北师大《无机化学》第四版习题答案

第九章酸碱平衡

9-1 以下哪些物种是酸碱质子理论的酸,哪些是碱,哪些具有酸碱两性?请分别写出它们的共轭碱或酸。

SO -

24, S

2, H 2PO -4, NH 3, HSO -

4, [Al(H 2O)5OH]+

2, CO -

23, NH +4, H 2S, H 2O,

OH -

,H 3O +

, HS -

, HPO -

24。

解：质子酸 — 共轭碱

H 2PO -4 — HPO -24 HSO -4 — SO -24 [Al(H 2O)5OH]

2—[Al(H 2O)4(OH)2]+

NH +4 —NH 3 H 2S — HS -

H 2O — OH -

H 3O +

— H 2O HS -

— S

2 HPO -24 — PO -

质子碱 — 共轭酸

SO -24 — HSO -4 S

2 — HS -

NH 3 — NH +4 HSO -

4— H 2SO 4

[Al(H 2O)5OH]

2—[Al(H 2O)6]

+3 CO -23 — HCO -

3 H 2O — H 3O +

OH -

— H 2O HS -

— H 2S HPO -

24 — H 2PO -

酸碱两性：

H 2PO -4， HSO -

4， [Al(H 2O)5OH]

2， H 2O ， HS -

， HPO -

24。

9-2 为什么pH=7并不总表明水溶液是中性的。

解：因为水的解离是一个明显的吸热过程，因此水的离子积是温度的函数，只有在常温下

K w =1.0×10

-,即[H +]=[OH -]=1.0×10

-,所以pH ＝7，其他温度下则不然。

9-3 本章表示电解质及其电离产物的浓度有两种，一种如c(HAc)、c(NH +4),另一种如[HAc],[NH +

等，它们的意义有何不同？什么情况下电离平衡常数的表达式中可以用诸如c(HAc)、c(NH +4)

等代替诸如[HAc],[NH +4]等？有的书上没有诸如c(HAc)、c(NH +4)这样的浓度符号，遇到浓度时

一律用诸如[HAc],[ NH +4]等来表示，这样做有可能出现什么混乱？

解：c(HAc)、c(NH +4)用来表示初始状态的浓度，而[HAc],[ NH +4]用来表示平衡状态下的浓度。只有在HAc 、NH +4的电离度非常小，可以忽略时，才可用c(HAc)、c(NH +4)代替[HAc],[NH +4]。如果将c(HAc)、c(NH +4)用[HAc],[ NH +4]来表示，则会出现混乱。

9-4 苯甲酸（可用弱酸的通式HA 表示，相对分子质量122）的酸常数K a =6.4×105

-,试求：

（1）中和1.22g 苯甲酸需用0.4mol?L 1

-的NaOH 溶液多少毫升?

(2) 求其共轭碱的碱常数K b 。

（3）已知苯甲酸在水中的溶解度为2.06g?L

-，求饱和溶液的pH 。

解：

（1）HA+NaOH ＝NaA+ H 2O n(HA)=

12222.1=0.01mol ∴V(NaOH)=4

.001

.0=0.025L=25mL (2) K a =6.4×10

- ∴其共轭碱的碱常数K b =

w K K =1.6×1010

（3）c=

122

06.2=0.0169 mol?L 1

- ∴a K c ＜500 所以[H +]＝2

c K K K a a a ++-＝1.008×103

pH ＝－lg[H +

]＝3 9-5 计算下列各种溶液的pH:

(1) 10mL5.0×10

- mol?L

-的NaOH 。

(2) 10mL0.40 mol?L 1

-HCl 与10mL0.10 mol?L 1

-NaOH 的混合溶液。

(3) 10mL0.2 mol?L 1

- NH 3? H 2O 与10mL0.1 mol?L 1

-HCl 的混合溶液。

(4) 10mL0.2 mol?L

1-HAc 与10mL0.2 mol?L

-NH 4Cl 的混合溶液。

解：（1）pH ＝－lg[H +

]＝－lg 3

14105100.1--??＝11.70

(2) n(HCl)=0.01×0.4=0.004mol n(NaOH)0.01×0.1=0.001mol

所以中和后剩余HCl 为0.003mol ∴反应后[H +

]=02

.0003.0=0.15 mol?L 1

- pH=-lg[H +

]=0.82

(3) n(NH 3? H 2O)=0.002mol n(HCl)=0.001mol 中和后 NH 4Cl 为0.001mol, NH 3? H 20.001mol

