两角和与差的余弦公式说课案
《两角和与差的余弦公式》说课案
一、教材地位和作用分析：
两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。
二、教学目标：
1、知识目标：
①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式；
②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导；
③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。
2、能力目标：
①、培养学生逆向思维的意识和习惯；
②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识；
③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
3、情感目标：
①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美；
②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。
三、教学重点和难点：
教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。
教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。
四、教学方法：
创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的
两角差的余弦公式教案
两角差的余弦公式教案 海南省三亚市第一中学数学组陈艳 一教材分析和目标： 本节课选自人教版.必修四.第三章第一节,是学习了第一章三角函数和第二章平面向量后的内容,其的中心任务是通过以知的向量和三角恒等变换知识,探索建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构.功能及其运用，同时本节内容也是第三章其他十个公式的推导基础。 1. 知识与技能 (1)掌握两角差的余弦公式,并能用之解决简单的问题。 (2)通过对公式的推导,对学生渗透探究思想、类比思想以及分类讨论思想。 2. 过程与方法目标： 通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。 3. 情感与态度目标： 通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。 二教学重点、难点： 重点：通过探索得到两角差的余弦公式，公式的灵活应用。 难点：两角差的余弦公式探索与证明。 教法：问题诱思法，探究法，演练结合法。 学法：自主探究法 三教学流程： 一用熟悉的知识引出课题 二 明确 探索 的目 标和 途径 三 组织 学生 自主 探索 证明 四 通过例 题练习 加强对 公式的 理解 六 布置 作业 五 小 结
四教具:多媒体(幻灯片加几何画板课件演示) 五教学情景设计: 1.我们先看两个问题： （1） cos( π—β)＝? （2） cos( 2π—β)＝? 大家根据诱导公式很快得出了答案，大家接着思考一个问题，当特殊角π和2π被一般角α取代， （3） cos( α－β )＝? 2.大家猜想了多种可能，其中有同学猜想 cos(α－β)＝cosα－cosβ
(整理)《两角和与差的余弦公式》教学设计.
《两角和与差的余弦公式》教学设计 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。 二、教学目标： 1、知识目标： ①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； ②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； ③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2、能力目标： ①、培养学生逆向思维的意识和习惯； ②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： ①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 三、教学重点和难点： 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。 四、教学方法： 创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的
和谐统一。 由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。 学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。 五、教学过程
两角和与差的余弦公式证明
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比 沈阳市教育研究院王恩宾 两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式 基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往 往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同 的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、 解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法 设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β 的正弦、余弦的线段来表示OM． 过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂 足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB ＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα． 综上所述，. 说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推 导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推 广问题. 方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= . 在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、. ∵，且， ∴，∴， ∴ ， ∴， ∴，. 说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点， 建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求 的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.
