初二数学上期末复习提纲

勾股定理全章复

一、复习要求：

1．体验勾股定理的探索过程；已知直角三角形的两边长，会求第三边长。

2．会用勾股定理知识解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定直角三角形。

3．会用勾股定理解决有关的实际问题。

二、知识网络：

三、知识梳理：

1、勾股定理

(1)重视勾股定理的三种叙述形式：

①在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形(《几何原本》)．

②直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积．

③直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和．

从这三种提法的意义来看，勾股定理有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。

(2)定理的作用：

①已知直角三角形的两边，求第三边。

②证明三角形中的某些线段的平方关系。

③作长为的线段。

勾股定理揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。利用勾股定理探究长度为

，，……的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示、相互交融，加深对无理数概念的直观认识。

(3)勾股定理的证明：

经典证法有：①欧几里得证法②赵爽《勾股圆方图注》证法③刘徽《青朱出入图》证法④美国总统加菲的证明⑤印度婆什迦罗的证明⑥面积法证明；除此之外，还有文字证明、拼图证明和动态证明。

(4)勾股定理的应用：

勾股定理只适用于直角三角形，首先分清直角及其所对的斜边。当已知中没有直角时，可作辅助线，构造直角三角形后，再运用勾股定理解决问题。求线段的长度，常常综合运用勾股定理和直角三角形的其它性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质来解决。

2、勾股定理的逆定理

(1)勾股定理的逆定理的证明方法，也是学生不熟悉的，引导学生用所学过的全等三角形的知识，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明的目的。

(2)逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

(3)勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。

运用勾股定理的逆定理的步骤：

①首先确定最大的边②验证：与是否具有相等关系：

若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形。

当时，△ABC是锐角三角形；当时，△ABC是钝角三角形。(4)通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，

17；9，40，4l；……以及这些数组的倍数组成的数组。

勾股数组的一般规律：

丢番图发现的：式子，，(的正整数)

毕达哥拉斯发现的：，，(的整数)

柏拉图发现的：，，(的整数)

3、注意总结直角三角形的性质与判定。

(1)直角三角形的性质：

角的关系：直角三角形两锐角互余。

边的关系：直角三角形斜边大于直角边。

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。

双垂图中的线段关系。

(2)直角三角形的判定：

①有一个角是直角的三角形是直角三角形。

②有两个角互余的三角形是直角三角形。

③两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。(最长的边的平方等于另外两边的平方和的三角形是直角三角形)

4、已知直角三角形的两边长，会求第三边长。

设直角三角形的两直角边为a，b，斜边长为c，由勾股定理知道：。变形得：

，，，，，因此已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可求出第三条边。

5、当直角三角形中含有30°与45°角时，已知一边，会求其它的边。

(1)含有30°的直角三角形的三边的比为：1：：2。

(一个三角形的三个内角的比为1：2：3，则三边的比为1：：2)