所以 [OH -

]=]

[][43+

NH NH K b =001.0001.01077.15??-=1.77×105- mol?L 1

- pH=-lg[H +

]=-lg 5

1077.1100.1--??=9.25

(4)

9-6 把下列溶液的pH 换算成[H +

(1) 牛奶的pH=6.5 (2) 柠檬的pH=2.3 (3) 葡萄酒的pH=3.3 (4) 啤酒的pH=4.5

解: 据pH=－lg[H +

] 得[H +

]=10

(1) [H +

]=3.2×107- mol?L 1- (2) [H +]=5.0×103- mol?L 1- (3) [H +]=5.0×104- mol?L 1- (4) [H +]=3.2×10

5- mol?L

9-7 把下列溶液的[H +

]换算成pH:

(1) 某人胃液的[H +

]=4.0×102- mol?L 1- (2) 人体血液的[H +]=4.0×108

- mol?L

(3) 食醋的[H +

]=1.26×10

-mol?L 1

- (4) 番茄汁的[H +]=3.2×10

-mol?L

- 解: (1) pH ＝－lg[H +

]＝－lg4.0×10

-=1.4

同理 (2) pH=7.4 (3) pH=2.9 (4) pH=3.5

9-8 25oC 标准压力下的CO 2气体在水中的溶解度为0.034 mol?L 1

-,求溶液的pH 和[CO -

23]。

解：K 1a =4.45×10

- K 2a =5.61×10

所以 [H +

]以一级电离为主。

a K c >500 所以[H +]=c K a 1=1.23×104-mol?L 1

- pH ＝－lg[H +

]=3.91

[CO -23]= K 2a =5.61×10

-mol?L

9-9 将15gP 2O 5溶于热水,稀释至750mL,设P 2O 5全部转化为H 3PO 4,计算溶液的[H +

]、

[H 2PO -4]、[HPO -24]和[PO -

34]。

解： n(P 2O 5)=0.106 mol 所以 c(H 3PO 4)=75

.0106.02?=0.282 mol?L 1

K 1a =7.11×10

- K 2a =6.23×10

- K 3a =4.5×10

K 1a >> K 2a 所以[H +

]以一级电离为主。

a K c <500 所以[H +

]=2

411

c K K K a a a ++-=0.0412mol?L

二级电离 H 2PO -

4≒HPO -

24+H +

0.0412-x x 0.0412+x K 2a =

x x -+0412.0)0412.0(=6.23×108

X 值很小所以x=6.23×10

三级电离 HPO -

24 ≒ PO -

34+ H +

6.23×10

--y y 0.0412+y

K 3a =

23.6)0412.0(-?+y y =4.5×1013

- Y 值很小，所以K 3a =

23.60412.0-?y =4.5×1013- 解得 y=6.8×1019

- 综上所述 [H +

]=0.0412mol?L

- [H 2PO -4]=0.0412mol?L

[HPO -

24]=6.23×

108

-mol?L

-[ PO -

34]=6.8×

1019

-mol?L 1

9-10 某弱酸HA,0.015mol?L

-时电离度为0.80%，浓度为0.10mol?L

-时电离度多大？

解：α〈5% 所以[H +

]=c K a α=c H ]

[+=c

c K a =c K a

∴ K a =α2c=(0.80%)2×0.015=9.6×107-∴ ∴ α'

.0106.97

-?=0.31% 9-11 计算0.100mol?L

-Na 2CO 3溶液的pH 和CO -

23以及HCO -3碱式电离的电离度。

解：K 1b =2a w K K =11

141061.5100.1--??=1.78×104

- K 2b =1a w K K =7

1410

45.4100.1--??=2.2×108

- K 1b >> K 2b 所以CO -

23二级水解很小，可由一级水解平衡求[OH -

]