两角差的余弦公式教案(示范课)
《3.1.1两角差的余弦公式》教案 玉林高中数学科 授课人：饶蔼 教学目标 1. 知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础. 2. 过程与方法：在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题、合作交流的能力；通过两角差的余弦公式的简单运用,掌握不同方法求值. 3. 情感态度：通过课题背景的设计，增强学生的探究、应用意识，认识到数学来源于生活，激发学生的学习积极性. 教学重、难点 1. 重点：两角差余弦公式的探究、证明过程和公式的初步应用. 2. 难点：探究过程的组织和适当引导. 学情分析 学生已经掌握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，也学习了同角三角函数式的变换；理解了平面向量及其运算的意义，并能用数量积表示两个向量的夹角，经历了用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，具有一定的推理能力、运算能力和解决实际问题的能力，但利用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量夹角的联系与区别. 教法、学法 1. 教法：问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学. 2. 学法：课前预习、小组探究、反思小结等. 教学过程 （一）创设情境，引入课题 金城超市电梯长度约为8米，坡度（与地面夹角）约为30度，请问当我们上完电梯后，在水平方向上前进了多少米？ 设前进量为x 米，则3430cos 8=?=x 米 提问：当电梯坡度为45度时，其他不变，x 等于多少？
初三数学《两角差的余弦公式》说课稿
初三数学《两角差的余弦公式》说课稿 初三数学《两角差的余弦公式》说课稿 各位评委、各位老师： 大家上午好。 今天我们上课的内容是《两角差的余弦公式》。 首先，我们看两个问题： (1)cos(π—α)=? (2)cos(2π—α)=? 大家根据诱导公式很快得出了答案，大家接着思考一个问题，当特殊角π和2π被一般角取代， (3)cos(α-β)=? 大家猜想了多种可能，其中有同学猜想cos(α-β)=cosα-cosβ那么这些结论是否成立? 我们一起来用计算器验证。 在这里我们做了与单位圆相交的两个角α，β，现在我们来一起模拟计算下大家猜想的几组结论。首先任意取一组α，β角，模拟计算出cos(α-β);cosα-cosβ;sinα-sinβ;cosα-sinβ;由结果推翻假设(反证法)，那么cos(α-β)到底等于什么呢?现在我们来借助计算机的强大计算功能，由cos(α-β)的.结果模拟可能的答案。 计算机模拟结论 cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ(黑板板书)。
变换不同的α，β角度，结论保持不变。同学们观察分析该结论的构成，右边与向量夹角的坐标表示一致. 联想向量数量积(黑板板书)，用向量法证明: (1)先假设两向量夹角为θ，α–β在[0，π]，α–β=θ此时结论成立，(2)α–β在[π，2π]时两向量夹角θ=2π-(α–β)此时cos[2π-(α–β)]=cos(α–β) (3)α–β在全体实数范围都可以由诱导公式转换到[0，2π]综合三种情况，cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ。得证经过大家的猜想，计算，证明，我们得出两角差的余弦公式，有些同学开始产生疑问，我们最开始的两个诱导公式是否出现了错误，都是两角差的余弦，结论似乎不一致，现在我们一起来探讨，揭开谜底。 用两角差的余弦公式证明问题(1)(2)。 带入具体角度，用两角差余弦公式求cos15°=cos(45°—30°)，同学们试着将15°分成(60°-45°)。(分成17°-2°是否可行) 练习： 证明:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 思考:能否参考两角差的余弦公式进行推导? 我们的新课改提倡“减负”，从数学的角度，减负就是---“加正”， 所以α+β=α-(-β) 由此cos(α+β)
两角差的余弦公式详细教案
§3.1.1 《两角差的余弦公式》教学设计 主讲教师：卫金娟教学目标 1、知识目标： 通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用其解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。 2、能力目标： 通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题、解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力 3、情感目标： 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 学情分析： 1、知识分析：必修4前两章刚学习了《平面向量》和《三角函数》的知识，学生对前两章知识尚记忆深刻，为第三章第一节“两角差的余弦公式”的学习做了充足的知识准备； 但”两角差的余弦公式”中所涉及的用三角函数线推导公式部分比较难，学生独立探究有一定的困难，需要老师合理引导、并让学生小组讨论合作学习来完成. 2、能力分析：从平时的课堂教学中，我已经培养学生具备了一定的小组讨论和探究合作学习的能力，但由于部分学生学习基础薄弱，课堂参与程度不高，所以我合理分组，让学习基础较好且课堂积极活跃的学生带动小组内其他学生一起完成新课学习； 从学生的归纳总结和语言表达能力来看，学生具有了一定的归纳总结的能力，但对数学中逻辑严密的一般结论，还不能用严格的数学语言来表达. 3、学习习惯与态度：所带班级属于文科班，学习纪律性比较好，听课认真，动笔演算等能力比较好，但作为文科班女生胆子小，回答问题方面不是很活跃，需要合理分组合作学习. 教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式。 教学难点：两次探究过程的组织和引导。 教学方法：讲授法与讨论法相结合，探究学习与合作学习相结合 知识准备：平面向量的数量积、三角函数线、诱导公式 教学准备：多媒体、圆规，三角板 教学流程：
