高考数学创新题型

题型训练四创新题型

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（06年山东）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( )

A ．0 B.6 C.12 D.18

2．（06年辽宁卷）设○

+是R 上的一个运算, A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○

+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（）

A.自然数集

B.整数集

C.有理数集

D.无理数集

3．(05天津)从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22

221x y m n

+=方程中的m

和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（） A. 43 B. 72 C. 86 D. 90 4．（05福建）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0

在区间（0，6）内解的个数的最小值是（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

5．(06上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）

A.48

B. 18

C. 24

D.36 6．点P 到点A(

21，0)，B(a ，2)及到直线x ＝－2

的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 ( ) A.

21 B.23

C.21或23

D.－21或2

7．如果二次方程 x 2

-px-q=0(p,q∈N*) 的正根小于3, 那么这

样的二次方程有（）

A. 5个

B. 6个

C. 7个

D. 8个

8. 设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （）

A. 不存在

B. 只有1个

C. 恰有4个

D. 有无数多个 9。（05全国Ⅲ）计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制

1 2 3 4

7 8

10 11

12 13 14

A .6E B. 72 C .5F D. B0

10．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝

ABc PBC S S ??， λ2＝ABC

PCA

S S ??， λ3＝

ABC PAB S S ??，定义f (P)=(λ1, λ, λ3),若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（21，31，6

），则（）

A. 点Q 在△GAB 内

B. 点Q 在△GBC 内

C. 点Q 在△GCA 内

D. 点Q 与点G 重合

二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

11．在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形。不必证明。

类比性质叙述如下：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

12．规定记号“?”表示一种运算，即+∈++=?R b a b a b a b a 、，

. 若31=?k ，则函数()x k x f ?=的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿.

2倍）：

则第9行中的第 A ．132 B ．255 C ．259 D ．260

14．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元．设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交保险金为_________________ 15．（05年湖南）设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )

在[a ，b]上的面积，已知函数y ＝sinn x 在[0，n π]上的面积为n

（n ∈N *），（i ）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为；（ii ）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，3

4π]上的面积

为 .

16．（06年安徽卷）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称

为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：①3； ②4； ③5； ④6；

⑤7

以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号．．

）

三、解答题（共4小题，10+12+12+12=46，共46分）（17）.（本题满分10分）（05年全国Ⅰ）设函数)0π( )2sin()(<<-+=??x x f 。y=f(x)图像的一条对称轴是直线8

x ．（Ⅰ）求?；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；

（Ⅲ）证明直线025=+-c y x 于函数)(x f y =的图像不相切．

A 1

B 1

C 1

D 1

第16题图

18．(本题12分)某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是

．棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败大本营)时，该游戏结束．设棋子跳到第n 站的概率为n P ．

(I)求P 0，P l ，P 2；(II)求证:)(2

211-----

=-n n n n P P P P (Ⅲ)求玩该游戏获胜的概率．

19．（本题12分）(05年北京)如图，直线l 1：)0(>=k kx y 与直线l 2：kx y -=之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为W 1，右半部分记为W 2. （Ⅰ）分别用不等式组表示W 1和W 2；

（Ⅱ）若区域W 中的动点P （x ，y ）到l 1，l 2的距离之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅲ）设不过原点O 的直线l 与（Ⅱ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3，M 4两点. 求证△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合.

l 1

l 2

20．(本题12分)设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是i ρ、j ρ

，坐标平面上点n A 、

n B )(*

N n ∈分别满足下列两个条件：①1OA j =u u u r r 且1+n n A ＝i ＋j ；②i OB 31=且1

+n n B B ＝2()33

n i ?r 。（Ⅰ）求n OA 及n OB 的坐标；

（Ⅱ）若四边形11++n n n n A B B A 的面积是n a ，求n a )(*

N n ∈的表达式；

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的n a ，是否存在最小的自然数M ，对一切)(*

N n ∈都有n a ＜M 成立？若存在，求M ；若不存在，说明理由．

参考答案：

一、选择题(每题3分，共30分)