CO -23+ H 2O ≒ HCO -3+ OH -

0.1-x x x

K 1b =x

x -1.02=1.78×104- 解得 x=0.0043mol?L 1-

所以 pH ＝－lg[H +]=-lg 0043

.0100.114-?=11.63 α(CO -

23)=1.00043.0=4.3×102-

对于二级水解 HCO -3+H 2O ≒ H 2CO 3+ OH -

4.3×10

--y y 4.3×10

-+y

K 2b =y

y y -?+?--3

3103.4)103.4(=2.2×108

- K 2b 很小，因而y 很小 y≈2.2×10

-mol?L

所以

（HCO -

）=3

810

3.4102.2--??=5.1×106- 9-12 某未知浓度的一元弱酸用未知浓度的NaOH 滴定，当用去3.26mLNaOH 时，混合溶液的

pH=4.00,当用去18.30mLNaOH 时，混合溶液的pH=5.00，求该弱酸的电离常数。解：设一元弱酸的物质的量为xmol,NaOH 摩尔浓度为y mol?L 1

据 pH=pK a -lg

n n 4=pK a -lg 33

1026.31026.3--????-y y x (1)

5= pK a -lg 3

3.18103.18--????-y y x (2) 解得 y=27x 代入（1）得K a =9.7×106

9-13 缓冲溶液HAc-Ac -

的总浓度为1.0 mol?L

-，当溶液的pH 为：（1）4.0；（2）5.0时，HAc

和Ac -

的浓度分别多大？解：(1) pH=pK a -lg

)()

Ac c HAc c ∴4=4757-lg )

()

Ac c HAc c c(HAc)＋c(Ac -

)=1.0 解得：c(HAc)=0.85 mol?L

- c(Ac -)=0.15 mol?L

(2)同理可得 c(HAc)=0.64 mol?L 1

- c(Ac -

)=0.36 mol?L 1

9-14 欲配制pH=0.5的缓冲溶液，需称取多少克NaAc?3H 2O 固体溶解在300mL0.5 mol?L

-的

Hac 溶液中？

解：pH=5.0 ∴[H +

]=10

-mol?L

因为NaAc 的加入使得HAc 电离受到限制

∴[Ac -]≈c(NaAc)=x [HAc]= c(HAc)=0.5mol?L 1-

K a =]

[]][[HAc Ac H -+=5.0105x -=1.75×105- ∴x=0.88mol?L 1

所以需NaAC 为0.88×0.3=0.264mol 即需NaAc?3H 2O 0.264×136=35.9g

9-15 某含杂质的一元碱样品0.5000g(已知该碱的分子量为59.1),用0.1000mol?L

-HCl 滴定,需用

75.00mL;在滴定过程中,加入49.00mL 酸时,溶液的pH 为10.65. 求该碱的电离常数和样品

的纯度.

解: 中和一元碱需HCl 0.1×0.075=0.0075mol

所以样品中含一元碱为0.0075mol 即 0.0075×59.1=0.44325g 样品纯度为

5000

.044325

.0×100%=88.7%

加入49.00mL 酸时中和碱0.049×0.1=0.0049mol 则剩余一元碱为0.0075-0.0049=0.0026mol c=

049

.00026.0=0.0531mol?L 1

pH=10.65 ∴[OH -

]=4.45×104

-mol?L

∴K b =4

2410

45.40531.0)1045.4(--?-?=3.73×106

- 9-16 将Na 2CO 3和NaHCO 3混合物30g 配成1L 溶液,测得溶液的pH=10.62,计算溶液含

Na 2CO 3和Na 2CO 3各多少克.

解: pH=pK a +lg

)

()(332HCO N c CO N c a a

∴ 10.62=10.25+lg

)

()(332HCO N c CO N c a a =10.25+lg

)

()(332HCO N n CO N n a a

∴

)

()(332HCO N n CO N n a a =10

.0 (1)

106n(N 2a CO 3)+84n(N a HCO 3)=30 (2) 解得 n(N a HCO 3)=0.09mol

∴m (N a HCO 3)=7.58g m(N 2a CO 3)=22.42g

9-17 将5.7gNa 2CO 3?10H 2O 溶解于水配成100ml 纯碱溶液,求溶液中碳酸根离子的平衡浓度和

pH 。

解: c(N 2a CO 3)=

.02867.5?=0.2 mol?L 1

K 1b =2a w K K =11

141061.5100.1--??=1.78×104

- K 2b =1a w K K =7

1410

45.4100.1--??=2.2×108

K 1b >> K 2b 所以CO -

23二级水解很小，可由一级水解平衡求[OH -

]