从变换的角度赏析“两角差的余弦公式”之推导
从变换的角度赏析“两角差的余弦公式”之推导 近期观看了科幻大片《星际穿越》，影片中出现了虫洞、黑洞、第五维空间等一些星际概念，让人感觉宇宙中充满了奇妙的变换.宇宙的研究当然离不开数学，数学是一切自然科学之王，而数学中也充满了各种奇妙的、令人着迷的变换.三角变换就是其中之一，有些人认为三角学是古老的数学，应该弱化.但从现行高中数学教材来看，仍是对三角学比较重视，确实三角学属于经典数学中的知识，之所以经典有其原因所在，三角学中的各种变换蕴含了丰富的数学思想，是开启学生数学智慧之门，引起学生数学探究欲望的良好素材. 数学变换方法有着深刻的哲学思想基础，这是因为辩证法告诉我们：任何事物都不是孤立、静止和一成不变的，而是在不断地发展变化[1].由于数学变换方法充分体现了联系、运动、转化的观点，它对数学教育研究必然是有启发性的. 下面以“两角差的余弦公式”推导为例，从变换的视角赏析其生成方式. 1公式推导前奏――两锐角差的余弦公式 从学生认知特点的角度出发，从特殊到一般是比较符合学生认知规律的.所以一般可以考虑从两锐角差的余弦着手，
比如cos（45°-30°）=？有各种变换方法可以求出此三角函数值. 1.1数学动手实验中的变换 明代学者与军事家王守仁说：“知是行之始，行是知之成.”而陶行知老先生说：“行是知之始，知是行之成.”“墨辩”提出三种知识：亲知、闻知、说知.亲知是亲身得来的，就是从“行”中得来的，闻知是从旁人那儿得来的，或由师友口传，或由书本传达.说知是推想出来的知识.陶老先生拿“行是知之始”来说明知识之来源，并不是否认闻知和说知，乃是承认亲知为获取一切知识之根本.闻知与说知必须安根 于亲知里面方能发生效力.古今中外第一流的真知灼见无一 不是从“做”中得来，也就是说“教学”要以“做”为主. 浙江省高中数学特级教师冯寅老师也曾经强调“动手”与“动脑”图1并重的观点.我们可以尝试让学生在动手操作数学实验的过程中推导出两锐角差的余弦公式. （1）你能用这两块三角板（如图1）拼出哪些角度呢？ （2）你能用它们拼出15°的角吗？ （3）你能否利用所拼出的图形（如图2或如图3）求出cos15°的值呢？ （4）若将上面的45°和30°角分别改成锐角α和β，那么会有怎样的结论？cos（α-β）=？ 1.2物理学做功中的变换
两角和与差的正弦余弦公式
《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计 商州区中学秦明伟 一、学情分析 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角和与差的正弦、余弦公式建立了良好的知识基础。 二、教学内容分析 本节内容是北师大版教材必修4第三章《三角恒等变换》第二节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。 由于向量工具的引入，教材选择了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。 从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。 基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，进而推导得到其余的和差公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。
三、教学三维目标 1、知识目标 通过两角差的余弦公式的探究，让学生探索、发现并推导其他和（差）角公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题。 2、能力目标 通过利用向量推导两角和与差的正弦、余弦公式及公式的具体运用，使学生深刻体会联系变化的观点，让学生自觉的利用联系的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力及学生逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 四、教学重点、难点 重点：探索得到两角差的余弦公式，理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导。 难点：探索过程的组织和适当引导，并能灵活运用公式。 五、教学过程 导入新课
两角和与差余弦
两角和与差的余弦 （第一课时） 一、教学目标： （一）知识目标： 1、掌握利用平面内两点间的距离公式进行C(α+β)公式的推导； 2、能用赋值法推导C(α-β)公式； 3、初步学会公式的简单应用和逆用公式等基本技能。 （二）能力目标： 1、通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑推理能力； 2、通过公式的灵活运用，培养学生的方程思想和变换能力。 （三）德育目标： 1、公式的推导过程，体现了知识间的内在联系； 2、培养学生利用联系、变化的辨证唯物主义观点去分析问题； 3、通过教师启发引导、培养学生勇于探索的精神和解决问题的优化意识。 （四）美育目标： 公式，发现两角和差的三角函数与单角α、β之间的和通过鉴赏C( α±β) 公谐、轮换结构，让学生感受数学公式的匀称美感。并引导学生领会C( α±β)式的强大功能。 二、教学重难点 1．教学重点：两角和与差的余弦公式的推导与运用。培养学生掌握获取知识，运用知识的一系列的数学方法。 2．教学难点：余弦和角公式的推导以及运用公式进行化简、求值和证明，学会恰当赋值、逆用公式等技能。 三、教学过程： （一）提出问题，产生对公式的需求。 首先让学生通过具体实例消除对“cos(α+β)=cosα+cosβ”的误解，说明两角和（差）的三角函数不能按分配律展开。并鼓励同学对公 式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索。