1．D 提示：当x ＝0时，z ＝0，当x ＝1，y ＝2时，z ＝6，当x ＝1，y ＝3时，z ＝12，故所有元素之和为18，选D

2．C 提示： A 中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中1÷2＝0.5不

是整数，即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件；D 2=不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C 。 3．B 提示：根据题意，m 是不大于10的正整数、n 是不大于8的正整数。但是当m n

=时22

221x y m n

+=是圆而不是椭圆。先确定n ，n 有8种可能，对每一个确定的n ，m 有1019-=种可能。故满足条件的椭圆有8972?=个。选B

4．D 提示：由题意至少可得f(0)=f(2)=f(-2)=f(3)=f(-3)=f(-5)=f(5)=f(1)=f(4)=0,即在区间（0，6）内f(x)=0的解的个数的最小值是5,选(D) 5．D 提示：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；选D 。

6．D 提示：（思路一）点P 在抛物线y 2

=2x 上，设P(22y ,y ),则有（22y +2

1）2

（22y －a ）2+(y －2)2,化简得(21－a )y 2－4y+a 2+415=0, 当a =2

1时, 符合题意；当a≠21时，?=0,有3

a －22a +415a +817=0,( a +21)(a 2－a +4

17)=0, a =－21。选D.

（思路二）由题意有点P 在抛物线y 2

=2x 上，B 在直线y=2上,当a=－2

时,B 为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=

时，B 为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D.答案：D

7．C 提示：由 △=p 2+4q>0,-q<0, 知方程的根为一正一负．设 f(x)=x 2

-px-q ，则

f(3)=32

-3p-q>0, 即 3p+q<9.由于p,q∈N*，所以 p=1,q≤5 或p=2,q≤2. 于是共有7组(p,q)符合题意．故选C ． 8.D 提示：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、n, 直线 m 、n 确定了一个平面 β.作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面 α 有无数多个．故选D ．答案：D

9。A 提示：∵A=10,B=11,又A ×B=10×11=110=16×6+14,∴在16进制中A ×B=6E,∴选(A)

10．A 提示：由题f(p)=).,,(321λλλ若G 为)3

1,31,31()(=?G f ，ABC 则的重心. 而)6

1,31,21()(=Q f 与之比较知。中在GAB Q ?。故选A 。

二、填空题 11．（下列答案中任一即可，答案不唯一）

（1）从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面的的距离之比为定值。（2）从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面的的距离之比为定值。（3）在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。

（4）在空间，射线OD 上任意一点P 到射线OA 、OB 、OC 的距离之比不变。

（5）在空间，射线OD 上任意一点P 到平面AOB 、BOC 、COA 的距离之比不变。 12．()∞+,1 提示：由31=?k 得311=++?k k ，解得k=1，所以

f(x)=

)0(1>++x x x ，f(x)在（0，＋∞）内是增函数，故f(x)＞1，即f(x)的值域为()∞+,1

13．259 提示：第1行第1个数为1＝0

2，第2行第1个数为2＝1

2，第3行第1个数为4＝2

2，…，第9行第1个数为1

92-＝256，所以第9行第4个数为256＋3＝259。

14．(0.1+p )a 提示：设保险公司要求顾客交x 元保险金，若以ξ表示公司每年的收益额，则ξ

a )·p =x －ap ．为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，

只需E ξ=0.1a ，即x －ap =0.1a ，故可得x =(0.1+p )a ．

即顾客交的保险金为(0.1+p )a 时，可使公司期望获益10%a ．

15．

32,34+π 提示：由题意得：y=sin3x 在]320[π，上的面积为3

4232=?，1)3sin(+-=πx y 在]343[ππ，上的图象为一个半周期结合图象分析其面积为π+3

。

16．①③④⑤ 提示：如图，B 、D 、A 1到平面α的距离分别为1、2、4，则D 、A 1的

中点到平面α的距离为3，所以D 1到平面α的距离为6；B 、A 1的中点到平面α的距离为5

，

A γ β α O P B

所以B 1到平面α的距离为5；则D 、B 的中点到平面α的距离为3

，所以C 到平面α的距离为3；C 、A 1的中点到平面α的距离为7

，所以C 1到平面α的距离为7；而P 为C 、C 1、B 1、D 1中的一点，所以选①③④⑤。三、解答题

（17）。（Ⅰ）解：∵8

=x 是函数y=f(x)的图象的对称轴，∴1)8

2sin(±=+?