CO -

23+ H 2O ≒ HCO -3+ OH -

b K

c >500 所以 [OH -]=c K b 1=6×103-mol?L 1

- ∴pH=11.78 [CO -

23]=0.2-6×10

-=0.194mol?L

9-18 在0.10mol?L

-Na 3PO 4溶液中，[PO -

34]和pH 多大。

解：K 1b =3a w K K =13

1410

5.4100.1--??=2.2×102

- K 2b =2

w K K =8

141023.6100.1--??=1.61×107

- K 3b =1a w K K =3

1410

11.7100.1--??=1.41×1012

- K 1b 》K 2b 》K 3b 所以PO -

34二三级水解很小，可由一级水解平衡求 [OH -

]。

PO -34+H 2O ≒ HPO -24+ OH -

0.1-x x x

K 1b =x

x -1.02=2.2×102- 所以x=0.037 mol?L 1-

pH=-lg[H +

]=-lg 037

.0100.114-?=12.57

[PO -34]=0.1-0.037=0.063mol?L 1

9-19 计算10mL 浓度为0.30mol?L

-的HAc 和20mL 浓度为0.15mol?L 1

-HCN 混合得到的溶液

中的[H +

]、[Ac -

]、[CN -

]。解： K a (HAc)=1.75×10

- K a (HCN)=6.2×10

由于HAc 的解离常数比HCN 大105

倍，HAc 在溶液中的解离占主导地位，求溶液

中[H +

]时可忽略HCN 提供的[H +

]。

混合后 c(HAc)=

201030.010+?=0.10mol?L 1- c(HCN)=20

1015.020+?=0.1mol?L 1

溶液中 [H +

]和[Ac -

]相同

∴ [Ac -]=[H +]=)()(HAC c HAC K a =1.32×103-mol?L 1-

HCN ≒ H +

+ CN -

0.1-y 1.32×10

3-+y y

K a (HCN)=y

y y -+?-1.0)1032.1(3= 6.2×1010- 解得 y=4.7×108- mol?L 1-

所以 [CN -

]=4.7×10

- mol?L

9-20 今有3种酸ClCH 2COOH 、HCOOH 和(CH 3)2AsO 2H ，它们的电离常数分别为1.40×10

-，

1.77×10

-和6.40×10

-，试问：

（1）配制pH=3.50的缓冲溶液选用那种酸最好？（2）需要多少毫升浓度为4.0mol?L

-的酸和多少克NaOH 才能配成1L 共轭酸碱对的

总浓度为1.0mol?L

-的缓冲溶液。

解：（1）pK 1a =-lg1.40×10

-=2.85

pK 2a =-lg1.77×104-=3.75 pK 3a =-lg6.40×10

-=6.2

所以选用HCOOH 最好。

(2) 设所形成的缓冲溶液中HCOOH 为xmol,HCOONa 为ymol 据pH= pK a －lg

n n 3.5=3.75－lg

(1) x+y=1 (2) 解得 x=0.64 y=0.36 所以 m(NaOH)=0.36×40=14.4g

V(HCOOH)=

.064.0+=0.25L=250mL

9-22 分别计算下列混合溶液的pH ：

（1）50.0mL0.200 mol?L 1-NH 4Cl 和50.0mL0.200 mol?L 1-NaOH 。（2）50.0mL0.200 mol?L 1

-NH 4Cl 和25.0mL0.200 mol?L

-NaOH 。 (3) 25.0 mL0.200 mol?L

-NH 4Cl 和50.0mL0.200 mol?L

-NaOH 。 (4) 20.0m L1.00 mol?L

-H 2C 2O 4和30.0mL1.00 mol?L

-NaOH 。

解：（1）混合后溶液中存在0.01molNH 3? H 2O 和0.01molNaCl

c(NH 3? H 2O)=05

.005.001.0+=0.1mol?L 1

b K

c =510

77.11.0-?>500 所以 [OH -]=c K b =1.33×103- mol?L 1

∴pH=11.12

（2）混合后溶液中存在0.005molNH 3?H 2O 0.005NH 3Cl

∴pH=PK b －lg

)

()(234O H NH n Cl NH n ?= PK b -lg1.77×105

-=4.75

∴pH=14－4.75=9.25∴

(3)混合溶液中存在0.005mol NH 3? H 2O 0.005molNaOH 在NaOH 存在下, NH 3? H 2O 电离度更小,可忽略不计

[OH -

]=075.0005.0=6.67×10 mol?L 1

- pH=-lg ]

