角平分线性质练习题集

４ 分层练习, 评价自我

活动四 做一做 练习一：

判断：（1）OP 是∠AOB 的平分线，则PE=PF （ ）

（2）PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F 则PE=PF （ ）

（3）在∠AOB 的平分线上任取一点Q ，点Q 到OA 的距离等于3cm,则点Q 到OB 距离等于3cm （ ） 练习二

判断:1、若PE=PF ，则OP 是∠AOB 的平分线。( )

2、若PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则OP 是∠AOB 的平分线。( )

3、已知Q 到OA 的距离等于3cm, 且Q 到OB 距离等于3cm ，则Q 在∠AOB 的平分线上（ ） 练习三

如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。 (1)求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等 。

(2)点P 在角A 的平分线上吗？ (3)三角形的三条角平分线有什么关系呢？

５ 课堂反思，强化思想 活动五 想一想

（1）这节课我们帮助别人解决了什么问题？你是怎么做到的？ （2）你感悟到了什么？

６ 布置作业，指导学习

1、必做题：教材：第2题。

2、选做题：教材：第3题。

板书设计

角平分线的性质角平分线的判定

∵PA=PB ∵OP平分∠AOB，

又∵PA⊥OA，PB⊥OB 又∵PA⊥OA, PB⊥OB

∴OP平分∠AOB ∴PA=PB

到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线上的点到角的两边距离相等

测试目标：探索并掌握角平分线性质

11.3角平分线性质（1）

一、选择题

1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误

的是( )

A．PC = PD B．OC = OD C．∠CPO = ∠DPO D．OC = PC 2．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，D E⊥AB于E，

A

B C

D

O

P

D

C

若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( ) A ．10cm B ．8cm C ．6cm D ．9cm 二、填空题

3．角平分线的性质定理：

角平分线上的点_____________________________． 4．⑴如图，已知∠1 =∠2，DE ⊥AB ，

DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，则DE ____DF ．

⑵已知DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别 为E 、F ，且DE = DF ，则∠1_____∠2． 三、解答题

5．如图，点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，AB = AD ，BC = CD ，CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AF 于F ． 求证：CE = CF

6．已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB = AC ，

2

1A

B C

D

E

F

F

A

B

E

C

D

BD 平分∠ABC ． 求证：BC = AB + AD

测试目标：探索并掌握角平分线性质

11.3角平分线性质（2）

一、选择题

1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A ．三条中线的交点

B ．三条高的交点

C ．三条边的垂直平分线的交点

D ．三条角平分线的交点

2． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处

Ｄ．4处

二、填空题

3．角的内部_____________________________的点，在这个角的平分线上．

D

A

C

4．如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=30°，

则∠AOB=_____度．

5．已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留画图痕迹）

6．已知，如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的角平分线上．求证：CP是△ABC的外角平分线．

角的平分线性质的正确应用

“角平分线上的点到角两边的距离相等”的应用

例1 如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F.

求证:∠CBA+∠ADC=180°.

小结:涉及到角平分线有关的问题,要想到角平分线性质的应用,应用

注意步骤的完整性.不要漏点关键的步骤:如CE⊥AB，CF⊥AD，垂足

分别是E，F不能漏掉.

例2 如图,在△ABC,∠C=90°,AD是∠ABC的角平分线,DE⊥AB.垂足为E.DE=EB.求证:AC+CD=AB.

小结:本题主要通过利用角平分线的性质以及直角三角形全等的有关知识进行证明的.解决问题时应灵活应用角平分线的性质.

二、“到角的两边的距离相等的点在角平分线上”的应用

例3 如图，△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线相交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求证：BP为∠ABC的平分线.

小结:本题角平分线性质和判定的综合应用,应注意辅助线的添加的方法.