(2)含有45°的直角三角形的三边的比为：1：1：。

(3)等边三角形的边长为，则高为，面积为。

6、典型方法的总结：

(1)斜三角形转化为直角三角形

(2)图形的割、补、拼接

(3)面积法与代数方法证明几何问题

7、勾股定理的运用

〈一〉方程思想进行计算

1.如图所示。已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G。

求的值。

解：∵△AFG为等腰直角三角形

∴AG=FG

∵AE为∠BAC的平分线，且EF⊥AC于F，FG⊥AB于G

∴AF=AB

∴从而

〈二〉构造直角三角形

2、已知：如图，AB=AC=20，BC=32，D为BC边上一点，∠DAC=90°．求BD的长．

解：过A作AE⊥BC于E，设BD=x

则DE=16-x，CD=32-x，

在直角三角形ADE和直角三角形ACD中，

解得

所以BD的长为7．

〈三〉勾股定理与变换

在图形变换中经常需要借助勾股定理解决问题，而利用图形变换也能揭示勾股定理的产生过程．

3、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种证明方法。如图，

火柴盒的一个侧面ABCD倒下到的位置，连结，设AB=a，BC=b，AC=c，请

利用四边形的面积证明勾股定理。

分析：本题涉及到旋转变换的对应关系，注意找准对应边，对应角．

证明：四边形的面积：

另一方面，四边形的面积

联立，得。

即

〈四〉面积法与代数计算证明几何问题

面积法：利用垂直关系去分析图形面积之间的关系，是平面几何的一个重要方法．

4、设，，表示三角形的三条高，如果，那么这个三角形是什么三角形？

解：设三角形对应的三条边分别为a，b，c．

由三角形的面积

∴，，代入得

∴三角形是一个直角三角形。

5、证明：直角三角形的斜边与斜边上的高的和大于两直角边之和。

证明：假设直角三角形ABC，∠C=90°，对应三边长为a，b，c，斜边上的高为h．∵、

∴

=

∴

二、体会勾股定理的意义，学会代数计算证明几何问题：

勾股定理提供了一种利用代数方法证明几何问题的思想。

6、如图△ABC中，∠C=90°，M是CB的中点，MD⊥AB于D，请说明三条线段AD、BD、AC总能构成一个直角三角形。

证明：设MC=MB=x，

∵DM⊥AB

∴

连接AM，∵∠C=90°

∴，

因此

∴

〈五〉图形的割、补与拼图

7、已知：如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD=，∠B=90°，求四边形ABCD的面积。

解：连接AC，可求

∴

∴

8、一块四边形的草地ABCD，其中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=20m，

CD=10m，求这块草地的面积。

解：延长AD、BC，交于点E。

∵∠A=60°

∴∠E=30°

∴

又∵

∴

〈六〉运动

9、如图，M是Rt△ABC斜边AB的中点，P、Q分别在

AC、BC上，PM⊥MQ，判断PQ、AP与BQ的数量关系并证明你的结论．

解：猜想

证明：延长QM至N，使得QM=MN，连接AN。

易证△BMQ≌△AMN

∴∠MBQ=∠MAN AN=BQ

又∠MBQ与∠PAM互余，所以∠MAN与∠PAM互

余。

因此△PAN是直角三角形

又M为NQ的中点，PM⊥MQ

∴PN=PQ

在Rt△PAN中，

从而。

实数复习总结

一、概述：从有理数到实数，是数的范围的一次重要的扩充，对今后学习数学有着重要的意义，因此我们应学好这部分知识。本单元的重点和难点都是实数的有关概念。

二、知识要点：

1.有理数：整数和分数统称为有理数。有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数，如

可表示为0.4，可表示为等等；所有形如(m, n为互质的整数，n≠0)的数都是有理数。

2.无理数：无限不循环小数叫做无理数，无理数不能表示成分数的形式。如：π，，-，

-……。

所有开不尽的方根圆周率π以及一些含π的数不循环的无限小数

3.实数：有理数和无理数统称为实数。

我们一般用下列两种情况将实数进行分类：按定义分和按大小分类

4.实数与数轴上的点是一一对应的：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之数轴上的每一个点又都表示一个实数。

5.实数的相反数：如果a表示一个正实数，-a就表示一个负实数。又如果a表示一个负实数，

则-a表示一个正实数。a与-a互为相反数。0的相反数仍是0。如π与-π，与-，m与-m…均互为相反数，互为相反数的两个数相加和为0，例如m+-m=0。

6.实数的绝对值：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即如果a是一个实数，则有

|a|=分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。

注意：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。

例如，|-|=，|-π|=π，||=，|-|=-(-)=-…

注意：-a(a<0)是正数，例如：-(-)

7.倒数：如果a表示一个非零实数，那么a与1/a互为倒数，例与1/

8.有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然适用。

9.实数和平方根和平方根的关系：

注：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；零的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根．

（2）求一个数的平方根，就是把所有平方之后等于这个数的数都求出来，而判断一个数是不是另一个数的平方根，是检查这个数平方之后等不等于另一个数；二者的含意不同，要求不同，切勿混淆。例如“2是4的平方根”这种说法是对的，但反过来，如果说“4的平方根是2”就是错的。

（3）的平方根的文字表达与符号表达的不同，例如：4的平方根是+2

和-2，而=2是对的，但就是错误的。

（4）算术平方根与平方根的区别与联系．

区别: ①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④取值范围不同.