OH K w =12.82 (4)

9-23 在烧杯中盛有0.2 mol?L

-20mL 乳酸(分子式HC 3H 5O 3,常用符号Hlac 表示,酸常数

K a =1.4×10

-), 向该烧杯逐步加入0.20 mol?L 1

-NaOH 溶液,试计算:

⑴ 未加NaOH 溶液前溶液的pH 。 ⑵ 加入10.0mLNaOH 后溶液的pH 。 ⑶ 加入20.0mL 后溶液的pH 。 ⑷ 加入30.0mL 后溶液的pH 。解：（1）

K K

>500 ∴[H +]=c K a ?=2.0104.14??-=5.29×103-

pH=－lg [H +

]=2.28

(2) 混合溶液中存在0.002molNa C 3H 5O 3 0.002molH C 3H 5O 3

pH= pK a －lg

)

()(353353O H NaC n O H HC n =－lg1.4×104

-=3.85

(3) 混合溶液中存在0.004molNaC 3H 5O 3 NaC 3H 5O 3=

.0004.0=0.1mol?L 1

- K b =a w K K =4

104.1100.1--??

[OH -

]=c K b ?=4

1410

4.1100.11.0--???=2.67×106-mol?L 1

- pH=－lg

]

[-OH K w

=8.43

(4) 混合溶液中存在0.004molNa C 3H 5O 3,0.002molNaOH

在NaOH 存在下,C 3H 5O -3的水解被抑制,所以忽略C 3H 5O -

3的电离

[OH -

]=c(NaOH)=

.002.0002.0+=0.04 mol?L 1

pH=－lg [H +

]=－lg ]

[-OH K w

=12.6

北师大版圆的面积(说课稿)

尊敬的各位领导.各位老师,大家好!今天我说课的内容是圆的面积,本节课我将从教材分析.目的分析.学法指导.教法分析.过程分析. 评价分析来说明。一教材分析圆的面积是北师大版六年级上册第一章第三节的内容，这是在三年级的下册学习了面积的一般概念，以及平行四边形、三角形、梯形的面积计算的基础上进行教学的，它是我们以后学习圆柱. 圆锥等的基础，圆是小学阶段最后的一个平面图形，通过对圆的研究，使学生认识到研究曲线图形的基本方法，同时渗透了曲线图形与直线图形的关系。教材力图通过一系列的操作活动，让学生在观察、分析、归纳中理解圆面积的含义，经历圆面积的推导过程，总结出圆面积的计算公式，同时，通过本节课的学习，进一步培养学生动手实践、团结合作、解决问题的能力。二学情分析六年级的学生显然有计算直线图形面积的基础, 但第一次接触曲线图形, 概念比较抽象、不易理解。推导圆面积的计算方法，理解圆面积的含义有一定的困难. 学生对于化圆为方的方法思想，无论在理解上还是运用上都有一定的困难。三教学目标

根据小学教学大纲和教材编写意图以及学生的认知规律确定本节课的教学目标如下： 1 知识目标: 了解圆的面积的含义，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆面积的计算公式。并能应用圆面积的知识解决一些简单的实际问题。 2 能力目标: 通过割补、拼组的方法探索圆面积的计算方法。. 3 情感目标: 在估一估和探究圆面积计算公式的活动中，体会“化曲为直”的思想，初步感受极限思想。四教学重、难点根据学生特点以及对新知识的掌握能力，我认为本节课的教学重点是经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆面积的计算公式。我把理解圆面积计算公式推导过程，能应用圆面积的知识解决一些简单的实际问题作为本节课的难点。五说教法学法根据教学内容特点以及学生的认识规律, 我采用实验法使学生认识圆的面积, 利用直观性教学法、多媒体辅助法引导学生推导出圆面积计算公式, 培养学生实际操作能力，提高学生分析、比较推理、应用的能力.

