第一章第2节

第2节常用逻辑用语

考试要求 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对存在性命题进行否定.

知识梳理

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件p?q且q p

p是q的必要不充分条件p q且q?p

p是q的充要条件p?q

p是q的既不充分也不必要条件p q且q p

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示.

(2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示.

3.全称命题和存在性命题(命题p的否定记为綈p，读作“非p”)

名称

全称命题存在性命题

形式

结构对M中的所有x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记?x∈M，p(x)?x0∈M，p(x0)

否定?x0∈M，綈p(x0)?x∈M，綈p(x)

[微点提醒]

1.区别A是B的充分不必要条件(A?B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B?A 且A B)两者的不同.

2.A是B的充分不必要条件?綈B是綈A的充分不必要条件.

3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

基础自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.()

(2)“长方形的对角线相等”是存在性命题.()

(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()

(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()

解析(2)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.

答案(1)√(2)×(3)√(4)√

2.(选修2－1P15例2（1）改编)命题“?x∈R，x2＋x≥0”的否定是()

A.?x0∈R，x20＋x0≤0

B.?x0∈R，x20＋x0<0

C.?x∈R，x2＋x≤0

D.?x∈R，x2＋x<0

解析由全称命题的否定是存在性命题知命题B正确.

答案 B

3.(选修2－1P20讲解引申改编)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2经过原点的一个充要条件是________________.

解析若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2经过原点，等价于原点坐标适合圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的方程，

∴(0－a)2＋(0－b)2＝r2，∴a2＋b2＝r2，反之亦然.

答案 a 2＋b 2＝r 2

4.(2015·全国Ⅰ卷)设命题p ：?n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( ) A.?n ∈N ，n 2>2n

B.?n ∈N ，n 2≤2n

C.?n ∈N ，n 2≤2n

D.?n ∈N ，n 2＝2n

解析命题p 的量词“?”改为“?”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”，∴綈p ：?n ∈N ，n 2≤2n . 答案 C

5.(2018·天津卷)设x ∈R ，则“??????x －12<12”是“x 3<1”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析由??????x －12<1

2，得0

所以“??????x －12<1

2”是“x 3<1”的充分而不必要条件.

答案 A

6.(2019·济南调研)“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的________条件.

解析显然a ＝0时，f (x )＝sin x －1

x 为奇函数；当f (x )为奇函数时， f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x

＋a ＋sin x －1

x ＋a ＝0. 因此2a ＝0，故a ＝0.

所以“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件. 答案充要

考点一充分条件与必要条件的判断

【例1】 (1)(2018·北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)(2019·华大新高考联盟质检)设函数f (x )＝?????2mx ＋1，x ≥0，－x －1

x ，x <0.则“m >1是 [f (－1)]>4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

解析 (1)|a －3b |＝|3a ＋b |?(a －3b )2＝(3a ＋b )2?a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2，又∵|a |＝|b |＝1，

∴a ·b ＝0?a ⊥b ，因此|a －3b |＝|3a ＋b |是“a ⊥b ”的充要条件. (2)当m >1时，f [f (－1)]＝f ??

???－(－1)－1(－1)＝f (2)＝22m ＋1>4，当f [f (－1)]>4时，

f [f (－1)]＝f ??

???－(－1)－1(－1)＝f (2)＝22m ＋1>4＝22， ∴2m ＋1>2，解得m >1

故“m >1”是“f [f (－1)]>4”的充分不必要条件. 答案 (1)C (2)A

规律方法充要条件的两种判断方法 (1)定义法：根据p ?q ，q ?p 进行判断.

(2)集合法：根据使p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

【训练1】 (2018·浙江卷)已知平面α，直线m ，n 满足m ?α，n ?α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析若m ?α，n ?α，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α.若m ∥α，m ?α，n ?

α，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件. 答案 A

考点二充分条件、必要条件的应用

典例迁移

【例2】 (经典母题)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围. 解由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.

∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ?P . ∴???1－m ≥－2，1＋m ≤10，

解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0. 综上，m 的取值范围是[0，3].

【迁移探究1】本例条件不变，若x ∈P 是x ∈S 的必要不充分条件，求m 的取值范围.

解由例知，S

P ，

∴???1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m <10或???1－m ≤1＋m ，1－m >－2，1＋m ≤10，

解得0≤m ≤3或0≤m <3，∴0≤m ≤3，故m 的取值范围是[0，3].

【迁移探究2】本例条件不变，若x ∈P 的必要条件是x ∈S ，求m 的取值范围. 解由例知P ＝{x |－2≤x ≤10}，

若x ∈P 的必要条件是x ∈S ，即x ∈S 是x ∈P 的必要条件， ∴P ?S ，

∴???1－m ≤1＋m ，

1－m ≤－2，1＋m ≥10，

解得m ≥9. 故m 的取值范围是[9，＋∞).

【迁移探究3】本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由.

解由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ， ∴???1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴???m ＝3，m ＝9，这样的m 不存在.

规律方法充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

(3)数学定义都是充要条件.

【训练2】 (2019·临沂月考)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a ∈R ；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.若a <0且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.

解由p 得(x －3a )(x －a )<0，当a <0时，3a

由q 得x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0，则－2≤x ≤3或x <－4或x >2，则x <－4或x ≥－2.

设p ：A ＝(3a ，a )，q ：B ＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，又p 是q 的充分不必要条件.

可知A

B ，∴a ≤－4或3a ≥－2，即a ≤－4或a ≥－2

又∵a <0，∴a ≤－4或－2

3≤a <0，

即实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪??????

－23，0.

考点三全称量词与存在量词

多维探究

角度1 全称（存在性）命题的否定

【例3－1】 (1)命题“?n ∈N +，f (n )∈N +且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A.?n ∈N +，f (n )?N +且f (n )＞n B.?n ∈N +，f (n )?N +或f (n )＞n C.?n 0∈N +，f (n 0)?N +且f (n 0)＞n 0 D.?n 0∈N +，f (n 0)?N +或f (n 0)＞n 0

(2)(2019·德州调研)命题“?x 0∈R ，12 D.?x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2

解析 (1)全称命题的否定为存在性命题， ∴命题的否定是：?n 0∈N +，f (n 0)?N +或f (n 0)>n 0.

(2)存在性命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“?x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2”. 答案 (1)D (2)D

角度2 含有量词(?、?)的参数取值问题

典例迁移

【例3－2】 (经典母题)已知f (x )＝ln(x 2

＋1)，g (x )＝? ????12x

－m ，若对?x 1∈[0，3]，

?x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________.

解析当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝1

4－m ，对?x 1∈[0，3]，?x 2∈[1，2]使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x )min ≥g (x )min ，得0≥1

4－m ，所以m ≥1

答案 ????

??14，＋∞

【迁移探究】若将“?x 2∈[1，2]”改为“?x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是____________.

解析当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝1

2－m ，对?x 1∈[0，3]，?x 2∈[1，2]使得

f (x 1)≥

g (x 2)等价于f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥1

答案 ??????12，＋∞

规律方法 1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论. 2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决. 【训练3】 (2019·衡水调研)已知命题p ：?x ∈R ，log 2(x 2＋x ＋a )>0恒成立，命题q ：?x 0∈[－2，2]，2a ≤2x 0，若命题p 和q 都成立，则实数a 的取值范围为________. 解析当命题p 成立时，x 2＋x ＋a >1恒成立，即x 2＋x ＋a －1>0恒成立， ∴Δ＝1－4(a －1)<0，解得a >54.

当命题q 成立时，2a ≤(2x 0)max ，x 0∈[－2，2]， ∴a ≤2.

故54

1.充分条件、必要条件、充要条件的判断方法

(1)定义法

(2)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}；

①若A?B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；

③若A＝B，则p是q的充要条件.