角的平分线性质及应用

山东 李其明

（1）性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；

（2）性质定理的逆定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．

例1．三角形内到三边的距离相等的点是（ ）的交点． （A ）三条中线（B ）三条高（C ）三条角平分线（D ）以上均不对．

例2．如图1，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ，试问：P

距离相等吗？

例3．如图2，△ABC 中，∠C=900

，AD 平分∠BAC ，BD=4，BC=7，

则D 到AB 的距离是 ．

B

D C

C

例4．如图3，△ABC 中，∠B 、∠C 的角平分线相交于O ， 下面结论中正确的是（ ）．

（A ）∠1＞∠2（B ）∠1=∠2（C ）∠1＜∠2（D ）不能确定．

例5．如图4，在△ABC 中，∠A=900，BD 是角平分线， 若AD=m ，BC=n ，求△BDC 的面积．

例6．如图4，在△ABC 中，∠A=900

，AC=AB ，BD 平分∠BAC ，DE ⊥BC ，BC=8， 求△BED 的周长．

．

例7．如图5，△ABC 中，∠A=900

，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，且AE=EB ，DE=DC ， 求∠B 的度数．

B

C

A

B

C

D

E

1

A B

C

D

E

2

图３

图５

角平分线典型案例精析

安徽李庆社

题1 已知：如图CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且CD、BE相交于O点.

求证：（1）当 ∠1= ∠2时，OB=OC；

（2）当OB=OC时，∠ 1= ∠2.

【点评】利用角平分性质定理或判定定理时，一定要注意垂直的条件.

题2 已知：如图∠ 1= ∠2，BC⊥AC于C，BD⊥AD于D，连结CD交AB于E求证：AB垂直平分CD.

【点评】用了角平分线性质定理，可代替用全等三角形得到的结论，简化证明过程.

题3 已知：如图AD 为△ABC 的角平分线，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 于F ，EF 交AD 于M,求证：MF=ME.

【点评】在已知条件中，有角平分线，可以在角平分线上任取一点向两边作垂线，构造全等三角形.

角平分线（同步测控） 一、选择题

1. 2007广东茂名课改）Rt 90ABC C BAC ∠∠o

在△中，＝，的角

平分线AD 交BC 于 点D ，2CD ＝，则点D 到AB 的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

2. （2007浙江义乌课改） 如图，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ．已知PE =3，则点P 到AB 的距离是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

3. (2007广东课改)到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）

A

C

Ａ．三条中线的交点 Ｂ．三条高的交点 Ｃ．三条边的垂直平分线的交点

Ｄ．三条角平分

线的交点

4. （2006 贵港课改）已知：如图，AD 是ABC △的角

平分线，且:3:2AB AC =，则ABD △与ACD △的面积之比为（ ） Ａ．3:2

Ｂ．3:2

Ｃ．2:3

Ｄ．2:3

5. （2005 盐城）如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA 于C ，

P D ⊥

OB 于D ，则PC 与PD 的大小

关系是（ ） Ａ．PC PD > Ｂ．PC PD = Ｃ．PC PD <

Ｄ．不能确定

6．一个角的平分线的尺规作图的理论依据是（ ） A ．SAS B 。SSS C 。ASA D 。AAS

7． 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，可供选择的地址有几处

A

B

C

D

A B

P D

C

O

A B

C

D

E F

（ ）A.1 B.2 C.3 D.4

8. （2008山东潍坊）如图, Rt △ABC 中,AB ⊥AC ,AD ⊥BC ,BE 平分∠ABC ，交A D 于E ，

EF ∥AC ，下列结论一定成立的是（ ）

A.AB =BF

B.AE =ED

C.AD =DC

D.∠ABE =∠DFE ，

二、填空题

9. （2006 芜湖课改）如图，在ABC △中，90C ∠=o ，AD 平分CAB ∠，

8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是

cm ．

10. (2006 重庆课改)如图所示，A ，B 是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1．请在图中清晰标出使以A ，