北师大版数学六年级上册《圆的周长》教案

圆的周长。(教材第9~11页) 1.认识圆的周长,能用滚动、绕绳等方法测量圆的周长。在观察、测量、讨论等活动中,经历探索圆的周长公式的过程。 2.理解并掌握圆的周长公式,会用字母表示,能运用周长公式进行计算并解决一些简单的实际问题。 3.体验圆与日常生活的密切联系,探索圆周长的计算方法。重点:理解并掌握圆的周长公式。难点:能运用周长公式进行计算,并解决一些简单的实际问题。课件,1元、5角、1角的硬币各一枚,直尺,细绳,圆片。师:同学们,谁能告诉大家什么是图形的周长?举例说明。生:图形的周长就是围成图形所用线段的长度之和,如长方形的周长就是围成长方形的所有边长的总和。师:圆的周长是指哪儿呢?指给同学们看看,告诉大家。生:(边指圆片边讲解)圆形的周长就是围成圆形的曲线的长度。师:请看下面的两辆车子,车轮转动一周,哪辆车子行驶的路程远?为什么?(课件出示:教材第9页最上面图) 生:车轮大的车子行驶的路程远,因为轮子越大,滚一圈就越远。师:人们很早就发现,轮子越大,滚一圈就越远。车轮滚一周的长度就是它的周长。今天我们就一起来研究“圆的周长”。【设计意图:心理学实验证明“理解的知识才能牢固掌握,理解的标志是学生能用自己的话说出来。”让学生观察并揭示圆周长的概念,在此过程中,学生加深理解圆的周长的概念,初步感受车轮的周长与直径的关系,体会数学与生活的密切联系,感受数学就在自己的身边。这样既激发了学生的学习兴趣,又为下面测量圆的周长指出了方法。】 1.测量周长。师:我们该如何测量车轮的周长呢?用手中的圆片试试看。可以小组合作。

学生在小组内合作,测量圆片的周长。师:说说你是怎样测量圆片周长的。学生可能会说: ?我们可以在圆片的边缘做一个记号,把这个记号与直尺上的0刻度对齐,然后把圆片在直尺的边缘上向右滚动一周,就能测量出圆片的周长。 ?我们也可以用细绳绕圆片一周,然后把细绳拉直,用直尺测量出细绳的长度,就是圆片的周长。师:不管是用“滚动法”,还是“绕绳法”,我们都可以成功地测量出圆片的周长。在这个过程中,其实质就是我们把曲线转化成直线,进而测量其长度。这种“化曲为直”的方法,有效地帮我们解决了测量圆的周长的问题。 2.提出猜想。师:你觉得圆的周长可能与什么有关呢? 生1:圆的周长可能与直径有关。生2:圆的周长可能与半径有关。 3.验证猜想。师:圆的周长真的与其直径或半径有关吗?正方形的周长是边长的4倍,圆的周长与直径或半径也有倍数关系吗?这些问题只有经过实验才能得出正确的结论。现在请同学们在小组里进行合作,分别测量1元、5角和1角硬币的周长和直径,并完成下面的表格。(课件出示: 教材第9页表格) 学生进行小组活动,分别测量3枚硬币的周长和直径,计算并完成表格。教师组织学生交流汇报,师生共同完成表格的填写。师:观察上表,你能发现圆的周长与直径有什么关系吗? 生:圆的周长总是直径的3倍多一些。师:实际上,圆的周长除以直径的商是一个固定的数,我们把它叫作圆周率,用字母“π”表示,计算时通常取3.14。 4.总结公式。师:你能根据圆的周长与直径之间的关系,写出圆的周长的计算方法吗? 学生可能会说: ?可以用直径乘圆周率。 ?因为同一个圆中,直径是半径的2倍,所以如果已知半径,可以先让半径乘2再乘圆周率。师:如果用C表示圆的周长,那么C=πd或C=2πr。 5.运用公式。 (1)师:自行车车轮的直径是70厘米,滚一圈有多远?试试自己解答。学生尝试自己解答,教师巡视指导个别学习有困难的学生。师:谁愿意把自己的想法告诉大家? 生:求车轮滚一圈的距离就是计算车轮的周长,根据圆的周长公式C=πd,可知 3.14×70=219.8(厘米)。 (2)师:你能计算出下面图形的周长吗?(课件出示:教材第10页“试一试”第3题图)可以跟同桌讨论。同桌讨论,共同解决问题。师:谁能告诉大家,怎样计算这个图形的周长? 生:这个图形的周长是指一个大圆周长的一半和一个小圆的周长之和,所以应该是 3.14×(3×2)÷2+3.14×3=18.84(厘米)。教师对于解答正确的学生要适时给予肯定表扬。

