2021届高三第一学期入学调研试卷理科数学(1)(含答案)

2021届高三第一学期入学调研试卷理科数学（1）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z 的实部与虚部分别为1-，2，则2

z =（ ） A ．34i --

B ．34i -+

C ．34i +

D ．34i -

2．设集合2

{|4}A x x =<，{|2,}x

B y y x ==∈R ，则A B =（ ）

A ．(2,2)-

B ．(0,2)

C ．(2,)+∞

D ．(,2)

(2,)-∞-+∞

3．若函数()lg()f x x a =+的图象经过抛物线2

8y x =的焦点，则a =（ ）

A ．1

B ．0

C ．1-

D ．2-

4．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60?，则下列向量是单位向量的是（ ） A ．+a b

B ．12

-

a b C ．12

+

a b D ．-a b

5．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2B C =，则b =（ ） A ．cos c C

B ．cos c A

C ．2cos c C

D ．2cos c A

6．设x ，y 满足约束条件260

2x y x y x

+-≤??

≤≤?，则z x y =+的取值范围为（ ）

A ．[90,]2

B ．[94,]2

C ．[0,4]

D ．[4,)+∞

a 0a 2

的两位数记为()I a ，按从大到小排成的两位数记为()D a (例如75a =，则()57I a =，

()75D a =)，执行如图所示的程序框图，若输入的51a =，则输出的b =（ ）

A ．30

B ．35

C ．40

D ．45

8．已知2

2

11()11x x f x x

--=++，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ） A ．y x =-

B ．y x =

C ．2y x =

D ．2y x =-

9．sin cos()6

πx x -+=（ ）

A ．

11sin(224π)6x +- B ．

11

sin(224

π)6x -+ C ．11sin(222

π)3x -+ D ．

13sin(224

π)3x +- 10．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A ．

160

359

B ．

289

359

C ．

119

1077

D ．

958

1077

11．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为侧棱1DD 上一点，1AB =，12AA =，且异面直线DB 与1C E 26

，则DE =（ ） A ．

12

B ．

23

C ．1

D ．

32

12．设F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右焦点，O 为坐标原点过F 作C 的一条渐近线

的垂线，垂足为H ，若FOH △的内切圆与x 轴切于点B ，且2BF OB =，则C 的离心率为（ ）

A ．317

4

+ B ．

417

4

+ C ．

3317

8

+ D ．

3317

4

+

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．6

()3

y x -的展开式中5

x y 的系数为 ．

14．已知函数()sin f x x =，若()()f a x f a x +=-，0πa <<，则a = ．

15．如图，一几何体由一个圆锥与半球组合而成，且圆锥的体积与半球的体积相等，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为 ．

16．已知函数22(()log )f x x a x =+是

R 上的奇函数，函数()|2 |g x m x a =--，若

()()f x g x ≤对3

[,2]4

x ∈-恒成立，则m 的取值范围为 ．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，1(2)n n a a d n -=+≥，其中d 是不为0的常数，且1a ，2a ，6a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；

（2）若55m S m ，求m ．

18．（12分）下图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量(单位：罐)的雷达图．

（1）分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数，从计算结果看，哪种可乐的销量更好； （2）从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐(仅限百事可乐或可口可乐)获得一次抽奖机会的活动，中奖率为0.1，中奖可获得1元的红包，以雷达图中一周的销量代替每周的销量． ①活动期间，一位顾客买了3罐百事可乐，他恰好获得2元红包的概率； ②在这连续三周的活动中，求该超市需要投入红包总金额的数学期望．

19．（12分）在直角坐标系xOy 中，已知(1,2)P x y -，(1,2)Q x y +，且3OP OQ ?=，记动点

(,)M x y 的轨迹为Ω．

（1）求Ω的方程；

（2）若过点(1,0)N 的直线l 与Ω交于A ，B 两点，且2BN NA =，求直线l 的斜率．

20．（12分）如图，在四面体ABCD 中，AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，2

2

AB BC AC ==，且4AD BC +=．

（1）证明：BC ⊥平面ABD ；

（2）设E 为棱AC 的中点，当四面体ABCD 的体积取得最大值时，求二面角C BD E --的余弦值．

21．（12分）已知函数2

()(2)ln f x a x ax x =++-． （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 在(0,)a 上存在最大值()P a ，证明：2

34ln 2()42

p a a a <<+-．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线C 与曲线D 关于极点对称． （1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线D 的直角坐标方程； （2）设P 为曲线D 上一动点，记P 到直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最小值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数()|1||2|f x x x =-++，且不等式()f x k <的解集为{|3}x x a -<<． （1）求k ，a ；