联系: ①具有包含关系；②存在条件相同；③0的算术平方根与平方根都是0.

注：（1）实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。

（2）两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数，例如：-125与125互为相反数，-125的立方根-5与125立方根5也互为相反数。所以求一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数，也即，三次根号内的负号可以移到根号外面，

再如：

3、实数的三个非负性及性质：

在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：

（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即|a|≥0；

（2）任何一个实数的平方是非负数，即a2≥0；

（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0。

非负数具有以下性质：

（1）非负数有最小值零；

（2）有限个非负数之和仍是非负数；

（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.

4、实数的运算：

在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。

在实数的运算中，当遇到无理数时，并且需要求结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数区代替无理数，在进行计算。

近似值的计算过程中，所取近似值的小数位，必须比题目要求的精确度多取一位进行计算，最后结果按题目要求取近似值。

实数加、减、乘、除的运算性质：

⑴加减法：类比合并同类项；

⑵乘法：=（a≥0，b≥0）；

⑶除法：（a≥0，b＞0）

5、实数的大小的比较：

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立。

法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：

求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法，移动因式法

6.对于实数的概念，应注意以下几点：

1.）有理数的一些概念，如相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。实数运算的基础是有理数运算，有理数的一切运算性质和运算律都适用于实数运算．正确地确定运算结果的符号和灵活运用各种运算律来进行运算是掌握好实数运算的关键．

2.）有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍然成立，今后各种运算都是在实数范围内进行。但要注意是：负数不能开平方。

3.）实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

平移与旋转

一、单元知识网络：

二、知识点

知识点一平移

1、平移概念：

把一个图形整体沿一方向移动，得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。

2、平移变换的性质

①对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连结的线段平行且相等，因为经过平移，图形的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离，平移变换前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形（四点共线除外）.

②对应角分别相等，且对应角的两边分别平行，方向一致.

③平移后的图形与原图形全等，因为平移只改变图形位置，不改变图形的形状和大小.

3、平移作图步骤

①确定平移的方向和距离；

②根据对应点的连线平行（或在一条直线上）且相等作出图形各关键点的对应点；

③按原图形的连结方式顺次连结各点.

知识点二、旋转

1、旋转概念：

把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、中心对称与中心对称图形

中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点。

中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.

3、旋转变换的性质

图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.

4、旋转作图步骤

①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.

②分析所作图形，找出构成图形的关键点.

③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.

④按原图形连结方式顺次连结各对应点.

5、中心对称作图步骤

①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.

②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.

知识点三、轴对称

1、轴对称与轴对称图形

轴对称：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点。

轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

2、轴对称变换的性质

①关于直线对称的两个图形是全等图形.

②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.

③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.

④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.

3、轴对称作图步骤

①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点。

②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.

综上：

1、图形变换与图案设计的基本步骤

①确定图案的设计主题及要求；

②分析设计图案所给定的基本图案；

③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；

④对图案进行修饰，完成图案。

2、平移、旋转和轴对称之间的联系

一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当于一次旋转，其旋转角等于两直线交角的2倍.

四、规律方法指导

1.数形结合思想

在运用平移、旋转和轴对称的性质解问题时需寻找对称点，构造变换后的图形，也可借助网格和直角坐标系来解决问题。

2.分类讨论思想

利用所学知识，掌握轴对称图形与中心对称图形、平移与旋转、中心对称图形与旋转对称图形之间的区别和联系，注意分类归纳总结，对知识灵活运用。

3.化归与转化思想

运用图形的全等变换可将不规则图形转化为规则图形. 对图形的处理可以通过平移，对折和旋转使问题简化.