?π

，

∴

Z k k ∈+

=+,2

π?π

，∵0<

3π?-

=。（Ⅱ）由（Ⅰ）知43π?-

=，因此)4

32sin(π

-=x y 。由题意得Z k k x k ∈+≤-≤-,2243222πππππ，所以函数)432sin(π-=x y 的单调增区间为

Z k k k ∈++],8

5,8[π

πππ。

（Ⅲ）证明：∵｜/

y ｜=|(/))432sin(π-x |=|)4

32cos(2π-x |≤2

所以曲线y=f(x )的切线的斜率取值范围是[-2,2]，而直线5x -2y+c ＝0的斜率为2

＞2，所

以直线5x-2y+c ＝0与函数)432sin(π

-=x y 的图象不相切。

18．解：(I)依题意，得 P 0=1，P 1=21，2

21212?+=P .

(II)依题意，棋子跳到第n 站(2≤n≤99)有两种可能：第一种，棋子先到第n-2站，又掷出

反面，其概率为

221-n P ；第二种，棋子先到第n-1站，又掷出正面，其概率为12

-n P ∴212

21--+=n n n P P P

∴21121121

212121------+-=-+=-n n n n n n n P P P P P P P

即)992)(2

21(211≤≤--=----n P P P P n n n n

(III)由(II)可知数列{1--n n P P }(1≤n≤99)是首项为210

1-=-P P 公比为2

的等比数列，

于是有)()()()(9899231201099P P P P P P P P P P -++-+-+-+=Λ

=])2

(1[32)

21()3

1()21()21(1100993

-=-++-+-+-+Λ 因此，玩该游戏获胜的概率为])2

1(1[32100

19．解：（I ）

12{(,)|,0},

{(,)|,0}.

W x y kx y kx x W x y kx y kx x =<<-<=-<<>

（II ）直线1:0,l kx y -=直线2:0l kx y +=,由题意得

=即

222

k x y

由(,),

P x y W

∈知2220,

k x y

所以

222

k x y

即22222

(1)0.

k x y k d

--+=

所以动点P的轨迹方程为22222

(1)0.

k x y k d

--+=

（III）当直线l与x轴垂直时,可设直线l的方程为(0).

x a a

=≠由于直线l、曲线C关于x轴对称,

且

l与

l关于x轴对称,于是

1234

M M M M的中点坐标都为(,0)

a,所以1234

OM M OM M

的重心坐标都为

(,0)

,即它们的重心重合.

当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为(0).

y mx n n

=+≠

由

22222

(1)0

k x y k d

y mx n

?--+=

,得222222

()20.

k m x mnx n k d

----=由直线l与曲线C有两个不同交点,可知220

k m

-≠,且

2222222

(2)4()()0.

mn k m n k d d

=+-?++>

设

M M的坐标分别为

1122

(,),(,).

x y x y

则

121212

,()2.

x x y y m x x n

k m

+=+=++

设

M M的坐标分别为

3344

(,),(,).

x y x y

由

y kx y kx n n

x x

y mx n y mx n k m k m

==-

??-

=+=+-+

及得

从而

3412

x x x x

k m

+==+

所以

34341212

()2()2,

y y m x x n m x x n y y

+=++=++=+

所以3434

1212

3333

x x y y

++++

于是

OM M

?的重心与

OM M

?的重心也重合.

20．解答：

（Ⅰ）

1121

n n n

OA OA A A A A

=+++

u u u u r u u u r u u u u r u u u u u u r

L(1)()(1)(1,)

j n i j n i nj n n

=+-+=-+=-

r r r r r

1121

n n n

OB OB B B B B

=+++

u u u u r u u u r u u u u r u u u u u u r

L121

222

3()3()3()3

333

i i i i

=+?+?++?

r r r r

1()2

3399(),0

=?=-?

．

（Ⅱ）

1212

[109()](1)[109()]

2323

n n n n

n n n PA B PA B

a S S n n

=-=-??+--??