（2）若m n k +=，证明：()()12f m f n +≥．

2021届高三入学调研试卷

理 科 数 学（一）答 案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A

【解析】∵12i z =-+，∴2144i 34i z =--=--． 2．【答案】B

【解析】∵(2,2)A =-，(0,)B =+∞，∴(0,2)A B =．

3．【答案】C

【解析】抛物线2

8y x =的焦点坐标为(2,0)，则(2)lg(2)0f a =+=，即21a +=，

解得1a =-． 4．【答案】D

【解析】由平面向量的减法可得-a b 的模为1，则-a b 是单位向量． 5．【答案】C

【解析】∵2B C =，∴sin sin22sin cos B C C C ==，∴2cos b c C =． 6．【答案】A

【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示， 当直线z x y =+过点(0,0)时，z 取得最小值0；

直线z x y =+过点3

(,3)2时，z 取得最大值

92

， 故9[0,]2

z ∈．

7．【答案】D

【解析】51a =，511536b =-=；36a =，633627b =-=；27a =，722745b =-=， ∵45为5的倍数，∴输出的45b =． 8．【答案】C

【解析】令11x t x -=+，则11t x t -=+，2

2211()21()111()1t t t f t t t t

--+=

=-+++， ∵222

2))

)(11((t f t t -'=+，∴(0)2f '=，

∵(0)0f =，∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =． 9．【答案】B

【解析】31

sin cos()sin cos()sin (sin )62π6π2

x x x x x x x -+

=-=+ 3111

2(1cos 2)sin(2)2π464

x x x =

+-=-+． 10．【答案】D

【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为x ，y ， 则360241200x y x y +=??

+=?，解得120

240

x y =??=?，

若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2

1202360958

17

C C 107-=．

11．【答案】A

【解析】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，

则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，1(0,1,2)C ，则(1,1,0)DB =， 设(02)DE t t =<≤，则1(0,1,2)C E t =--， 从而12

26,|21(|s 2)co DB C E t ?==

+-? ∵02t <≤，∴1

2

t =． 12．【答案】C

【解析】∵F 到渐近线的距离为||FH b =，∴22||OH c b a =-=， 则FOH △的内切圆的半径2

a b c

r +-=

， 设FOH △的内切圆与FH 切于点M ，则||2

a b c

MH r +-==

， ∵2BF OB =，∴2||||3FM BF c ==

，∴2||||||32

a b c BF MH c FH b +-+=+==， 即33b a c =+，则2

2

2

2

2

)99(69b c a c ac a =-=++，∴2

4390e e --=，

∵1e >，∴3317

e +=

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】2-

【解析】6

()3

y

x -的展开式中5

x y 的系数为161C

()23

-=-．

14．【答案】

π

2

【解析】∵()()f a x f a x +=-，∴()f x 的图象关于直线x a =对称，

又()sin f x x =，且0πa <<，∴π

2

a =． 15．【答案】2

【解析】设该圆锥的半径与高分别为r ，h ，则

32

141ππ233

r r h ?=，即2h r =， 该圆锥的母线与底面所成角的正切值为

2h

r

=． 16．【答案】[7

,)2

+∞

【解析】由22(()log )f x x a x =+-是R 上的奇函数，得2(0)log ()0f a ==，则1a =， 因为2

22

2

()log 1)log 1(f x x x x x

=+-=++在(0,)+∞上单调递减，

所以()f x 是R 上的减函数，作出()f x 与()g x 的图象，如图所示，

由图可知33()()44(2)(2)f g f g ?

-≤-???≤?，即2

512log (52)3m m ?≤-

??

?-≤-?，则72m ≥．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）32n a n =-；（2）37m =．

【解析】（1）∵1(2)n n a a d n -=+≥，∴数列{}n a 是公差为d 的等差数列， ∵37a =，∴172a d =-，27a d =-，673a d =+， ∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴2

(72)(73)(7)d d d -+=-， ∴2

3d d =，∴3d =或0d =，

∵0d ≠，∴3d =，7(3)332n a n n =+-?=-． （2）∵1(552

)

m m m a a S m +=

=，∴1110m a a +=，即32109m -=，∴37m =． 18．【答案】（1）百事可乐销量的平均数为9607，可口可乐销量的平均数为940

7

，百事可乐的销量更好；（2）①0.027；②570元．

【解析】（1）百事可乐销量的平均数为1100120120140160140180960

77

x ++++++=

=，

可口可乐销量的平均数为280120100140180140180940

77

x ++++++=

=，

∵12x x >，∴百事可乐的销量更好．

（2）①他恰好获得2元红包说明他有两次中奖一次未中奖，

故所求的概率为22

30.1(10.1C )0.027?-=．

②连续三周该超市罐装可乐（仅限百事可乐或可口可乐）的销量为

(960940)3190035700+?=?=罐，

记连续三周顾客中奖总次数为X ，则(5700,0.1)X

B ，则57000.1570EX =?=，

故连续三周的活动该超市需要投入红包总金额的数学期望为5701570?=元．

19．【答案】（1）2214

x y +=；（2）156k =±．

【解析】（1）∵3OP OQ ?=，∴2

(1)(1)43x x y -++=，∴2

2

44x y +=，

即214

y +=，此即为Ω的方程． （2）设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =-，

当0k =时，3BN NA =或1

3

BN NA =

，不合题意； 当0k ≠时，由22

(1)44

y k x x y =-??

