探索勾股定理教学案例

课题：18.1探索勾股定理

教材分析：勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。教材注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系和比较，理解勾股定理，以利于正确的进行运用。

学情分析：八年级的学生思维比较活跃，在平时自主学习、合作探究能力训练的基础上，具有了一定的归纳、总结能力及合作意识；他们有参与实际问题活动的积极性，但技能和方法有待提高。八年级学生能独立思考，有强烈的探究愿望，并能在探索的过程中形成自己的观点，能在交流意见的过程中逐渐完善自己的观点。故本课设计遵循“构建主义”的学习理念，以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构。

教学目标：

1．让学生在经历探索定理的过程中，理解并掌握勾股定理的内容及存在条件；

2．介绍勾股定理的几个著名证法及相关史料；

3．使学生能对勾股定理进行简单计算和实际应用。

数学思想：在勾股定理的探索过程中,发展合情推理能力,体会数形结合的思想.

问题解决：1. 通过拼图活动,体验数学思维的严谨性,发展形象思维..

2. 在探究活动中,学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果.

情感态度和价值观：

1、通过勾股定理产生、证明及其历史背景的学习，使学生了解“空间与图形”有着

丰富的历史渊源，了解我们祖先的智慧，增强民族自豪感，感受数学对社会发展的推动作用。

2、在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识的探索精神。

教学重点：勾股定理的探索过程

教学难点：勾股定理的证明与准确的应用

教具学具：多媒体平台，学生自制全等直角三角形，教师用三角板

教学方法与教学手段：自主探究、合作交流教学过程：（一）创设情境，激发兴趣

师：观察下列图片，它们都与什么图形有关？

生：（齐答）直角三角形，正方形！

师：这三幅图分别是一张希腊为纪念一个重要数学定理而发行的邮票、华罗庚教授建议向外太空发射与外星人联系

的图案、2002年国际数学家大会会标——弦图，它们都可以证明一个重要定理！大家想知道是哪个定理吗？

生：想！

师：好！下面老师和大家一起来探索这个定理！

设计意图：通过欣赏图片，了解历史，介绍与勾股定理有关的背景知识，激发学生学习兴趣，自然引

出本节课的课题。

（二）用数学的眼光看问题（毕达哥拉斯的发现）

师：相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来。原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。

师：同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？生1：由等腰直角三角形、正方形

师：原来啊，毕达哥拉斯发现了地砖上的三个正方形存在某种关系，你发现了吗？

探究活动1

（2）你能找出图中三个正方形面积

生2：两个红颜色的正方形的面积之和等于蓝颜色的正方形的面积。师：你能说说理由吗？

生2：如果一个小的等腰直角三角形的面积为1，那么两个小正方形的面积和大正方形的面积都等于4.

设计意图：通过讲传说故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态，“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知。

（三）深入探究，交流归纳

探究活动2

问题1：设每个小正方形的面积为1，分别计算下列图形中正方形A 、B 、C 的面积，它们之间都有上述关系吗？

生3：在算出面积之后，肯定地说有S A +S B =S c 问题2：你能用等腰直角三角形的边长表示正方形的

面积吗？由此猜想等腰直角三角形三边有怎样的关系？生4：我发现每个正方形的面积都等于直角三角形边长的平方，若一个等腰直角三角形的两条直角边为a ，斜边为c ，则有a 2+a 2=c 2

教师板书：

A B C B A C

a 2 +a 2 =c

2 等腰直角三角形

C B A

B A C

师：在等腰直角三角形中，这个结论是成立的，那么这个结论对于个更一般的三角形是否成立呢？生：（不加思索）成立！

师：比等腰直角三角形更一般的三角形是什么三角形？生5：等腰三角形、直角三角形生6：还有普通三角形

师：好！我们先来研究等腰三角形！

以等腰三角形三边为边长向外作正方形，三个正方形之间满足刚才的关系吗？

生7：在网格中作出等腰三角形，并向外作正方形，很明

显A 、B 、C 三者之间没有任何关系！因此等腰三角形的三边没有特殊关系！

师：很好！

生8：其实不在网格，也可以说明！等腰△ADB 和等腰△ACB 有公共的底边AB ，以AC 、CB 为边长的正方形的面积之和与以AD 、BD 为边长的正方形的面积之和不相等。所以等腰三角形的三边没有特殊关系！（学生报以热烈的掌声）

师：很好，实践是检验真理的唯一标准，我们还可以借助多媒体来验证！（教师演示几何画板）借助几何画板直观演示，得出结论：

一般的等腰三角形中三边不具有特殊的关系！当然普通三角形三边也不具有特殊的关系！

师：下面我们来研究直角三角形

探究活动3

做一做：问题3：请求图中正方形A 、B 、C 的面积，看看能得出什么结论？师：在这里正方形A 、B 的面积很容易求出，正方形C 的面积怎么求呢？

生9：可以用这样的方法：用大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积，面积等于25。生10：可以将其分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，面积等于25。

