巧算气体做功之“图像法

巧算气体做功 之

“图像法”

前面已经介绍了对于包含有特殊热力学过程时可以用特殊的公式直接计算气体对外界所做的功。但是我们遇到的题目有很多不是发生特殊的热力学过程，而是一般的变化过程，没有使用现成的公式。也有的题目是选择性题目，只需判断做功的正负而不需要计算，如果采用公式法计算较为麻烦。还有一些题目是以气体状态变化图像出现的，要转化为用公式计算比较麻烦。那么我们该怎么办呢？

别急，这里我们就介绍一种使用气体状态变化图像进行判断和计算热力学过程中气体所做的功的方法，由于采用气体状态变化图像来解决问题，我们就叫它图像法。使用图像法解题，比较直观，有时候一眼就能看出气体是做正功还是负功。

下面我们来看看这个方便的招。

大思路

我们常见的各状态变化图像可以按曲线的形状分为封闭形曲线和不封闭曲线。处理这两种图像时稍有不同。

曲线封闭：一般是循环过程，需要根据题目条件，获得变化过程的P —V 图。在P —V 图像中计

算所围面积，就是该循环过程中气体所做的功。顺时针循环，做正功，；逆时针循环，做负功。

曲线不封闭：若需要计算做功大小，也需根据题目条件获得P —V 图，然后计算曲线与横坐标

轴（即V 轴）所围的面积，这个面积就是这个过程中气体所做的功。如果状态变化方向沿V 轴正方向则做功为正，沿V 轴反方向则功为负，如果垂直于V 周则为零。

如果我们只需判断气体是否做功，则可以根据任何自己熟悉的状态变化图像判断初始状态和末状态的体积关系。体积增加，做正功；体积减小，做负功；体积不变，不做功。

好了，我们就去体验一下怎样使用图像法。

经典体验（一）

如图，1mol 理想气体经历了一个在T —V 图上标为1—2—3

—1的循环过程。其中,过程1—2的方程为

112

T 2T (1BV)BV =-，过程2—3是经过原点的线段上的一

段，过程3—1的方程为12

2

T T B V =，Ｂ为常数。状态１和２

的热力学温度为1T 和134T 。求该气体在此循环中对外所做的功。

体验思路： 题目中的循环过程是一个复杂的热力学过程，不是特殊的热力学过程，所以不能使用公

式法解决问题。题目给出了一个Ｔ—Ｖ图，我们可以先将其装换为Ｐ—Ｖ图，其P —V 图也为封闭曲线。计算图形面积即可得到功的大小。

体验过程： 第一步，先按题意画出P —V 图； 先确定各段曲线形式：

1—2过程：由理想气体状态方程PV=n RT 和已知的1

12

T 2T (1BV)BV =-有

211P RB T V 2RBT =-+，因此P 与V 成正比，在P —V 图上是直线。

2—3过程：符合等压过程T —V 曲线，故在P —V 上是水平线，P=P 2。

3—1过程：由PV=n RT 及12

2

T T B V =有12

P RT B V =，P 与V 成正比，在P —V 图上为直

线。

再确定3点的状态参数： 1点：（P 1，V 1，T 1）

2点：当T= T 1时由公式112

T 2T (1BV)BV =-有11B V V ==； 当1

234T T T ==时12332B

2V V V ==

=。再由

11221

2

P V P V T T =

有211

2P P

=，因此2点状态参数为

11133

2412(P

V ,T )，。 3点：由题目有P 3=P 2。由12

2

T T B V =有12

2

33T T B V =，再由

33223

2

P V P V T T =

有

313

1

V 2V T T =

，结合两式有131T 4

T =

， 321113

2

V V V ==

，故3点状态参数为

11111

2412

(P V ,T )，。 由此，可以画出P —V 图如右图。

第二步，标出循环方向，即是图中1—2—3—1

方向，由

于顺时针，故为正功；

第三步，计算图像所围面积，转化为功； 该循环过程中气体所做的总功为12231111

112

44W (P P )(V V )P V RT =

--==。

小 结： 这个例题只是在画P —V 图时稍微有些难度，但是能很好的反映使用图像法的关键——画出

P —V 图，求面积。从上可以看出P —V 图上任意一条曲线与V 轴的面积反映的就是该过程所做的功。对于一个循环过程，将各段累加起来，其所作的功为循环曲线所围面积，功的正负则与循环的方向有关。对于不封闭曲线的处理，则稍微简单一些，这里就不给例子了。

