无锡新区新安中学必修第二册第二单元《复数》检测(包含答案解析)

一、选择题

1．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）

A ．2

B 1

C 1

D ．3

2．能使得复数()3

2z a ai a R =-+∈位于第三象限的是（ ）

A ．212a i -+为纯虚数

B ．12ai +模长为3

C ．3ai +与32i +互为共轭复数

D ．0a >

3．若复数(1a i

z i i

+=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-2

B ．-1

C ．1

D ．2

4．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）

A B ．2

C ．

D 5．已知集合，(

)(

){}

2

2

1,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ?=，

则实数m 的值为 （ ） A ．4

B ．－1

C ．4或－1

D ．1或6

6．若复数z 满足()11z i i --?=+，则z =（ ）

A B

C ．

D ．3

7．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++???+的值为（ ）

A ．10101010i --

B ．10111010i --

C ．10111012i --

D ．10111010i -

8．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的

象限是（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

9．复数5

1i i

-的虚部是( )

A ．

12

B ．

2

i C ．12

-

D ．2

i -

10．复数z 满足(1i)2i z -=，则z = A ．1i - B ．1i -+ C ．1i --

D ．1i +

11．在复平面内，复数20181

2z i i

=++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

12．设复数11i

z i

，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

二、填空题

13．已知虚数(),2z x yi x yi =+-+（x ，y R ∈）的模为4，则23z i +-的取值范围为________．

14．已知集合{}11M z z =+=，{}

i N z z i z =+=-，则M

N =______.

15．若23i -是方程()2

20,x px q p q R ++=∈的一个根，则p q +=______.

16．已知复数z 满足()14i z a i +=+（i

为虚数单位），且z =，则实数

a =________．

17．i 表示虚数单位，则2012

11i i +??= ?-??______.

18．已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则

2000

1a i i

+=+______. 19．在实数集R 中,我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“＞”.定义如下:对于任意两个复数：

()1112221

21212z a bi z a b i a a b b R z z =+=+∈，，，，，＞当且仅当“12a a ＞”或“12a a =”且“12b b ＞”.按上述定义的关系“＞”，给出以下四个命题: ①若12z z ＞,则12z z ＞； ②若1223z z z z ＞，＞，则13z z ＞；

③若12z z ＞,则对于任意12z C z z z z ∈++，＞； ④对于复数0z ＞,若12z z ＞,则12zz zz ＞. 其中所有真命题的序号为______________.

20．已知复数()()()

4

2

31234a i z i i -=-+?-，且1z =，则实数

a =_________. 三、解答题

21．已知复数z

满足||z =2z 的虚部为2.

（1）求复数z ；

（2）设复数z 、2z 、2z z -在复平面上对应点分别为A 、B 、C ，求()OA OB OC +?的值.

22．设复数z 1=1-ai （a ∈R ），复数z 2=3+4i ． （1）若12z z R +∈，求实数a 的值；

（2）若1

2

z z 是纯虚数，求|z 1|．

23．已知复数z 1＝2＋a i (其中a ∈R 且a >0，i 为虚数单位)，且2

1z 为纯虚数． (1)求实数a 的值； (2)若1

1i

z z =

-，求复数z 的模||z . 24．设复数z 的共轭复数为z ，且23z z i +=+，sin cos i ωθθ=-，复数z ω-对应复平面的向量OM ，求z 的值和2

OM 的取值范围. 25．已知复数z 使得2z i R +∈，2z

R i

∈-，其中i 是虚数单位. （1）求复数z 的共轭复数z ；

（2）若复数()2

z mi +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围. 26．已知复数()

()2

2

7656z a a a a i a R =-++--∈，求a 分别为何值时，

（1）z 是实数； （2）z 是纯虚数；

（3）当

6

z

a =-z 的共轭复数.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2

221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示

(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．

【详解】

解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2

221x y -+=，

又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．

则由几何意义得x ma |1|11z i -+==，

故选：B ． 【点睛】

本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题．

2．A

解析：A

【分析】

分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()3

2z a ai a R =-+∈是第三象限的点.

【详解】

322z a ai a ai =-+=--

由题意可知，若复数在第三象限， 需满足20

a a -

-

A.212z a i =-+是纯虚数，则1

2

a =

，满足条件；

B.123z ai =+==，解得：a =a =

C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；

D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件. 故选：A 【点睛】

本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.

3．C

解析：C 【分析】

利用复数代数形式的除法运算化简复数1a i

z i

+=-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】

()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22

a a a a z +++-+===+-+-为纯虚数，

1010a a +≠?∴?-=?

，即1a =，故选C. 【点睛】

本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

4．D

解析：D 【解析】

分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31

(3)(1)212

i z i i i i +=

=+-=-+,

因此z = 选D.