△△

5(2)()

=+-?，

（Ⅲ）1

122

[53(2)()

][53(1)()]3

n n n n a a n n -+-=+-?-+-?

112223()[(2)(1)()](4)()333

n n n n n --=?---?=-?

∴ 120a a -<，230a a -<，340a a -<。450a a -=，

560a a ->，670a a ->，等即在数列{}n a 中，458

a a ==+是数列的最大项，所以存在最小的自然数6M =，对一切)(*

N n ∈都有n a ＜M 成立．

高考数学题型分析

一、题型分析 2011年数学试卷的难度较2010年数学试卷的难度有所降低，据专家分析2011年的数学试卷是基于高中课改的要求，但由于考生答题不规范，成绩仍不够理想。 2011年数学试题的题型与近几年的题型基本相同，理科12个选择题中有8个题比较简单，第6，10，11，12题较难，其中6，10计算量较大，11，12题技巧性较强，得分较低，全省理科选择题平均分为33.49，比08，09年有所下降。文科的12个选择题中第8，10，11，12较难，全省平均分为30.32，也比08，09年有所下降。填空题仍是二个比较容易，一个中等，一个较难。理科文科平均分数分别是8.77分和6.54分，和前几年差别不大。在解答证明的六个题目中，三角函数类题仍要用到正弦定理，诱导公式，和差角公式，特殊角的值等知识点求角c,难度不大，但学生解答不够理想，理科平均分为3.93分，是近几年最低的，文科题用到正弦和余弦定理及和角公式，难度适中，平均分为3.4分，是近几年最高的。数列类题目理科题要会观察、审题及判断，即可得一等差数列，并给出其通项公式，再利用无理函数项分项的技巧证明一个不等式，本题难度是近几年较低的，但平均分仅为2.26分，是三年最低的。分析其原因是学生不会破题及解题方法错误。文科题很规范，难度较低，平均分为4.4分，是近几年比较高的。立体几何类题有一定变化，一改近几年出的棱柱形题目，而是以四棱锥题型出现，难倒了许多学生，又由于给出的已知条件比较多，学生不会理清条件，解答不好。其实第一问用传统方法证明时仅涉及到勾股弦定理及直线与平面垂直的条件即可得出。若用向量代数的方法解答第一问时，有一个点的坐标要设三个参数，用已知条件可解出所设的三个参数，对考生而言是比较困难的。第二问用传统方法难度较大，用向量代数方法求解也要解三个参数求出平面的法向量才能解出直线与平面所成的角。理科、文科全省平均分分别是4.21分和1.82分，分数虽不高，但比前两年略有增加。概率应用题应该是近几年最简单的，涉及到的知识点也不多，计算量也不大，但由于考生没有假设事件，叙述不清楚，很多考生答案虽然正确，但附加了购买甲、乙两种保险的独立性，改变了题意，被扣了3分。概率题如何规范答题一直未引起老师和考生高度重视。概率题解答哪些过程可以省略，哪些步骤决不能省略，老师和考生应分析及研究到位。2011年理科、文科全省平均分分别是1.99分和1.72分，这也是近几年来最低的，理科仅有2人得满分，7人得11分，文科高分也很少。解析几何题由于二问都是证明题，考生认为该题难度太大，得分较低。其实第一问是解答形式的证明，对理科考生而言不应太难，第二问证明椭圆周上的四点共圆，其证明思路本身就较难，加上该题计算量大，得高分很不容易。全省满分仅有117人，平均分3.52分，近几年处于中间水平。但文科考生就感到难度太大，全省10到12分的仅有3人，平均分仅有0.66分，是近几年最低的。导数应用题理科题比较新颖，第一问很简单，是一个很规范的证明题，考生容易得分，第二问结合概率证明不等式，构思巧妙，且综合性强，全省满分有19人，平均分为2.55分，是近几年较高的。而文科考题较规范，仍是一个带参数的三次多项式，求一条切线方程及取得极值后讨论参数的取值范围，全省平均分为2.23分，比2010年增加较多。近几年数学试卷考题难度大致相当，2010年考题难度有所增加，仍是贴近教学，立足基础、覆盖全面、稳中有变、特别注意变化的形式，综合性强、展现考生能力。 2010年数学考试题是自2003年数学试题难度最大的一年试题，全省文理科考生的数学成绩最高分均未超过140分，平均成绩也有较大幅度的下降。 2010年理科类三角函数二小一大共20分，立体几何三小一大共27分，解析几何二小