（二）预备知识 1． 通过观看动画演示，形象直观地结合勾股定理简要介绍平面内两点间距 2． （结合以下问题，观看《几何画板》演示） （1）分别指出点P 1、P 、P 2、P 3的坐标？ （2）弦P 1P 3的长如何表示？ （3）如何构造弦P 1P 3的等量关系？ [注]如何让推导公式的思路来得自然一些？课本出于叙述方便，隐去了证明的思路。教师的任务就是要给出一种合理的思路，比如我们要表示α+β的余弦，那么就得作出α、β、α+β的角，当发现|P 1P 3|可以用 cos(α+β)表示时，想到应该寻找与P 1P 3相等的弦，从而才想到作出角 (-β)。这种思路和课本的叙述是不同的，但从思维的角度来讲，也许更具有某种合理性，更能激发同学通过积极思维去探索、发现问题。 （三）公式推导 1．根据“同圆中相等的圆心角所对的弦相等”得到距离等式1324PP P P = 2．将1324PP P P =转化为三角恒等式，逐步变形整理成余弦的和角公式。 [cos(α+β)-1]2+sin 2(α+β)=[cos(-β)-cos α]2+[sin(-β)-sin α]2 展开，整理得2-2cos(α+β)=2-2cos αcos β+2sin αsin β 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. 3．强调公式中α、β是任意角。用-β去代替β导出C (α-β)，初步认识用赋 值法推导新公式。要求学生注意公式中：角、函数的排列顺序及式中各项符号，引导学生感受公式和谐、轮换的匀称美感，从鉴赏的角度记忆公式。 （四）公式应用 正因为α、β的任意性，所以赋予C (α+β)公式的强大生命力。 1．请用特殊角分别代替公式中α、β，你会求哪些非特殊角的值呢？ 让学生动笔自由尝试、主动探索。有的同学说会求cos15°、cos75°、cos105°、cos(-15°)、cos165°……的值。甚至有的同学会说他验证了
《两角和与差的余弦》说课稿
《两角和与差的余弦》说课稿 一、教材分析： ㈠、地位和作用： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。 ㈡、教学目标： 1、知识目标： （1）使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； （2）使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； （3）使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2、能力目标： ①、培养学生逆向思维的意识和习惯； ②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： ①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 （设计依据：建构主义理论认为，学生的能力培养不是单方面的知识教育，而应该是知识、能力、情感三维一体的一个完整体系，因此，我在教学中设计三方面的目标要求。其中知识目标是近期目标，另两个目标是远期目标。）㈢、教学重、难点： 1、平面内两点间的距离公式的推导和应用是本节的一个重点； 2、两角和与差的余弦公式的推导和应用是本节的又一个重点，也是本节 的一个难点。
（设计依据：平面内两点间的距离公式在本节课中是‘两角和余弦公式推导’的主要依据，在后继知识中也有广泛的应用，所以是本节的一个重点。由于‘两角和与差的余弦公式的推导和应用’对后几节内容能否掌握具有决定意义，在三角变换、三角恒等式的证明、三角函数式的化简求值等方面有着广泛的应用，因此也是本节的一个重点。由于其推导方法的特殊性和推导过程的复杂性，所以也是一个难点。） 二、教学方法： 1、创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。 （设计意图：创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。） 2、教具：多媒体投影系统。 本节课中‘平面内两点间距离公式’虽然以前曾经用过，但其证明对学生来说仍然具有一定难度，为了使学生便于理解，采用几何画板动画演示，增加直观性，减少讲授时间；两角和的余弦公式的推导也通过几何画板动画掩饰来帮助学生认识、理解、加深印象。 （多媒体系统可以有效增加课堂容量，色彩的强烈对比可以突出对比效果；动画的应用可以将抽象的问题直观化，体现直观性原则。） 三、学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别 是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序； 角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。 四、教学过程： 教学程序
两角和与差的正弦、余弦函数(答案)
课时跟踪检测（二十四） 两角差的余弦函数两角和与差的正弦、 余弦函数 一、基本能力达标 1．已知α∈? ????0，π2，cos α＝3 3，则cos ? ????α＋π6＝( ) A.12－66 B ．1－66 C ．－12＋66 D ．－1＋6 6 解析：选A ∵α∈? ????0，π2，cos α＝33，∴sin α＝63， ∴cos ? ????α＋π6＝cos αcos π6－sin αsin π 6 ＝33×32－63×12＝12－66 . 2．满足cos αcos β＝3 2 －sin αsin β的一组α，β的值是 ( ) A ．α＝13π12，β＝3π4 B ．α＝π2，β＝π 3 C ．α＝π2，β＝π6 D ．α＝π3，β＝π 4 解析：选B ∵cos αcos β＝3 2 －sin αsin β， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝32，即cos(α－β)＝3 2， 经验证可知选项B 正确． 3．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．三者都有可能 解析：选C ∵sin A sin B ＜cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B ＞0，∴cos(A ＋B )＞0，