点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，

如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为

.-a bi

5．B

解析：B 【分析】

根据交集的定义可得(

)(

)

2

2

31563m m m m i --+--=，由复数相等的性质列方程求解即可. 【详解】

因为(

)(

){}

2

2

1,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ?=，

所以(

)(

)

2

2

31563m m m m i --+--=，

可得22

313

1560m m m m m ?--=?=-?--=?，故选B. 【点睛】

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.

6．A

解析：A 【分析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解. 【详解】

由()11z i i --?=+，得()()2

1111i i i z i i i +-+--===--，则2z i =-+，

∴

z ==

故选：A 【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算，复数的模的运算，属于中档题.

7．B

解析：B 【分析】

利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】

解：设2320192342020S i i i i =+++???+,

可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++???++，

则242019

23020(1)22020i S i i i i i

i -=++++???+-， 2019242019

2020

23020(1)

(1)202020201i i i S i i i i i i

i

i i i

--=+++++???+-+-=-，

可得：2

(1)(1)(1)20202020202112

i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，

可得：2021(2021)(1)1011101012

i i i S i i -+-++===---， 故选：B. 【点睛】

本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.

8．B

解析：B 【解析】

分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限．

详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -?--=

==--?- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.

故选B.

点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

9．A

解析：A 【解析】 【分析】

由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可. 【详解】

由复数的运算法则可知：51i i -()()()1111122i i i

i i +==-+-+，

则复数5

1i i

-的虚部是12.

本题选择A 选项. 【点睛】

本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

10．B

解析：B 【解析】

因为()1i 2i z -=，所以()2i

111i

z i i i =

=+=-+-,选B. 11．C

解析：C 【解析】

因为201812z i i =

++()()22231122555i i i i i i --=+=-=--+- ，复数201812z i i

=++对应的点的坐标为3

1,55??-- ??? ，故复数20181

2z i i

=

++对应的点位于第三象限,故选C. 12．C

解析：C 【分析】

先求出z i =-，11z i -=--，即得解. 【详解】

由题得21(1)21(1)(1)2

i i i

z i i i i ---=

===-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限. 故选：C

二、填空题

13．【分析】由模长公式易得设（）表示的几何意义为点到点的距离结合图形求出距离的范围即可得解【详解】因为虚数（）的模为4所以有故点的轨迹是以圆心半径为的圆设（）表示的几何意义为点到点的距离由图可知点到点的 解析：[]1,9

【分析】

由模长公式易得()2

2216x y -+=，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离，结合图形求出距离的范围即可得解. 【详解】

因为虚数()2x yi -+（x ，y R ∈）的模为4，所以有()2

2216x y -+=，

故点(,)x y 的轨迹是以圆心(2,0)A ，半径为4r =的圆，

设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离， 由图可知，点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为AB r +，最小值为AB r -，

又因为22(22)(30)5AB =--+-=，

所以点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为9，最小值为1， 则23z i +-的取值范围为[]1,9. 故答案为[]1,9.

【点睛】

本题考查复数的模和复数的几何意义，解题关键是根据复数的模长公式，得到x 和y 关系式，根据条件作出图形利用数形结合求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题.

14．【分析】根据复数的几何意义可知代表的是圆上代表的是线利用线与圆的位置关系可知结果【详解】的几何意义是以点为圆心1为半径的圆表示到点和点的距离相等的点的集合是线段的垂直平分线也就是轴的几何意义是轴与圆 解析：{}0,2-

【分析】

根据复数的几何意义，可知11z +=代表的是圆上,i z i z +=-代表的是线，利用线与圆的位置关系，可知结果. 【详解】

11z +=的几何意义是以点()1,0-为圆心，1为半径的圆. i i z z +=-表示到点()0,1A 和点()0,1B -的距离

相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴.

M N ?的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数，

故0z =或2z =-，{}0,2M N ∴?=-. 【点睛】

本题考查复数的几何意义，属中档题.

15．38；【分析】假设另外一个根为根据是实数结合韦达定理可得结果【详解】假设另外一个根为是方程的一个根则①由可知是的共轭复数所以②把②代入①可知所以故答案为：38【点睛】本题重在考查是实数掌握复数共轭复

【分析】

假设另外一个根为z ，根据z z 是实数，结合韦达定理，可得结果. 【详解】

假设另外一个根为z ，

23i -是方程()2

20,x px q p q R ++=∈的一个根，

则

()232

232p i z q i z ?

-+=-???

?-=

??

① 由,p q R ∈，可知z 是23i -的共轭复数， 所以32z i =-- ② 把②代入①可知

12

26p q =??=?