B ，Ｃ为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点Ｃ的位置．

A

B

C

B

A

11如图2，P 是∠AOB 的平分线上一点． PC ⊥AO 于C ，PD ⊥OB 于D ， 写出图中一组相等的线段 ．（只需写出一组即可）

12在ABC △中∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于P ，若P 到AB 的距离为10，则它到边AC 和BC 的距离和为 ．

13．在ABC △中，70C ∠=o ，∠A 和∠B 的平分线相交于点P ，则∠BPA= 。 14(2008年双柏县)如图，点P 在AOB ∠的平分线上，若使AOP BOP △≌△，

则需添加的一个条件是 （只写一个即可，不添加辅助线）：

三，证明题

15. 已知，如图3，D 是

的内角

与外角

的平分线BD 与CD 的交点，过D 作DE//BC ，交AB 于E ，交AC 于F 。试确定EF 、EB 、FC 的关系。

图3

16．已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.

求证：AB =AC +CD .

D

C

B A 12

图4-1

A

B

P

O

17如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE

=∠ECB . 求证：CD =AD +BC .

10．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD

A D

B

C

E

图2-1

B 等级

11．如图，AB=AD ，∠ABC=∠ADC=90°，则下列结论：①∠3=∠4；?②∠1=∠2；③∠5=∠6；④AC 垂直且平分BD ，其中正确的有（ ）

A ．①②③④

B ．①②③

C ．①③

D ．①③④

2

D

B

A

351

4

6

12．如图，三条公路两两交于点A 、B 、C ，现要修一个货物中转站，要求到三条公路距离相等，则可供选择的地址有（ ）

A ．一处

B ．二处

C ．三处

D ．四处

C

B

A

13．△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，且BD ：CD=3：2，BC=15cm ，?则点D 到AB 的距离是__________．

14．如图，已知点D 是△ABC 中AC 边一点，点E 在AB 延长线上，且△ABC?≌△DBE ，∠BDA=∠A ．若∠A ：∠C=5：3，则∠DBE 的度数是（ ） A ．100° B ．80° C ．60° D ．120°

D

C

B

A

E

15．如图，已知△ABC中，∠C=90°，E是AB的中点，D在∠B的平分线上，且DE⊥AB，则( )

A.BD＜AE

B.BC=AE

C.BC＜AE

D.以上都不对

16．如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则下列结论：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠5=∠6；④AC垂直且平分BD，其中正确的有( )

A.①②③④

B.①②③

C.①③

D.①③④

17．已知：如图⑷，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，写出图中一组相等的线段(只需写出一组即可).

18．如图，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=?2cm，则AB与CD之间的距离是___________．

P

D

C

B

A

E

19．用直尺和圆规平分已知角的依据是______________．

20．到三角形三边的距离相等的点是三角形（）

A．三条边上的高的交点B．三个内角平分线的交点

C．三边上的中线的交点D．以上结论都不对

C等级

21．如图△ABC中,∠C＝90°,AC＝BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,且AB＝6㎝,则△DEB的周长为（）

A、4㎝

B、6㎝

C、10㎝

D、不能确定

22．如图,MP⊥NP,MQ为△MNP的角平分线,MT＝MP,连接TQ,则下列结论中不正确的是（）

A、TQ＝PQ

B、∠MQT＝∠MQP

C、∠QTN＝90°

D、∠NQT＝∠MQT

23．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC，

求证：BE＝CF。

24．已知，如图BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于D，求证：PM

＝PN。

C

N

P

M

D

B

A

25．如图，B是∠CAF内一点，D在AC上，E在AF上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等。求证：AB平分∠CAF。

26．如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于点O．

⑴若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上．

⑵若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB．

27．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，求证：PB=PC。

P

D

C

B

A

28．如图，某铁路MN 与公路PQ 相交于点O 且交角为90°，某仓库G 在A 区，到公、铁路距离相等，且到公路与铁路的相交点O 的距离为200ｍ。在图上标出仓库G 的位置。（比例尺：1：10000。用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）