高考数学专题5平面向量39与平面向量有关的创新题文

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学专题5 平面向量 39 与平面向量有关的创新题文成立，设a ，b 的夹角为θ，则sin θ＝________. 2．在△ABC 中，已知AB →AC →＝tan A ，当A ＝π6 时，△ABC 的面积为________． 3．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定m ，n 之间的一种运算“?”为m ?n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )．若a ＝(－1，－2)，a ?b ＝(4,5)，则b ＝________. 4．(2015·宜昌一模)已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则 △AOC 的面积为________． 5．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ·β .若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈? ????0，π4，且a b 和b a 都在集合?????????? ???n 2n∈Z 中，则a b ＝________. 6．已知O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心． 7．设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成．若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为________． 8．若函数f (x )＝2sin(π6x ＋π3 )(－2

2021届新高考高三数学新题型专题01三角函数解答题开放性题目第三篇(原卷版)

第三篇备战新高考狂练新题型之高三数学提升捷径专题01 三角函数解答题

1. 已知OA ＝(2asin 2x ，a)，(1,cos 1)OB x x =-+，O 为坐标原点，a≠0，设f(x)＝OA OB ?＋b ，b>a. (1)若a>0，写出函数y ＝f(x)的单调递增区间； (2)若函数y ＝f(x)的定义域为[ 2 π ，π]，值域为[2,5]，求实数a 与b 的值． 2. 已知直线12,x x x x ==分别是函数()2sin(2)6f x x π=-与3()sin(2)2g x x π=+图象的对称轴. （1）求12()f x x +的值；（2）若关于x 的方程()()1g x f x m =+-在区间[0,]3π 上有两解，求实数m 的取值范围. 3. 已知函数f （x ），g （x ）满足关系g （x ）=f （x ）?f （x +α），其中α是常数．

（1）设()cos sin f x x x =+，2 πα=，求g （x ）的解析式；（2）设计一个函数f （x ）及一个α的值，使得()()2g x cosx cosx =+；（3）当()sin cos f x x x =+，2π α=时，存在x 1，x 2∈R ，对任意x ∈R ，g （x 1）≤g （x ）≤g （x 2）恒成立，求|x 1-x 2|的最小值． 4. 已知函数()21111cos cos sin ,2222f x x x x x x R ??=-+∈ ???. （1）求函数()f x 的值域；（2）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()2,f B b ==ABC S ?=，求a c +的值；（3）请叙述余弦定理（写出其中一个式子即可）并加以证明. 5. 已知函数()2sin cos sin .f x x x x =- (1)求()f x 的最小正周期； (2)设ABC ?为锐角三角形,角A 角B 若()0f A =，求ABC ?的面积. 6. 已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a 、b 为非零实常数. (1)若4f π??= ??? ()f x ，求a 、b 的值. (2)若1a =，6x π =是()f x 图像的一条对称轴，求0x 的值，使其满足0()f x =0[0,2]x ∈π. 7. 已知函数()2sin 2sin 2cos2f x x x x =-. （1）化简函数()f x 的表达式，并求函数()f x 的最小正周期；（2）若点()00,A x y 是()y f x =图象的对称中心，且00,2x π??∈???? ，求点A 的坐标. 8. 已知函数21()2cos 22 f x x x x R =--∈，．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，且c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a b ，的

高考数学必考题型整理

高考数学必考题型整理知己知彼，百战不殆，想要在高考中数学大放光彩就必须了解高考数学题型，掌握高考数学的方向，才能在高考取的好成绩，下面小编就总结一下高考数学必考的几大题型，供参考。高考数学必考题型之函数与导数考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。函数与导数单调性 ⑴若导数大于零，则单调递增;若导数小于零，则单调递减;导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。 ⑵若已知函数为递增函数，则导数大于等于零;若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。高考数学必考题型之几何公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平