∴A ＋B ＜90°，∴C ＞90°，∴△ABC 是钝角三角形． 4．已知3cos x －sin x ＝－6 5，则sin ? ?? ??π3－x ＝ ( ) A.45 B ．－45 C.35 D ．－3 5 解析：选D 3cos x －sin x ＝2? ?? ??sin π3cos x －cos π 3sin x ＝2sin ? ????π3－x ＝－65，故sin ? ?? ??π3－x ＝－3 5. 5．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，sin(α＋β)＝3 5，则sin β 等于( ) A ．0 B ．0或2425 C.2425 D ．±24 25 解析：选C 由0<α<π2<β<π得，π2<α＋β<3π 2 ， 又sin α＝35，sin(α＋β)＝35，∴cos α＝45，cos(α＋β)＝－4 5， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×45－? ????－45×35＝24 25. 6．sin 15°＋cos 165°的值是________． 解析：原式＝sin(45°－30°)＋cos(120°＋45°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋cos 120°cos 45°－sin 120°sin 45° ＝22×32－22×12－12×22－32×22＝－22.答案：－22 7．设a ＝2cos 66°，b ＝cos 5°－3sin 5°，c ＝2(sin 47°sin 66°
两角和与差的余弦公式的六种推导方法
两角和与差的余弦公式的六种推导方法 沈阳市教育研究院王恩宾 两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下： 方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法 设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM． 过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cos α＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα． 综上所述，. 说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解.但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难.此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题. 方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= . 在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、 . ∵，且， ∴，∴， ∴ ， ∴， ∴，. 说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，
两角和与差公开课教案
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 授课人：班级：高一（8）班日期：4月19日 一、教学目标 知识与技能目标 1.了解两角和的余弦，两角和与差的正弦（切）公式的推导，了解这些公式的内在 联系，经历由两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦（切）公式的探究过程。 2.掌握两角和与差正（余）弦，正切公式的特点与功能，能运用上述公式进行简单 的求值、化简、证明，解决比较简单的有关的应用问题能力目标。 通过两角和的余弦，两角和与差的正弦（切）公式的探究过程，进一步培养学生问 题转化思想和逻辑推理能力；培养学生利用旧知识推导、论证新知识的探索能力； 培养学生进行数学交流，获得数学知识的能力。 .情感、态度与价值观目标 通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化．培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力，充分体会数学中的对称美。 二、教学重、难点 1. 教学重点：应用两角和与差的三角函数公式求值 2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过 程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、学法与教学用具 1. 学法：启发式教学 2. 教学用具：多媒体 四、教学设想： （一）复习与导入： 1.cos (α–β）=cosα cosβ+sinα sinβ 2困惑：.利用两角差的余弦公式固然能解决一些问题，但范围太窄，我们希望在此基础上获取一系列有应用价值的公式，实现资源利用和可持续发展战略. 期望：有了两角差的余弦公式，自然想得到两角差的正弦、正切公式，以及两角和的正弦、余弦、正切公式，对此，我们将逐个进行探究，让希望成为现实. （二）公式的探究与特点分析1.cos()cos() 2.sin()sin() 3.tan() ccss αβαβ αβαβ αβ -?+ ?+?- ?± 由 特点与记忆方法：余弦：顺序两角，反号特点与记忆方法：正弦：顺序两角，sccs同号特点与记忆方法：正切：顺序两角，上同下反 注意使用条件及公式的变形： ()() tan tan tan1tan tan αβαβαβ ±=± 正切的和差化积。 （三）演排练习：求值1：cos75°2：sin105°3：sin15°技巧：所求角=用特殊角的和与差表示
两角差的余弦公式的说课稿
两角差的余弦公式说课稿 教材分析 1、教材所处的地位和作用： 《两角差的余弦公式》是新课标人教版数学必修四第三章第一课时的教学内容，是本模块第一章《三角函数》和第二章《平面向量》相关知识的延续和拓展。其中心任务是通过已学知识,探索建立两角差的余弦公式。它不仅是前面已学的诱导公式的推广，也是后面其它和（差）角公式推导的基础和核心，具有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。 2、重点，难点以及确定的依据：对本节课来说，学生最大的困惑在于如何得到公式．所以，本节课的教学重点是：两角差的余弦公式的探究和应用；教学难点是：两角差的余弦公式的由来及证明；引导学生通过主动参与, 独立探索。教学目标设计 （1）知识与技能： 本节课的知识技能目标定位在公式的向量法证明和应用上；学会运用分类讨论思想完善证明；学会正用、逆用、变用公式；学会运用整体思想，抓住公式的本质．在新旧知识的冲撞过程中，让学生自主地对知识进行重组、构建，形成属于自己的知识结构体系． （2）过程与方法： 创设问题情景，调动学生已有的认知结构，激发学生的问题意识，展开提出问题、分析问题、解决问题的学习活动，让学生体会从“特殊”到“一般”的探究过程；在探究过程中体会化归、数形结合等数学思想；在公式的证明过程中，培养学生反思的好习惯；在公式的理解记忆过程中，让学生发现数学中的简洁、对称美；在公式的运用过程中，培养学生严谨的思维习惯和自我纠错能力． (3)情感、态度与价值观： 体验科学探索的过程，鼓励学生大胆质疑、大胆猜想，培养学生的“问题意识” ，使学生感受科学探索的乐趣，激励勇气，培养创新精神和良好的团队合作意识．通过对猜想的验证，
