初二数学秋季尖子班讲义

初二数学秋季尖子班

第9讲概率综合 (3)

第10讲图形旋转（上） (14)

第11讲图形旋转（下） (19)

第12讲一元一次方程初步 (24)

第13讲一元一次方程进阶 (31)

第14讲一元一次方程综合 (38)

第15讲期末考试冲刺复习

第9讲概率综合

第9讲概率综合

考点一、确定事件和随机事件

1、确定事件

必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。

不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。

2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。【高能100例题1】下列事件中是必然事件的是（）

A. 打开电视机，正在播广告.

B. 从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球.

C. 从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝上.

D. 今年10月1日，厦门市的天气一定是晴天.

【高能100例题2】如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，

指针停在每个扇形的可能性相等，四位同学各自发表了下述见解：

甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形了

乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形

丙：指针停在奇数号扇形的概率和停在偶数号扇形的概率相等

丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大。其中你认为正确的见解有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【高能100练习1】下列事件是必然发生事件的是

A、打开电视机，正在转播足球比赛；

B、小麦的亩产量一定为1000公斤；

C、在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球；

D、农历十五的晚上一定能看到圆月．

【高能100练习2】下列说法正确的是( )

A、可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生；

B、可能性很小的事件在一次实验中一定发生；

C、可能性很小的事件在一次实验中有可能发生；

D、不可能事件在一次实验中也可能发生

【高能100练习3】同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能事件的是（）

A. 点数之和为12

B. 点数之和小于3

C. 点数之和大于4且小于8

D. 点数之和为13

考点二、随机事件发生的可能性

一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。

对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。

【高能100例题3】如图所示，准备了三张大小相同

的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，

另一张纸片上画一个正方形。将这三张纸片放在一个

盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，若可以拼成一个

圆形(取出的两张纸片都画有半圆形)则甲方赢；若可以拼成一个蘑菇形(取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形)则乙方赢。你认为这个游戏对双方是公平的吗？若不是，有利于谁？_____________________.

【高能100练习4】李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子。

⑴当两枚骰子点数之积为奇数时，李红得3分，否则，张明得1分，这个游戏公平吗？为什么？

⑵当两枚骰子的点数之和大于7时，李红得1分，否则张明得1分，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你提出一个对双方公平的意见。

考点三、概率的意义与表示方法

1、概率的定义

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率

m

n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。

2、事件和概率的表示方法

一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为

P（A）=P

考点四、确定事件和随机事件的概率之间的关系

1、确定事件概率

（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1

（2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0

2、确定事件和随机事件的概率之间的关系

事件发生的可能性越来越小

0 1概率的值

不可能发生必然发生

事件发生的可能性越来越大

考点五、古典概型

1、古典概型的定义

某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。

2、古典概型的概率的求法

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，

事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=

n

m

【高能100例题4】某班有49位学生，其中有23位女生. 在一次活动中，班上每一位学生的名字都各自写在一张小纸条上，放入一盒中搅匀. 如果老师闭上眼睛从盒中随机抽出一张纸条，那么抽到写有女生名字纸条的概率是 .

【高能100练习5】冰柜里有四种饮料：5瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶桔子水、6瓶啤酒，其中特种可乐和普通可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是( )。

A、5

32

B、

3

8

C、

15

32

D、

17

32

【高能100练习6】若1000张奖券中有200张可以中奖，则从中任抽1张能中奖的概率为 .

【高能100练习7】一个口袋中装有4个白球，2个红球，6个黄球，摇匀后随机从中摸出一个球是白球的概率是 。 考点六、几何概率

有些可能的结果没法一一统计，例如雨点落在地砖上的位置、转盘上指针最后停下的位置等，这时我们可以借助几何图形的面积和线段的长度来计算。此时，事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示，在数学上，这些问题的概率又称为几何概率。

【高能100例题5】如图，数轴上两点AB ，在线段AB 上任取一点C ，则点C 到表示1的点的距离不大于2的概率是 。

考点七、列举法

在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。这种方法称为列举法。

用列举法求概率的基本步骤：

①列举出一次试验的所有可能结果，共n 种； ②求出满足要求的结果数m ； ③概率()m P A n

=

【高能100例题6】从一个装有2个红球，2个白球（红球、白球除颜色不同之外，其余都相同）的盒子里先摸出一个球，再放回盒子里搅匀，再摸出一个球，求两次摸到的都是白球的概率。

【高能100练习8】随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）

A 、41

B 、21

C 、43

D 、1

考点六、列表法求概率

1、列表法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

2、列表法的应用场合

当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

【高能100例题7】如图所示的两个圆盘中,指针落在每一个数上的机会均等,则两个指针同时落在偶数上的概率是（）

A．5

25

B．

6

25

C．

10

25

D．

19

25

考点七、树状图法求概率

1、树状图法

就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

2、运用树状图法求概率的条件

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

【高能100例题8】如图，小明，小华用四张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗均匀后，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回。

（1）若小明恰好抽到的黑桃4。

①请在右边绘制这种情况的树状图；

②求小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率。

（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜；反之，则小明负，你认为这个游戏是否公平？说明你的理由。

【高能100练习9】一布袋中有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其它都一样。小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球。请你利用列举法（列表或画树状图）分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率。

【高能100练习10】某校八年级将举行班级乒乓球对抗赛，每个班必须选派出一对男女混合双打选手参赛．八年级一班准备在小娟、小敏、小华三名女选手和小明、小强两名男选手中，选男、女选手各一名组成一对参赛，一共能够组成哪几对？如果小敏和小强的组合是最强组合，那么采用随机抽签的办法，恰好选出小敏和小强参赛的概率是多少？

考点八、利用频率估计概率

1、利用频率估计概率

在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。

3、随机数

在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。

课后作业

【高能100作业1】下列事件中，属于必然事件的是（）

A、明天我市下雨

B、我走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数

C、抛一枚硬币，正面朝上

D、一口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球【高能100作业2】从一副扑克牌中抽出5张红桃，4张梅花，3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情（）

A、可能发生

B、不可能发生

C、很有可能发生

D、必然发生

【高能100作业3】如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分. 谁先累积到10分，谁就获胜.你认为（填“甲”或“乙”）获胜的可能性更大. 【高能100作业4】中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻）.某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是（）

A、1

4

B、

1

5

C、

1

6

D、

3

20

【高能100作业5】口袋中放有3只红球和11只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别.随机从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是 .