行，那么这两个角相等或互补判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行“线面平行” 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行“面面平行” 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直“线面垂直” 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直“面面垂直” 高考数学必考题型之不等式 ①对称性 ②传递性 ③加法单调性，即同向不等式可加性 ④乘法单调性 ⑤同向正值不等式可乘性 ⑥正值不等式可乘方 ⑦正值不等式可开方 ⑧倒数法则高考数学必考题型之数列 (1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几

高考数学的固定题型具体分析

高考数学的固定题型具体分析集合与常用逻辑用语集合是高考每年的必考内容，对集合的考查主要有：集合的运算、集合间的关系和集合语言的运用三个方面，通常以选择题的形式出题。集合知识经常与函数、方程、不等式等知识交汇在一起命题，因此应注意相关知识在解题中的应用. 常用逻辑用语也是每年高考的必考内容，重点考查：充分必要条件的推理判断、四种命题及其相互关系和全称命题与特称命题。同样的经常以选择题的形式出现，这个考点的试题除了考查常用逻辑用语本身的有关概念与方法，还与其他数学知识联系在一起，所以还要注意知识的灵活运用。函数与导数函数是高中数学的主线，是高考考查的重点内容，主要考查：函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数、函数的应用等。其中函数的性质、函数与方程、基本初等函数等以选择题和填空题的形式考查，并且以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等对导数的考查主要有以下几个方面：考查导数的运算与导数的几何意义、考查导数的简单应用，例如求函数的单调区间、极值与最值等、考查导数的综合应用、以及对于导数的综合应用。通常在填空题和解答题出现。立体几何与空间向量高考数学理科对立体几何与空间向量的考查主要有三个方面：一是查空间几何体的结构特征、直观图与三视图，二是考查空间点、线、面之间的位置关系，三是考查利用空间向量解决立体几何问题。通常在选择题和填空题中出现。高考数学文科对立体几何的考查主要有两个方面：一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图二是考查空间点、线、面之间的位置关系，同样的也是在选择题中和填空题中出现。

高考数学新题型分类

2019年高考数学新题型分类新课标以来，高考数学中出现了创新题型，以第8、14、20题为主，创新题型是建立在高中数学思维体系之上的一中新数学题型。2019年高考数学新题型分类为以下几点： (一)解析几何中的运动问题解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。在解此类创新题型时，往往需要融入生活中的很多思想，加上题目中所给信息相融合。在数学层面上，需要考生善于从各个角度与考虑问题，将思路打开，同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。 (二)新距离近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题，考生需要懂得坐标系中坐标差的原理，对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。近两年高考大题中均涉及到了新距离问题，可是高考所考察的内容不再新距离本身，而在于建立新的数学模型情况下，考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。比如2019年压轴题，对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题，由于每个位取值情况均相同，故只需考虑一个位就行了。在大题具体解题中笔者

会详细叙述。 (三)新名词对于题目中出现了新名词新性质，考生完全可以从新性质本身出发，从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型，然后描述的简洁透彻，让考生通过此类描述去挖掘性质。新课标数学追求对数学思维的自然描述，即不会给学生思维断层、非生活常规思路(北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路)。比如2009年北京卷文科填空压轴题，就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元，这样肯快就可以得到答案。 (四)知识点性质结合此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题，此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。比如2019年高考北京卷填空压轴题，需要考生掌握轨迹与方程思想，方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。再比如2009年北京卷填空压轴题，就是对数列递推关系进行了简单的扩展，考生只要严格按照题目的规则代入就可得到答案。此类题型需要考生对于知识点的原理、思维方法有深层次的理解才能够很快做出答案。上面提到的两道题均没有考对应知识点的细节处理问题，而是上升的数学思维方法的层次。(五)情境结合题要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、