生11：还可以将其分割拼成如图所示的图形，面积等于25。生12：还可以这样拼！

B C

A C B

S A +S B =S C

问题4：下图中的正方形之间也有这个结论吗？

生13：有！

问题5：如果用a 、b 、c 分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个正方形所搭成的直角三角形三边存在怎样的关系？

生14：在直角三角形中，两直角边a 、b 与斜边c 有a 2+b 2=c 2

教师板书：（直角边长为“整数”）

设计意图：通过设计问题串，让探索过程由浅入深，循序渐进。经历观察、猜想、归纳这一数学学习过程，符合学生认知规律。探索面积证法的多样性，体现数学解决问题的灵活性，发展学生的合情推理能力和归纳概括能力。

探究活动4

问题6：假如直角三角形的边长为“小数”呢？这个结论还成立吗？在网格纸上画出直角边长分

别为1.6个单位长度和2.4个单位长度的直角三角形，上面所猜想的数量关系还成立吗？说说你的理由。

生15：这个可能要借助计算机了！（大家笑）

生16：其实当直角边是“小数”的时候，可以转换成“整数”，可以细化网格，使网格的一个单位是两条直角边的“公约数”！

师：你能跟大家讲讲你是怎么想到的吗？

生16：因为两条直角边是整数3、4时，我量了它也不是实际长度，只不够取了它们的比值而已！而网格的单位长度是它们实际长度的“约数”。

生17：对！刚才3、4、5是一个直角三角形的三边，那它们长度的2倍也应该能画出直角三角形！师：你们说的太好了！这可以我们后面要探索的问题！下面我用几何画板来演示给大家看看！刚才这

a 2 +

b 2 =

c 2

直角三角形

c ┏

个结论对任意的直角三角形都是成立的！

（拖动点B ，改变直角三角形ABC 的各边长度，观察三个正方形的面积的关系）

设计意图：通过上述两种探究活动，学生已初步探究出直角边为整数的直角三角形三边关系。设计让学生动手画直角边是小数的情形，将探究活动进一步深化，从而扩展到更一般的情况。使学生体会数学探究由特殊到一般，再到更一般过程。利用几何画板的高效性、动态性反映这一过程，让学生体会到更多的特殊情形，从而为归纳提供基础，这样归纳的结论更具有一般性，学生的印象也更深刻。

板书：勾股定理（毕达哥拉斯定理）

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。a 2+b 2=c 2

（四）追溯历史，激发情感

师：我国是最早了角勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。

商高《周髀算经》毕达哥拉斯设计意图：介绍有关勾股定理的历史，使学生对中国乃至世界的数学史产生浓厚的兴趣，为下一节的验证打好基础。

（五）实践应用，拓展提高 1．求下列图中表示边的未知数x 、y 、z 的值。

2．求出下列直角三角形中未知边的长度。

144

625

576

144

169

a 2+

b 2=c

3．有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

设计意图：由于学生对知识的理解程度有所差异，因此，习题的设置体现层次性。通过对勾股定理的基本应用，让学生知道1、已知直角三角形三边中的任意两边，可以求第三边。2、已知直角三角形三边中的一边及另两边的关系，可以求另两边。（六）回顾小结，整体感知

通过本节课的学习，你有哪些收获与感悟！

设计意图：学生通过对学习过程的小结，领会其中的数学思想方法；通过梳理所学内容，形成完整知识结构，培养归纳概括能力。（七）布置作业，巩固加深

（1）课本第47页第2题。

（2）在网页中你可以找到有关勾股定理的丰富的内容，勾股定理的证明方法已经有几百种，请你结

合本节课的学习探索或从网上搜索证明勾股定理的其它方法。

设计意图：针对学生认知的差异设计了有层次的作业题，既使学生巩固知识，形成技能，又使学有余力的学生获得最佳发展。教学反思：

1．本节课根据学生的认知结构采用“观察——猜想——实验——归纳——验证——应用”的教学方法，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。从学生的原有认知出发，揭示这节课产生的根源，符合学生的认知心理。渗透从特殊到一般的数学思想。为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互讨论、启发中得到提高。

2．本节课始终体现“以学生为本”的教育理念，试图让学生经历观察、归纳、猜想、验证的数学发现过程，发展学生的合情推理能力，体验数学家们探求新知的乐趣。在此过程中，探索定理采用面积法，引导学生利用实验由特殊到一般再到更一般的规律，对直角三角形三边关系加以探究，得出结论。这种方法是认识事物规律的重要方法之一，通过教学让学生初步掌握这种方法，对于学生良好思维品质的形成有重要作用，对学生的终身发展也有一定的作用。

3．关于练习的设计，我采用分层训练，让不同的学生都学有所得，以达到因材施教的目的。练习反馈中既有勾股定理的基本应用，还有贴近学生生活的实例，既让学生感受到数学知识来源于生活又应用于生活，使学生深刻了解勾股定理的广泛应用。

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