位置的确定

一、知识与技能

1、对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序实数对（a,b）叫做点P的坐标。

2、平面直角坐标系

点的坐标的概念：平面内的点的坐标是一对儿有序实数对，注意，当a≠b时，(a，b)，(b，a)是两个不同点的坐标。

在平面直角坐标系内，对于平面内任意一点，都有一对有序实数和它对应，反过来，对于任意一对有序实数，在坐标平面内都有一个确定的点和它对应。

3、确定点的坐标的方法：

过这一点分别作x 轴y 轴的垂线，利用两个垂足的坐标来确定这个点的坐标。 4、各象限内点的坐标的特征： (1)如图，各象限点的符号情况。

另外，x 轴上：(x ，0)；y 轴上：(0，y)；原点(0，0)。 平行于坐标轴直线上两点的坐标：

直线P 1P 2平行于x 轴x 1≠x 2且y 2=y 1； 直线P 1P 2平行于y 轴x 1=x 2且y 2≠y 1. (2)对称点的坐标性质： 设P(m ，n)，

P 关于x 轴的对称点为p′(m ，-n)； P 关于y 轴的对称点为p′(-m ，n)；

P 关于原点的对称点为p′(-m ，-n)

(3)角平分线上点的坐标特征：P （x,y ）在一三象限的角平分线上则x=y; 若在二四象限则x= -y 。 5、（1）特殊点的距离表示方法

A （x,y ）到x 轴的距离为|y|,到y 轴的距离为|x|

A(x 1, 0) ,B(x 2, 0),则AB=| x 1一x 2 | A(0, y 1) ,B(0, y 2) ,则AB=| y 1一y 2| 直线P 1P 2平行于x 轴 P 1(x 1, y 1) P 2(x 2, y 2) 则P 1P 2=| x 1一x 2 | 直线P 1P 2平行于y 轴 P 1(x 1, y 1) P 2(x 2, y 2) 则P 1P 2=| y 1一y 2|

（2）一般点的距离表示方法

在直角坐标平面内，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点间的距离公式表示为 d(P 1，P 2)222121()()x x y y -+-6、图形的坐标变化与平移

在平面直角坐标系内，如果一个图形的各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它的各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a 相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度.反之,亦成立.根据平移与点的坐标的变化，可以求出平移后的点的坐标.

总结：图形上各点的横纵坐标分别增加或减小时，图形在原位置上进行了平移，其形状大小不变，只是位置改变了。

7、图形的坐标变化与图形的伸长与压缩 在平面直角坐标系中，当图形的横坐标纵坐标其中的一个保持不变，而另一个扩大或缩小一定的倍数时，图形就相应的被横向或纵向拉长或压缩该倍数。

（1）纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的K倍

1.当K>1时，原图形被横向拉长为原来的的K倍

2.当0

1. 当K>1时，原图形被纵向拉长为原来的的K倍

2. 当0

四边形复习

一、知识概述

2. 各种四边形之间的关系图

3.几种特殊四边形的性质表

四边形边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分不是轴对称矩形对边平行且相等都是直角互相平分且相等是轴对称菱形对边平行都相等对角相等互相平分且垂直是轴对称正方形对边平行都相等都是直角平分相等垂直是轴对称等腰梯形底边平行，腰等同一底上两角相等对角线相等是轴对称

