正弦定理练习题(含答案)资料
正弦定理练习题(含答
案)
正弦定理 复习
1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6
解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )
A ．4 2
B ．4 3
C ．4 6 D.323
解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A
＝4 6. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )
A ．45°或135°
B ．135°
C ．45°
D ．以上答案都不对
解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22
，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )
A ．1∶5∶6
B ．6∶5∶1
C ．6∶1∶5
D ．不确定
解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.
5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )
A ．1 B.12 C ．2 D.14
解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°
＝1. 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a
，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形
解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A
， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B
即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2
. 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34
C.32或 3
D.34或32
解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ， ∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.
再由S △ABC ＝12
AB ·AC sin A 可求面积． 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2
C. 3
D. 2
解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C
， ∴sin C ＝12
. 又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，
△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.
9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3
，则A ＝________.
解析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6
. 答案：π6
10．在△ABC 中，已知a ＝433
，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B
?sin B ＝b sin A a ＝4×12433
＝32
. 答案：32
11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.
解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，
由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°
＝43， ∴a ＋c ＝8 3.
答案：8 3
12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．
解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，
代入式子a ＝2b cos C ，得
2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，
所以sin A ＝2sin B ·cos C ，
即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，
化简，整理，得sin(B －C )＝0.
∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，
∴－180°＜B －C ＜180°，
∴B －C ＝0°，B ＝C .
答案：等腰三角形
13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C
＝________，c ＝________.
解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°
＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，
∴c ＝6.
答案：12 6
14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C
＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，
∴2R ＝a sin A ＝1sin30°
＝2， 又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，
∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C
＝2R ＝2. 答案：2