两角和差正余弦公式的证明
两角和差正余弦公式的证明 北京四中数学组皇甫力超 论文摘要： 本文对两角和差的正余弦公式的推导进行了探讨。在单位圆的框架下 , 我们得到了和角余弦公式 ( 方法 1) 与差角余弦公式 ( 方法 2)。在三角形的框架下 , 我们得到了和角正弦公式 ( 方法 3 ~11 ) 与差角正弦公式 ( 方法 12,13)。 关键词： 两角和差的正余弦公式 正文： 两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。 由角, 的三角函数值表示的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公式的功能。换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一个等式或方程 , 将或与, 的三角函数联系起来。 根据诱导公式 , 由角的三角函数可以得到的三角函数。因此 , 由和角公式容 易得到对应的差角公式, 也可以由差角公式得到对应的和角公式。又因为 , 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 据此 , 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此 , 只要解决这组公式中的一个 , 其余的公式将很容易得到。 (一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示, 和, 而且角的终边与单位圆的交点坐标可 以用三角函数值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系与, 的三角函数值的等式。 1. 和角余弦公式
(方法 1) 如图所示, 在直角坐标系中作单位圆, 并作角, 和, 使 角的始边为, 交于点A, 终边交于点B；角始边为, 终边交 于点C；角始边为, 终边交于点。从而点A, B, C和D的坐标分别为, ,,。 由两点间距离公式得 ； 。 注意到, 因此。 注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架 , 利用平面内两点间距离公 式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的和为任意角。 2. 差角余弦公式 仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是
两角和与差正弦公式与余弦公式
【课题】 1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（一） 【教学目标】 知识目标： 理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简． 能力目标： 学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高． 【教学重点】 本节课的教学重点是两角和与差的正弦公式与余弦公式． 【教学难点】 难点是公式的推导和运用． 【教学设计】 在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到 cos(6030)cos60cos30?-?≠?-?， 然后提出如何计算cos()αβ-的问题．利用矢量论证cos()αβ-的公式，使得公式推导过程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1和例2 都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广π sin()cos 2αα-=时， 用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维．公式sin()αβ+的推导过程是，首 先反向应用例3中的结论π cos()sin 2αα-=，然后再利用公式cos()αβ-，最后整理得到公 式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式π cos()2α-．逆向使用公式， 培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式cos()αβ-是最基本的公式，要求学生理解其他公式的推导过程，同时将公式sin()αβ±和公式cos()αβ±相对比进行记忆．要帮助学生总结公式中角α和角β以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．例4利用 156045?=?-?求解，还可以利用154530?=?-?求解．例5通过逆向使用公式来巩固知识， 这种方法在三角式的变形中经常使用．例6是三角证明题．教材给出了两种证明方法，体现了正向与逆向使用公式的思路．教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力． 【教学备品】 教学课件．两课时 【课时安排】
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点) 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难点) 3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点) [基础·初探] 教材整理1两角和与差的余弦公式 阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题. cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________． 【解析】逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0. 【答案】0
