/215

x (5/6)4x 3x r

取x1进基,x4出基,得表5:

B x 1

x 2x 3x 4

x 5

x b

4/5000

-6/53/57

-13/52

0010

1/5

9/58/150

3/56/55

x 13x 1x

得（LP ）最优解：

*12345993

(,,,,)(,0,,0,)555

T T x x x x x x ==

最优值：*

0f =

2） 123min 3f x x x =--+

123424x x x x +++= 123424x x x x -+++= 134334x x x ++= 0,1,2,3,4j x j ≥=

解：

第一阶段：

567min d x x x =++ 1234524x x x x x ++++= 1234624x x x x x -++++= 1347334x x x x +++= 0,1,2,3,4j x j ≥=

表1：

B x 1x 2x 3x 4x 5x b 1-13

-3

0-3（3（

（6（21

-3

1000

0100

16x 7x 0

1004

4-12

415x 6x 7x 0000111r

表2：

B x 1x 2

x 3x 4x 5x b

-1-21

3(1)20

(-3)100

11/3

-1

1000

0100

2/3

x 7

x 21/3-1/3-2/34/3

8/3-12

4/31/35x 6x 7x 0000111r

表3：

B x 1x 2x 3x 4x 5x b

r -101

1000

001/30

1-203

06x 7

x 0

1/31

-2/34/300

4/31/36x 3x 2x

上表中：*

0d =

人工变量6x 为基本变量：60x =

所在行元素：212223240y y y y ==== 出现情况（4）

B x 1x 2

x 3

x 4

x 5

x b

-110

100

01/30

101

x 1

1/3-2/34/30

4/31/33

x 2x 000011

出现情况（2）

得：（LP ）的一个初始基本可行解：

*123444

(,,,)(0,,,0)33

T T x x x x x ==

第二阶段：