经典体验（二）

如图所示，一定质量的理想气体从A 经ACDB 的一个循环过程后到达B 状态，求在整个过程中气体所做的

功。 体验思路： 题目中的循环过程是一个复杂的热力学过程，其中

AC 为等

压膨胀过程，CD 为等容过程，DB 为等压压缩过程。这些过程所做的功都可以用上一专题所介绍的公式法分阶段计算功的大小，然后相加就得到在整个过程中气体所做的功。但是在

这里我们可以使用图像法求解此题。

体验过程： 假设气体还继续发生了从B 到A 的过程，由于B 状态下气体的体积和A 状态下气体体积相

同，故此过程气体不做功。则ACDB 过程和ACDBA 过程气体所做的功是相等的，故只需计算

ACDBA 过程气体所做的功。ACDBA 过程气体P-V 图为封闭曲线，面积大小为（P 1-P 2）（V 2-V 1）。同时由于ACDBA 为顺时针循环，故做正功，因此所求过程气体所做功为（P 1-P 2）（V 2-V 1）。

小 结： 由此题可以看出，在气体变化过程中，气体经过一系列变化，即经过一个复杂变化后，气

体体积最终没有发生变化，但气体与外界却有机械功，而且功的正负与过程的方向有关。故有时候我们不能仅凭气体体积变化与否来判断气体是否对外界做功。

提 示： 好了，下面我们来试试两道题目，看看是不是真的好用。

试一试

（1） 如右图所示，已知一定质量的理想气体，

从状态1变化到状态2。问：在此过程中气体对外是否做功？

（2） 用n mol 理想气体做热机的工作物质，随着热机做功，气体状态变化完成一个循环，如

图所示，过程1—2和2—3在图中是直线，且 2—3是等容过程，过程3—1可以表达为

1T 0.5T (3bV)bV =-，b 为常数。求气体在

一个循环中

所做的功。

（3） 一定质量的理想气体，由平衡状态A 经过一系列变化过程到达平衡状态B ，且有V A

试一试答案

试一试（1）

指点迷津 这是一个不封闭曲线，只需要判断是否对外做

功，而不需要计算，因此只需判断1、2两状态的体积

即可。虽然状态1和状态2在一条直线上，但并不是说p —T 图上的所有直线都是等容线，只有延长线过原点的直线才表示一个等容过程。我们可以判断等容线斜率来判断1、2两状态下气体体积。

实践略解 分别做出过1和2的等容线Ⅰ和Ⅱ，由图可知，

直线Ⅰ的斜率大于直线Ⅱ的斜率，则V Ⅱ＞V Ⅰ，即V 2

＞V 1，

所以，从状态1变化到状态2，气体膨胀对外做功了。

试一试（2）

指点迷津 此题与例题基本相同，画出P —V 图求面积即可。 实践略解 画出的P —V 图如右图，为顺时针循环，求得功为

13211112

4W (P P )(V V )nRT =

--=。

试一试（3）

指点迷津 此题可以分为两个部分，其中一部分为AE 段，为不

封闭曲

线，直接根据其与坐标轴所围面积以及曲线方向求解。另一段为EDCB 段，此段与例题2所

给的基本相似，从B到E体积相同，不做功，可以看作是一个封闭曲线来进行求解。两部

分相加即得到结果。

实践略解AE段：W1= P2(V2-V1)，EDCB段：W2=-(P1-P2)(V3-V2)。

因此总功为W=W1+W2= P2(V2-V1) -(P1-P2)(V3-V2)。