初中数学经典几何难题及答案

经典难题（一）

1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）

第1题图

第2题图

2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）

3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）

第3题图

第

4题图

4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延

B D 2

C 2

B 2

A 2

D 1

C 1

B 1

C

B

D

A

A 1

A

P

C D

B

A

F

G

C

E

B O

D

长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．

经典难题（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．

（1）求证：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）

第1题图第2题图

2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及

D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）

第3题图

第4题图

4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．

求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）

经典难题（三）

1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二） 第1题图

第2题图

2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．（初二）

3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）

第3题图

第4题图

4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．

求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）

经典难题（四）

1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）

第1题图

第2题图

2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）

3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）

第3题图

第4题图

4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）

经典难题（五）

1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：

≤L ＜2．

第1题图

第2题图

2、P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．

3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．

E

D

C B

A

A

C B

P

D

A

P

C B F

P

D

E C

B

A

C

B

D

A

第3题图第4题图4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，

∠EBA＝200，求∠BED的度数．

经典难题（一）

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．

求证：CD＝GF。（初二）

证一：连接OE。

∵EG⊥CO ，EF⊥AB，

∴O、G、E、F四点共圆，且OE为直径。

∴GF=OE·sin∠GOF。

又△OCD中，CD=OC·sin∠COD。

∵∠GOF+∠COD=180°，

OC= OE为⊙O半径，

∴CD＝GF。证二：连接OE，过G作GH⊥AB于H。

∵EG⊥CO ，EF⊥AB，

∴O、G、E、F四点共圆，且OE为直径。

∴∠GEO=∠HFG。又∠EGO=∠FHG=Rt∠，∴△GEO∽△HFG。∴GF:OE=GH:OG。

又GH∥CD，∴GH:CD=OG:OC，

即GH:OG=CD:OC，∴GF:OE=CD:OC，

而OE=OC，∴CD＝GF。

2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：

3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）

A

P

C

D

B E

A

F

G C

E

B O

D

A

F

G

C

E

B O

D

D 2

C 2

B 2

A 2

D 1

C 1

B 1

C

B

D

A

A 1

H

4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延

长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．

经典难题（二）

1、已知：△

ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．

（1）求证：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）

2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及

B