高考数学新题型归纳

2019年高考数学新题型归纳（一）解析几何中的运动问题解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。在解此类创新题型时，往往需要融入生活中的很多思想，加上题目中所给信息相融合。在数学层面上，需要考生善于从各个角度与考虑问题，将思路打开，同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。（二）新距离近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题，考生需要懂得坐标系中坐标差的原理，对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。近两年高考大题中均涉及到了新距离问题，可是高考所考察的内容不再新距离本身，而在于建立新的数学模型情况下，考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。比如2019年压轴题，对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题，由于每个位取值情况均相同，故只需考虑一个位就行了。在大题具体解题中

笔者会详细叙述。（三）新名词对于题目中出现了新名词新性质，考生完全可以从新性质本身出发，从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型，然后描述的简洁透彻，让考生通过此类描述去挖掘性质。新课标数学追求对数学思维的自然描述，即不会给学生思维断层、非生活常规思路（北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路）。比如2009年北京卷文科填空压轴题，就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元，这样肯快就可以得到答案。（四）知识点性质结合此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题，此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。比如2019年高考北京卷填空压轴题，需要考生掌握轨迹与方程思想，方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。再比如2009年北京卷填空压轴题，就是对数列递推关系进行了简单的扩展，考生只要严格按照题目的规则代入就可得到答案。此类题型需要考生对于知识点的原理、思维方法有深层次的理解才能够很快做出答案。上面提到的两道题均没有考对应知识点的细节处理问题，而是上升的数学思维方法的层次。

教育部考试中心权威评析：2020年高考数学全国卷试题评析

教育部考试中心权威评析：2020年高考数学全国卷试题评析 2020年高考数学全国卷试题评析（考试中心权威解析） 2020年高考数学试题落实立德树人根本任务，贯彻德智体美劳全面发展教育方针，坚持素养导向、能力为重的命题原则，体现了高考数学的科学选拔和育人导向作用。试题重视数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，突出对关键能力的考查。试题展现了我国社会主义建设成就与科学防疫的成果，紧密联系社会实际，设计真实的问题情境，具有鲜明的时代特色。试卷体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，难度设计科学合理，很好把握了稳定与创新、稳定与改革的关系，对协同推进高考综合改革、引导中学数学教学都将起到积极的作用。 1 发挥学科特色，“战疫”科学入题一是揭示病毒传播规律，体现科学防控。用数学模型揭示病毒传播规律，如新高考Ⅰ卷（供山东省使用）第6题，基于新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数的数学模型的研究成果，考查相关的数学知识和从资料中提取信息的能力，突出数学和数学模型的应用；全国Ⅲ卷文、理科第4题以新冠肺炎疫情传播的动态研究为背景，选择适合学生知识水平的Logistic模型作为试题命制的基础，考查学生对指数函数基本知识的理解和掌握，以及使用数学模型解决实际问题的能力。二是展现中国抗疫成果。全国疫情防控进入常态化后，各地有序推进复工复产复学。新高考Ⅱ卷（供海南省使用）第9题以各地有序推动复工复产为背景，取材于某地的复工复产指数数据，考查学生解读统计图以及提取信息的能力。三是体现志愿精神。如全国Ⅱ卷理科第3题（文科第4题）是以志愿者参加某超市配货工作为背景设计的数学问题，考查学生对基本知识的掌握程度及运用所学知识解决实际问题的能力。

高考数学创新题型精选

2007年高考数学创新题型精选一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（06年山东）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( ) A ．0 B.6 C.12 D.18 2．（06年辽宁卷）设○ +是R 上的一个运算, A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○ +封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（） A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 3．(05天津)从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22 221x y m n +=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（） A. 43 B. 72 C. 86 D. 90 4．（05福建）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5．(06上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（） A.48 B. 18 C. 24 D.36 6．点P 到点A(21，0)，B(a ，2)及到直线x ＝－2 1 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 ( ) A. 21 B.23 C.21或23 D.－21或2 1 7．如果二次方程 x 2 -px-q=0(p,q∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有（） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 8. 设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （） A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 9。（05全国Ⅲ）计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母 A .6E B. 72 C .5F D. B0 10．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ ABc PBC S S ??， λ2＝ABC PCA S S ??， λ3＝ ABC PAB S S ??，定义f (P)=(λ1, λ, λ3),若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（21，31，6 1 ），则（） A. 点Q 在△GAB 内 B. 点Q 在△GBC 内 C. 点Q 在△GCA 内 D. 点Q 与点G 重合二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形。不必证明。类比性质叙述如下：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 12．规定记号“?”表示一种运算，即+∈++=?R b a b a b a b a 、，. 若31=?k ，则函数()x k x f ?=的