四边形边角对角线

平行四边形1.两组对边分别相等

2.两组对边分别平行

3.一组对边平行且相等

两组对角分别相等的四

边形

对角线互相平分的四边形

矩形1.有三个角是直角的四

边形

2.有一个角是直角的平

行四边形

1.对角线互相平分且相等的四

边形

2.对角线相等的平行四边形

菱形1.四边都相等的四边形

2.一组邻边相等的平行四边

形

1.对角线互相平分且垂直的四

边形

2.对角线互相垂直的平行四边

形

正方形1.有一组邻边相等的矩形

2.有一组邻边垂直的菱形

有一个角是直角的菱形

1.对角线互相平分、垂直且相等

的四边形

2.对角线互相垂直且相等的平

行四边形

3.对角线垂直的矩形

4.对角线相等的菱形

等腰梯形一组对边平行，另一组对边

相等的四边形

同一底上两角相等的梯

形

对角线相等的梯形

5. 几种特殊四边形与三角形的关系

四边形与三角形的关系

平行四边形1. 一条对角线把它分成两个全等的三角形

2. 两边对角线把它分成两对全等三角形，且四个三角形面积相等

矩形

1. 一条对角线把它分成两个全等的直角三角形；

2. 两边对角线把它分成两对全等三角形，且四个三角形面积相等；

3. 两条对角线把它分成四个腰长都相等的等腰三角形

菱形1. 一条对角线把它分成两个全等的等腰三角形

2. 两条对角线把它分成四个都全等的直角三角形

正方形1. 一条对角线把它分成两个全等的等腰直角直角三角形

2. 两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形

等腰梯形两条对角线把它分成上下两个等腰三角形，左右两个全等三角形，

二、知识考点梳理

知识点一、多边形的有关概念和性质

1.多边形的定义：

在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.

2.多边形的性质：

(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；

(2)推论：多边形的外角和是360°；

(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；

(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.

注意：(1)多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关；

(2)凸多边形的内角α的范围：0°＜α＜180°。

（3）任意多边形的外角和都为360°（外角和是指：每个顶点取且只取一个外角）。

知识点二、四边形的有关概念和性质

1.四边形的定义：

同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.

2.四边形的性质：

(1)定理：四边形的内角和是360°；

(2)推论：四边形的外角和是360°.

3.正多边形的定义及性质

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

(多边形：边数大于等于3)

4.正多边形的对称轴

奇数边：连接一个顶点和顶点所对的边的中点，即为对称轴

偶数边：连接相对的两个边的中点，或者连接相对称的两个顶点，都是对称轴正N边形边数为对称轴的条数为N

5.正多边形的内角和：(n-2)·180°多边形的一个外角的度数：360°/n

6.中心对称：在平面内，一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后，能够完全重合，称这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心。

中心对称图形

正（2N）边形（N为大于1的正整数），线段，矩形，菱形，圆

只是中心对称图形：平行四边形等．

既不是轴对称图形又不是中心对称图形：不等边三角形

中心对称的性质

①关于中心对称的两个图形是全等形。

②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点，使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。

一次函数复习

一．知识结构

其知识结构框图如下：

二.知识要点梳理

（一）函数

1．函数的概念：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，我们就把x称为自变量，y称为因变量，y是x的函数。2．变量：在某一变化过程中，数值发生改变的量。

3．常量：在某一变化过程中，数值始终不变的量。

4．自变量、函数、函数值：一般的，在某一变化过程中，如果有两个变量x、与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫作当自变量x为a时的函数值。

5．函数的本质：函数反映的是某一变化过程中两个变量之间的关系。

6．函数两个变量之间的关系：在每一个函数中，两个变量之间是一一对应的关系，自变量每取一个值，都有唯一的函数值与之对应。

7．定义域：一般地说，一个函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。

8．函数值：对于自变量在其定义域内的一个确定的值x=a，函数都有唯一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时的函数值。

9．函数的表示法：（1）解析法（2）列表法（3）图象法

（二）一次函数的图象及其画法

（1）所有一次函数的图象都是一条直线。正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是经过（0，0）和（1，k）两点的一条直线，

（2）一次函数y＝kx＋b的图象是经过点（0，b ）的一条直线，只要先描出两点，再连成直线即可。

函数图像性质

正比例函数

y=kx(k≠0)k>0

经过原点O(0,0)和一、三象限的直线，y

随着x的增大而增大

特征值的意义：时，(1，)在第一象

限，直线的倾斜角为锐角，且倾斜角的

度数随的增大而增大

k<0

经过原点O(0,0)和二、四象限的直线，y

随着x的增大而减小

特征值的意义：时，(1，)在第四象

限，直线的倾斜角为钝角

一次函数

y=kx+b(k≠0)

过和

点的一条直线

自变量取值范围全体实数k>0

b>0

经过一、二、三象限的直线，y随着x的

增大而增大

当时，直线由直线

向上平移个单位长度

k>0

b<0

经过一、三、四象限的直线，y随着x的

增大而增大

当时，直线由直线向

下平移个单位长度.

k<0

b>0

经过一、二、四象限的直线，y随着x的

增大而减小

当时，直线由直线

向上平移个单位长度

k<0 b<0

经过二、三、四象限的直线，y随着x的增大而减小

当时，直线由直线向

下平移个单位长度.