所以38p q +=

故答案为：38 【点睛】

本题重在考查z z 是实数，掌握复数共轭复数的形式，属基础题

16．0【分析】先化简再利用建立方程最后解得实数的值【详解】解：∵∴∵∴解得：故答案为：0【点睛】本题考查复数的运算复数的几何意义求参数是基础题

解析：0 【分析】

先化简4422a a z i +-=+

，再利用z =

=后解得实数a 的值. 【详解】

解：∵ ()14i z a i +=+，

∴ ()()4(1)4(4)(4)4411(1)222a i i a i a a i a a z i i i i +-+++-+-=

===+++-

∵z =，∴

z ==

解得：0a =， 故答案为：0.

本题考查复数的运算，复数的几何意义求参数，是基础题.

17．1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简再利用复数的乘法计算可得【详解】解：且……故答案为：【点睛】本题考查复数的代数形式的乘除运算以及复数的乘方属于基础题

解析：1 【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简11i

i

+-，再利用复数的乘法计算可得． 【详解】

解：()()()

2

11111i i

i i i i ++==--+

且1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =……

2012

201245034111i i i i i ?+??∴==== ?-??

故答案为：1 【点睛】

本题考查复数的代数形式的乘除运算以及复数的乘方，属于基础题.

18．【分析】利用纯虚数的定义复数的运算法则即可求出【详解】解：为纯虚数且解得故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则纯虚数的定义考查了推理能力与计算能力属于基础题 解析：1i -

【分析】

利用纯虚数的定义、复数的运算法则即可求出. 【详解】 解：

2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，

210a ∴-=，且10a +≠，解得1a =

20001112(1)111(1)(1)

i i i i i i i ++-∴===-+++-.

故答案为：1i -. 【点睛】

本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

19．②③【分析】根据新定义序的关系对四个命题逐一分析由此判断出真命题的序号【详解】对于①由于所以或且当满足但所以①错误对于②根据序的关系的定义可知复数的序有传递性所以②正确对于③设由所以或且可得或且即成

解析：②③ 【分析】

根据新定义“序”的关系，对四个命题逐一分析，由此判断出真命题的序号. 【详解】

对于①，由于12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”. 当121,2a a =-=-，满足

12a a >但12z z <，所以①错误.

对于②，根据“序”的关系的定义可知，复数的“序”有传递性，所以②正确. 对于③，设z c di =+，由12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”，可得

“12a c a c +>+”或“12a c a c +=+且12b d b d +>+”，即12z z z z +>+成立，所以③正确.

对于④，当123,2,2z i z i z i ===时，126,4zz zz =-=-，12zz zz <，故④错误. 故答案为：②③ 【点睛】

本小题主要考查新定义复数“序”的关系的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.

20．【分析】化简的表达式根据列方程由此求得的值【详解】依题意由于即即即即解得故填：【点睛】本小题主要考查复数的除法乘法和乘方运算考查复数模的运算考查运算求解能力属于中档题 解析：2±

【分析】

化简z 的表达式，根据1z =列方程，由此求得a 的值. 【详解】 依题意，

()()()

4

33434a i z i i -=--?-()()()()

4

4

343434i i a i i ---?-=-4

2534a i i -??=-? ?

-??

()()()()4

34253434a i i i i ??-+=-???-+??

()4

34432525a a i ++-??=-?????，由于1z =，即

()4

344325125a a i ++-??

-?=????

，即

()()44

344334431252525a a i a a i ++-++-??==??

??

，即()2

43341

25255a a i -++=，即2

2

3443125255

a a +-????+= ? ?

????，2

2525125a +=，24a =，解得2a =±. 故填：2±

本小题主要考查复数的除法、乘法和乘方运算，考查复数模的运算，考查运算求解能力，属于中档题.

三、解答题

21．（1）1i z =+或1i z =--；（2）2- 【分析】

（1）设出z a bi =+,根据题意可得222

22a b ab ?+=?

=?

,求解即可； （2）由（1）作分类讨论,根据题意计算即可 【详解】

（1）设z a bi =+,由题,

可得z =

=

,()(

)2

2

2

2

2z a bi a b

abi =+=-+,

2z 的虚部为2

则22222

a b ab ?+=?=? 11a b =?∴?=?或1

1a b =-??=-?