【高能100作业6】五张标有1、2、3、4、5的卡片，除数字外其它没有任何区别。现将它们背面朝上，从中任取一张得到卡片的数字为偶数的概率是。【高能100作业7】以下说法合理的是（）

A、小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%

的意思是每6次就有1次B、抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6的概率是1

6

掷得6。

C、某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖。

D、在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51。

【高能100作业8】小红、小明、小芳在一起做游戏时，需要确定游戏的先后顺序.他们约定用“剪子、包袱、锤子”的方式确定.问在一个回合中三个人都出包袱的概率是____________.

【高能100作业9】在“读书月”活动中，小华在书城买了一套科普读物，有上、中、下三册，要整齐的摆放在书架上，有哪几种摆法？其中恰好摆成“上、中、下”顺序的概率是多少？

【高能100作业10】四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张.

（1）用画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；（2）计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少？

【高能100作业11】一对骰子，如果掷两骰子正面点数和为2、11、12，那么甲赢；如果两骰子正面的点数和为7，那么乙赢；如果两骰子正面的点数和为其它数，那么甲乙都不赢。继续下去，直到有一个人赢为止。

（1）你认为游戏是否公平，并解释原因；

（2）如果你认为游戏公平，那么请你设计一个不公平的游戏；如果你认为游戏不公平，那么请你设计一个公平的游戏。

【高能100作业12】如图，是由转盘和箭头组成的两个装置，装置A、B的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，装置A上的数字分别是1，6，8，装置B 上的数字分别是4，5，7，这两个装置除了表面数字不同外，其它构造完全相同.现在你和另外一个人分别同时用力转动A、B两个转盘

中的箭头，如果我们规定箭头停留在较大数字的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重新转动一次，直到箭头停留在某一数字为止），那么你会选择哪个位置呢？请借助列表法或树状图法说明理由.

47

5

B A

6

8

1

【高能100作业13】两人去某风景区游玩, 每天某一时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同),但是他们不知道这些车的舒适程度, 也不知道汽车开过来的顺序. 两人采用了不同的乘车方案:

甲无论如何总是上开来的第一辆车. 而乙则是先观察后上车, 当第一辆车开来时, 他不上车, 而是子痫观察车的舒适状况, 如果第二辆车的舒适程度比第一辆好, 他就上第二辆车; 如果第二辆车不比第一辆好, 他就上第三辆车.

如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等, 请尝试着解决下面的问题: (1) 三辆车按出现的先后顺序工有哪几种不同的可能?

乘上等车的可能性大? 为什么?

(2) 你认为甲、乙采用的方案, 哪一种方案使自己

．．

【高能100作业14】某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品

牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种

品牌电脑中各选购一种型号的电脑．

(1)写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示）；

(2) 如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电

脑被选中的概率是多少？

(3) 现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如图所示)，

恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台．

第10讲旋转综合（上下）

图1

G

F

E

D

C

B A

A

B

C

D

E

F

G

图2

A

C

D G

图3

第10讲 旋转综合

手拉手模型

【高能100例题1】如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边AB 、AE （AB

①当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位值时，求证BE =DG .

②当点C 在直线BE 上时，连接FC ，直接写出∠FCD 的度数.

③如图3，如果α=45°，AB =2，AE =2，求点G 到BE 的距离.

【高能100例题2】如图1，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，点D 是BC 的中点，作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接AE 、BG . (1) 猜想线段BG 与AE 的数量关系是________________. (2) 将正方形DEFG 绕点D 逆时针旋转α（0360α?<≤?） ①判断(1) 中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；

②若BC =DE =4, 当AE 取最大值时，求AF 的值.

图1

F

E

C D A B

G 图2

E

A

G

B

D C F

【高能100例题3】如图1，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC 的中点，tanB=2.

①求证：AD=AE.

②如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连接AF，求证：DF-EF2AF

③请你在图3中画图探究：当P为线段EC上任意一点（P不与E重合）时，作EF⊥DP于点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.

【高能100例题4】

（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，连接AD、BE相交于点P，求证：BE=AD.

（2）如图2，在△BCD中，∠BCD<120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD 外部作等边三角形ABC，等边三角形CDE和等边三角形BDF，连接AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是：___________________

①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CP A=60°

（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE.

【高能100例题5】如图1，直角△ABC ，∠CAB =90°，AC =1，AB 3， △ABD 为等边三角形.

（1）CB 与AD 的交点为M ，则BM =__________________；

（2）如图2，△ABD 绕点B 旋转一定的角度，旋转到''A BD ，E 始终为线段'A C

的中点，证明：1

'2

AE CD

（3）在（2）的条件下，直接写出AE 的最大值；△ABD 绕点B 旋转一周，直接写出E 的运动的路径的长.

A'

E D'

B A

C

D

M

C

B

A

图2

图1

【高能100例题6】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE⊥BC于点E，连接CD.

（1）如图1，如果∠A=30°，那么DE与CE之间的数量关系是______________. （2）如图2，在（1）的条件下，P是线段CB上一点，连接DP，将线段DP 绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系.