总结：(1)决定直线从左向右是什么趋势(倾斜程度)，决定它与轴交点在哪个半轴，、合起来决定直线经过哪几个象限；注意看图识性，见数想形．（2）两条直线和的位置关系可由其系数确定：

相交；，且平行；

，且重合.

（四）能依据给定的两个独立条件，用待定系数法求一次函数的解析式.

（1）常见的直接条件：

对于正比例函数，根据除原点外的一点(，)确定，；

对于一次函数，根据两点(,)和(,)，解方程组，确定、.

（2）间接条件：围成图形的面积；平行关系等．

（五）用函数观点看方程(组)和不等式

1．二元一次方程（组）与一次函数的关系：每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。．

(1)一次函数的图象与轴交点的横坐标一元一次方程的

解.

(2)一次函数与两个图象的交点二元一次方程组

.

(3)使一次函数的函数值(或)的自变量的取值范围一元一次不等式 (或)的解集．

2．能直观地用函数的图象来反映方程(组)的解和不等式的解集，能用一次函数的性质来解决简单的方程(组)问题、不等式问题和实际问题．

（六）数形结合在一次函数中的渗透

用数形结合的方法认识一次函数及其图象，并且将二者紧密结合．

(1)从“数”的方面，体现变量之间的对应关系；从“形”的方面，是横纵坐标满足对应关系的点组成的图形．

图象特征函数变化规律

最高点(最低点) 函数最大值(函数最小值)

从左向右上升(从左向右下降) 随的增大而增大(随的增大而减小)

与轴交点的横坐标函数值为0时的自变量取值

与轴交点的纵坐标自变量为0时的函数值

（七）从一次函数及其图象的角度对二元一次方程(组)和一元一次不等式的再认识．(1)任何一个二元一次方程(、、为常数，且)，它都可以转化成

的形式，即，因此它的图象对应一条直线；这条直线上的每个点

的坐标都与二元一次方程的解、相对应；反之亦然.

方程未知数，未知数之间的制约关系

函数自变量和函数自变量与函数之间的对应关系

图象点的横坐标和纵坐标点在同一直线上

(2)任何一个二元一次方程组(且)都可以化为

（其中、、、为常数，且，），它对应着为何值时，两个一次函数和的函数值相等，还对应着它们的图象的交点

方程组未知数唯一解

两个函数自变量和函数自变量相等时函数值也相等

两条直线点的横坐标和纵坐标两条直线的交点

(3)任何一个一元一次不等式可化为或（、为常数，且.

①的解集的函数值大于0时的自变量取值范围；

②的解集的函数值小于0时的自变量取值范围；

③(，且)的解集的函数值大于

的函数值时的自变量的取值范围直线在直线的上方的点的横坐标范围.

（八）一次函数的应用

1.掌握一次函数在数学中的应用.

(1)会求某个一次函数的图象和两个坐标轴围成的三角形的面积：

.

(2)会求两个一次函数的图象和坐标轴围成的三角形面积或四边形面积：

关键是求某两条直线的交点的坐标(即多边形顶点的坐标)．

2.掌握一次函数在实际中的应用：

如分段函数问题、简单线性规划问题等．

3.对于函数的深化认识.