故1z i =+或1i z =--

（2）由（1）可知22z i =,即B 为()0,2,()0,2OB ∴=

当1z i =+时,即A 为()1,1,()1,1OA ∴=,此时21z z i -=-,即C 为()1,1-,()1,1OC ∴=-

()1,3OA OB ∴+=

∴()()11+312OA OB OC +?=??-=-

当1i z =--时,即A 为()1,1--,()1,1OA ∴=--,此时213z z i -=--,即C 为

()1,3--,()1,3OC ∴=--

()1,1OA OB ∴+=-

∴()()()()11+132OA OB OC +?=-?-?-=-

综上, ()2OA OB OC +?=- 【点睛】

本题考查复数的运算,考查复平面,考查数量积,考查分类讨论的思想,考查运算能力 22．（1）a =4（2）54

【分析】

（1）由已知利用复数代数形式的加减化简，再由虚部为0求得a 值； （2）利用复数代数形式的乘除运算化简1

2

z z ,由实部为0且虚部不为0求得a 值，再由复数模的计算公式求|z 1|.

解：（1）∵z 1=1-ai （a ∈R ），z 2=3+4i ， ∴z 1+z 2=4+（4-a ）i ，

由12z z R +∈，得4-a =0，即a =4； （2）由

12z z =

()()()()13413434

3434342525

ai i ai a a i i i i ----+==-++-是纯虚数， 得{

340

340a a -=+≠，即3

4

a =， ∴|z 1|=|314i -|=22351()44

+-=． 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是中档题．

23．（1）a ＝2．（2）|z |＝2． 【分析】

（1）根据复数的运算，求得2

1z 244a ai =-+，由2

1z 为实数，列出方程组，即可求解； （2）化简复数得2z i =，利用复数的模的计算公式，即可求解. 【详解】

(1)z ＝ (2 ＋ a i)2 ＝ 4－a 2 ＋ 4a i ， 因为z 为纯虚数， 所以

解得a ＝2. (2)z 1＝2＋2i ，z ＝＝

＝＝2i ，

∴|z |＝2. 【点睛】

本题主要考查了复数的基本概念和复数的分类，其中解答中熟记复数的基本运算公式和复数的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

24．1z i =+,322,322?-+?

【详解】

分析：设(),z a bi a b R =+∈则z a bi =-，由23z z i +=+，根据复数相等的充要条件列方程求得1z i =+，由复数减法运算法则以及复数的几何意义，结合辅助角公式求得

232sin 4OM πθ?

?=-- ??

?，利用三角函数的有界性可得2OM 的取值范围.

详解：设(),z a bi a b R =+∈则z a bi =-，由23z z i +=+，根据复数相等的充要条件

解得11a b =??=?

，所以1z i =+.

()()1sin 1cos z i ωθθ-=-++ ()()2

2

2

11OM sin cos θθ=-++

()32sin cos θθ=-- 322sin 4πθ?

?=-- ??

?

因为1sin 14πθ??

-≤-≤ ??

?，所以334πθ?

?-≤-- ??? 3≤+

即2

33OM

-≤≤+

故所求1z i =+，2

OM 的取值范围是3?-+?.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 25．（1）42i +；（2）()2,2-. 【分析】 (1)根据2z i R +∈、

2z

R i

∈-，结合复数的加法、除法运算即可求出z ，进而由共轭复数的概念求得z ；(2) 复数()2

z mi +在复平面上对应的点在第四象限，即对应复数的实部、虚部都小于0，解不等式即可求得m 的范围 【详解】

（1）设(),z x yi x y R =+∈，则()22z i x y i +=++ ∵2z i R +∈ ∴2y =- 又

22242255

z x i x x i R i i -+-==+∈--， ∴4x =

综上，有42z i =- ∴42z i =+

（2）∵m 为实数，且()()()

()2

2

24212482z mi m i m m m i +=+-=+-+-????

∴由题意得()2

1240

820m m m ?+->??-

，解得22m -<<

故，实数m 的取值范围是()2,2- 【点睛】

本题考查了复数，利用复数的四则运算及共轭复数的概念求复数，另外依据复数所处的象限求参数范围

26．（1）61a a ==-或；（2）1a =；（3）见解析. 【解析】 【详解】

试题分析：（1）根据题意得到要求虚部位0即可；（2）要求实部位0且虚部不为0即

可，2760a a -+=，且2560a a --≠，得1a =；（2）()()11a a i -++=()()

22

1110a a -++=，得2a =±，进而得到结果.

（1）z 是实数，2560a a --=，得61a a ==-或

（2）z 是纯虚数，2760a a -+=，且2560a a --≠，得1a =

（3）当

6

z

a =-()()11a a i -++= 得()()2

2

1110a a -++=，得2a =± 当2a =时，412z i =--,得412z i =-+； 当2a =-时，248z i =+,得248z i =-

点睛：这个题目考查了复数的几何意义，复数分为虚数和实数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，需要注意的是已知数的性质求参时，会出增根，比如纯虚数，既要求实部为0，也要求虚部不为0.