+=?，得222

(1420)3k y ky k ++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122

214k y y k

+=-+，2

122314k y y k =-+， ∵2BN NA =，22(1,)BN x y =--，11()1,NA x y =-，

∴212y y =-，∴1212

214k y y y k +=-=-+，22

123214k y k -=-+，

∵10y ≠，∴2

512

k =

，∴15

k =．

20．【答案】（1）证明见解析；（230

． 【解析】（1）证明：因为AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD

平面ABC AB =，

AD ?平面ABD ，∴AD ⊥平面ABC ，

因为BC ?平面ABC ，所以AD BC ⊥， 因为2

2

AB BC AC ==，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥， 因为AD

AB A =，所以BC ⊥平面ABD ．

（2）设(04)AD x x =<<，则4AB BC x ==-，

四面体ABCD 的体积232111

()(4)(816)(04)326

V f x x x x x x x ==

?-=-+<<， 211

()(31616)(4)(34)66

f x x x x x '=-+=--，

当4

03

x <<

时，()0f x '>，()V f x =单调递增；

当

43

x <<时，()0f x '<，()V f x =单调递减， 故当4

3

AD x ==

时，四面体ABCD 的体积取得最大值， 以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，

则(0,0,0)B ，8(0,,0)3A ，8(,0,0)3C ，84(0,,)33D ，44(,,0)33

E ，

设平面BCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0

BC BD ??=???=??n n ，即8

038403

3x y z ?=????+=??，

令2z =-，得(0,1,2)=-n ，

同理，平面BDE 的法向量为(1,1,2)=-m ，

30

cos ,656

??=

=-?m n ， 由图可知，二面角C BD E --为锐角，故二面角C BD E --的余弦值为30

6

． 21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）2(1)(22)

()2(0)a x x a f x a x x x x

++--'=

+-=->， 当2a ≤-时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当2a >-时，由()0f x '>，得202a x +<<

，()f x 在(2

0,

)2

a +上单调递增；

由()0f x '<，得22a x +>

，()f x 在2

,)2

(

a ++∞上单调递减． （2）易知0a >，当02a <≤时，

2

2

a a +≥， 由（1）知，()f x 在(0,)a 上单调递增，此时()f x 在(0,)a 上不存在最大值，

当2a >时，()f x 在(20,

)2a +上单调递增，在(2

,)2

a a +上单调递减， 则22m x

22(2)224

()()(2)ln ()(2)ln 222224

a a a a a a a a f x f a a +++++-==++-=++，

故224

()(2)ln (2)24

a a p a a a +-=++>， 设224

()(2)ln

(2)24x x g x x x +-=++>，2()1ln 22

x x g x +'=++， ∵2x >，∴()0g x '>，∴()g x 在(2,)+∞上单调递增， ∴()(2)4ln 2g x g >=，即()4ln 2p a >，

∵

231

4(34)(2)22

a a a a +-=-+，且2a >， ∴要证：23()42p a a a <

+-，只需证2234

ln 242

a a a +--+<， 即证256ln

024

a a +--<， 设256()ln

(2)24x x h x x +-=->，则15

()024

h x x '=-<+， 则()h x 在(2,)+∞上单调递减，从而()(2)ln 210h x h <=-<，即256

ln

024

a a +--<， 则23()42p a a a <

+-，从而23

4ln 2()42

p a a a <<+-． 22．【答案】（1）2

2

(2)4x y ++=；（2）722-

【解析】（1）∵4cos ρθ=，∴2

4cos ρρθ=，∴2

2

4x y x +=，即2

2

(2)4x y -+=，

∴曲线D 的直角坐标方程为22

(2)4x y ++=．

（2）由（1）可设(22cos ,2sin )P αα-+，[0,2π)α∈，

直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的直角坐标方程分别为3y =-，2x =， 从而12sin 3d α=+，22(22cos )42cos d αα=--+=-，

122sin 342cos 722)π(4

d d ααα+=++-=+-，

故12d d +的最小值为722-

23．【答案】（1）5k =，2a =；（2）证明见解析． 【解析】（1）当2x ≤-时，由()21f x x k =--<，得1

2

k x +>-

， 因为不等式()f x k <的解集为{|3}x x a -<<，所以1

32

k +-

=-，解得5k =， 当1x ≥时，由() 2 15f x x =+<，得2x <，所以2a =， 经检验5k =，2a =满足题意．

（2）证明：因为|1||2||12||21|m m m m m -++≥-++=+，所以()|21|f m m ≥+， 同理()|21|f n n ≥+， 因为5m n k +==，

所以()()|21||21||2121||2()2|12f m f n m n m n m n +≥+++≥+++=++=．