2021届新高考版高考数学专项突破训练：专项4 新高考·新题型专练

2021届新高考版高考数学专项突破训练专项4 新高考·新题型专练一、多项选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 1.已知集合M={0,1,2},N={x||x - 1|≤1},则() A.M=N B.N?M C.M∩N=M D.(?R M)∪N=R 2.已知i为虚数单位,则下列结论正确的是() A.复数z=的虚部为 B.复数z=的共轭复数= - 5 - 2i C.复数z=i在复平面内对应的点位于第二象限 D.若复数z满足∈R,则z∈R 3.采购经理指数(简称PMI)是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一,对国家经济活动的监测和预测具有重要作用.制造业PMI在50%以上,通常反映制造业总体扩张,低于50%,通常反映制造业总体衰退.如图1 - 1是2018年10月到2019年10月我国制造业PMI的统计图,下列说法正确的是() 图1 - 1 A.大部分月份制造业总体衰退 B.2019年3月制造业总体扩张最大 C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI比上月增长 D.2019年10月的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点 4.已知函数f (x)=则下列结论中正确的是() A.f ( - 2)=4 B.若f (m)=9,则m=±3

C.f (x)是偶函数 D.f (x)在R上单调递减 5.已知(ax2+)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式中各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是() A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含x15项的系数为45 6.已知向量a=(1,2),b=(m,1)(m<0),且满足b·(a+b)=3,则() A.|b|= B.(2a+b)∥(a+2b) C.向量2a- b与a- 2b的夹角为 D.向量a在b方向上的投影为 7.已知函数f (x)=sin(2x - ),下列结论正确的是() A.f (x)的最小正周期是π B.f (x)=是x=的充分不必要条件 C.函数f (x)在区间(,)上单调递增 D.函数y=|f (x)|的图象向左平移个单位长度后所得图象的对称轴方程为x=π(k∈Z) 8.同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次,记事件A={第一个四面体向下的一面出现偶数},事件B={第二个四面体向下的一面出现奇数},事件C={两个四面体向下的一面同时出现奇数,或者同时出现偶数}.则下列说法正确的是() A.P(A)=P(B)=P(C) B.P(AB)=P(AC)=P(BC) C.P(ABC)= D.P(A)P(B)P(C)=

高中数学高考导数题型分析及解题方法(下载)[1]

导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2) ()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数331x x y -+=有极小值－1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为（1，0） 3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线；（2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线；解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即，

（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过 ),(00y x A 点的切线的斜率为0/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有35 2000--=x y x ②，由①②联立方程组得，??????====255 110000y x y x 或，即切点为（1， 1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 1．已知函数 ))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）由 .23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为： ).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上 ①

高考数学创新题型

题型训练四创新题型一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（06年山东）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( ) A ．0 B.6 C.12 D.18 2．（06年辽宁卷）设○ +是R 上的一个运算, A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○ +封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（） A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 3．(05天津)从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22 221x y m n +=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（） A. 43 B. 72 C. 86 D. 90 4．（05福建）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0 在区间（0，6）内解的个数的最小值是（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5．(06上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（） A.48 B. 18 C. 24 D.36 6．点P 到点A( 21，0)，B(a ，2)及到直线x ＝－2 1 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 ( ) A. 21 B.23 C.21或23 D.－21或2 1 7．如果二次方程 x 2 -px-q=0(p,q∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有（） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 8. 设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （） A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 9。（05全国Ⅲ）计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A .6E B. 72 C .5F D. B0 10．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ ABc PBC S S ??， λ2＝ABC PCA S S ??， λ3＝ ABC PAB S S ??，定义f (P)=(λ1, λ, λ3),若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（21，31，6 1 ），则（） A. 点Q 在△GAB 内 B. 点Q 在△GBC 内