给出不同形式的数量关系，判断它们是否为x的函数：

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；

二元一次方程组总结与复习

一．知识点

1、二元一次方程及其解集

(1)含有两个未知数，并且未知数项的次数是1的整式方程叫二元一次方程．

(2)二元一次方程的解是无数多组．

2、二元一次方程组和它的解

(1)含有两个相同未知量的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．

(2)使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解．

3、二元一次方程组的解法

(1)代入消元法：把其中的一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后代入另一个方程，就可以消去一个未知数．

(2)加减消元法：先利用等式的性质，用适当的数同乘以需要变形的方程的两边，使两个方程中某个未知数的系数的绝对值相等，然后把两个方程的两边分别相加或相减，就可以消去这个未知数．

4、三元一次方程组及其解法

(1)含有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且是由三个方程组成的方程组叫做三元一次方程组．

(2)解三元一次方程组的基本思想是用消元的方法把“三元”转化为“二元”(将未知问题转化为已知问题，再将“二元”转化为“一元”)．

5.二元一次方程组的运用

6.解应用题的一般步骤

①理解问题：即审题，已知什么？求什么？

②制订计划：设未知数并列出有关代数式，要考虑如何设元（间接设还是直接设）、

如何翻译各量的表达式？如何找出等量关系？

③执行计划：具体设元，列出方程组（体现文字关系到数学关系的转变）；解方

程组，确保运算、变式准确；写出答案，使问题有条不紊地得到解

决．

④解题回顾：把解代入原方程组及原应用题检验，确保科学合理；

6.常见几类应用题及其基本数量关系

明确各类应用题中的基本数量关系，是正确列出方程的关键.常遇到的几类应用题及其基本关系如下：

1.行程问题：基本关系式为: 速度×时间=距离

2.工程问题：基本关系式为:

工作效率×工作时间=工作总量

计划数量×超额百分数=超额数量

计划数量×实际完成百分数=实际数量

3.百分比浓度问题：基本关系式为: 溶液×百分比浓度=溶质

4.混合物问题：基本关系式为:

各种混合物重量之和=混合后的总重量

混合前纯物重量=混合后纯物重量

混合物重量×含纯物的百分数=纯物的重量

5.航行问题：基本关系式为:

静水速度+水速=顺水速度

静水速度-水速=逆水速度

6.数字问题要注意各数位上的数字与数位的关系.

7.倍比问题，要注意一些基本关系术语，如：倍、分、大、小等.

数据代表

一、知识点：

1.平均数、加权平均数的定义：

①平均数：一般地，如果有n个数x1，x2，……，x n，那么，

叫做这n个数的平均数，读作“x拔”。

②加权平均数：如果n个数中，x1出现f1次,x2出现f2次，……，x k出现f k次，(这里f1+f2+……+f k=n)，那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为

这样求得的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，……,f k叫做权。

2.中位数和众数的定义：

中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。（一组数据的中位数只有一个）

众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

3.平均数，中位数和众数的联系与区别

平均数、中位数和众数是统计学中常用的三个统计量，它们之间既有联系又有区别。

一、相同点

平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。

二、不同点

它们之间的区别，主要表现在以下方面。

1、意义不同

平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。

中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数或最中间的两个数的平均数叫做这组数据的中位数。

众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。

2、求法不同

平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数。与每一个数的大小都有关系。

中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它只要找或简单的计算。

众数：一组数据中出现次数最多的那个数。只要找，不必计算就可求出。

3、个数不同

在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。在一组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数。

4、呈现形式不同

平均数：是一个“虚拟”的数，是通过计算得到的，它不是数据中的原始数据，它可能与原数据中的某一个相同，也可能与原数据中的任何一个都不同。

中位数：是一个不完全“虚拟”的数。当一组数据是奇数个时，它就是该组数据排序后最中间的那个数据，是这组数据中真实存在的一个数据；但在数据个数为偶数的情况下，中位数是最中间两个数据的平均数，只有当中间的两个数相同时，它才与这组数据中的两个或两个以上数据相同，是数据中的一个真实的数，如果正中间的两个数不同，此时的中位数就是一个“虚拟”的数。

众数：是一组数据中出现次数最多的原数据，它是真实存在的。但当一组数据中的每一个数据都出现相同次数时，这组数据就没有众数了。

5、代表不同

平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”。