教材整理2两角和与差的正弦公式 阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题． 1．公式 2.重要结论－辅助角公式 y＝a sin x＋b cos x x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos sin θ θ (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．() (2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．() (3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．() (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.() 解：(1)√.根据公式的推导过程可得． (2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β. (3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°
两角差的余弦公式
两角差的余弦公式 教学目标 1．掌握两角差的余弦公式．(重点) 2．会利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(难点) 3．两角差的余弦和两角余弦的差．(易混点) [基础·初探] 教材整理两角差的余弦公式 阅读教材P124～P126例1以上内容，完成下列问题． cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β． (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角． (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.() (2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．() (3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．() (4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.() 解：(1)×.cos(60°－30°)＝cos 30°≠cos 60°－cos 30°. (2)×.当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此时cos(α
－β)＝cos α－cos β. (3)√.结论为两角差的余弦公式． (4)√.cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝cos(120°－30°)＝cos 90°＝0. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ [小组合作型] 利用两角差的余弦公式化简求值 (1)cos 345°的值等于( ) A ．2－6 4 B ．6－24 C ．2＋64 D ．－2＋6 4 (2)2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A ．12 B ．3 2 C ． 3 D ． 2 (3)化简下列各式： ①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； ②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. (1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解． (2)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．
3.1.1两角差的余弦公式教案
3.1.1两角差的余弦公式 一、教材分析 《两角差的余弦公式》是人教A 版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。 二、教学目标 1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构 及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。 2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。 3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。 三、教学重点难点 重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。 难点 探索过程的组织和引导。 四、学情分析 之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。 五、教学方法 1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式. 2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程. 3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 六、课前准备 1.学生准备：预习《两角差的余弦公式》，理解两种方法的推理过程。 2.教师准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排：1课时 八、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题。并针对问题中的0 cos15用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。 教师问：想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的C 点处往该点正对的地面上的A 点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗? (要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器) 问题：（1）能不能不用计算器求值 ：0cos 45 ，0cos30 ，0 cos15 （2）0 cos(4530)cos45cos30-=-是否成立？ 设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。 （二）、研探新知