(完整word版)北师大版六年级数学圆的周长和面积习题

圆的周长和面积（一）一、细心填写：１、圆是平面上的一种（）图形，围成圆的（）的长叫做圆的周长。在大大小小的圆中，它们的周长总是各自圆直径的（）倍多一些，我们把这个固定的数叫做（），用字母（）表示，它是一个（）小数，在（）和（）之间，在计算时，一般只取它的近似值（）。 2、一个圆的直径扩大2倍，它的半径扩大（）倍，它的周长扩大（）倍。 3、两个圆的半径的比是2:3，它们直径的比是（），周长的比是（）。二、求圆的周长： d＝5厘米 d＝2.4分米 d＝3米 r＝2米 r＝4分米 r＝1厘米 3米 12厘米三、解决问题： 1、小红沿直径6.4米的圆形花圃边走一周，需要走多少米？ 2、一捆电线绕了9圈，每圈直径都是48厘米，这捆电线长多少米？ 3、在一块半径20米的圆形花坛周围围一圈篱笆。篱笆长多少米？ 4、一种自行车轮胎的外直径60厘米，小红骑车车轮每分钟转动100周。她骑车每分钟行使多少米？ 5、两个小圆的周长的和与大圆的周长相比，哪个长？(单位：厘米) 6 10

圆的周长和面积（二）一、判断是否： 1、圆的周长是这个圆的直径的3.14倍。 2、小圆的圆周率比大圆的圆周率小。 3、把一张圆形纸片对折若干次，所有折痕相交于圆心。 4、圆的半径扩大3倍，它的直径就扩大6倍。 5、半圆的周长等于圆周长的一半。二、填表：半径（分米） 2 8 直径（分米） 3 12 周长（分米） 18.84 62.8 三、解决问题： 1、一个圆形花坛的直径是2.2米，它的周长多少米？ 2、一个圆形水池的半径6米。小明沿着水池边走了5圈，一共走了多少米？ 3、小红家圆桌的直径1.2米，买铝合金条把桌边包起来，要买多少米铝合金条？ 4、一辆汽车从甲地去乙地，已行了全程的5 2 ，这时距中点还有15千米。已行了多少千米？ 5、建造一座污水处理厂，实际投资是计划的 10 9 ，比计划节约1.8万元。计划投资多少万元？ 6、一段铁路，甲队独铺要10天完成，乙队独铺要15天完成。现在两队合铺，完成时，甲队铺了这段公路的几分之几？

北师大版圆的周长与面积对比练习题

圆的周长与面积对比练习（一） 1、基础练习：计算下面各图形的周长和面积。只列式，不计算。(P128图略) 2、火眼金睛。（判断对错） ①一个三角形，底6分米，高5分米，它的面积是30平方分米。（） ②一个边长5米的正方形，它的面积是20平方米。（） ③一个圆，直径是2厘米，它的面积是12.56平方厘米。（） 3、对号入座。 ①边长是4米的正方形，（） A周长<面积；B 周长>面积；C周长=面积；D 周长和面积无法比较②一个平行四边形和一个三角形等底等高，已知平行四边形的面积是25平方厘米，那么三角形面积是（）平方厘米。 A、5 B、12.5 C、25 D、50 4、走进生活。 ①假如你家里要在一块边长2米的正方形木板上，剧一个最大的圆用来做饭桌面，请你算出这个圆面的面积并说出理由。 ②设计比演，时间3分钟。现在请你来当小设计师，发挥你的设计才能，运用这几种平面图形对学校正门前的空地的布局进行重新规划设计，我们看看谁的设想既美观又合理。（注：设计时可以把图形进行组合）（1）小组在白纸上进行设计。汇报：用什么图形设计出了什么？（2）你准备怎样计算你设计中这些图形的周长和面积呢？七、全课小结。通过同学们的认真学习，大胆创新设计，我相信你们当中有很多同学会成为杰出的设计师。八、作业。把你的设计完成，并写出每个图形的周长和面积的计算。九、板书设计：（电脑演示）

平面图形的周长和面积贴卡片 c=4a s=a 2 h b c=a+b+h a a s=ah ÷2 c=2(a+b) c=2(a+b) s=ah a c=a+b+ s=ab c d b s=(a+b)h ÷2 c=2лr ； s=лr 2 （联系转化应用） h r h

北师大版六年级上册数学圆的面积专项练习题

六年级上册数学圆的面积专项练习题一、填空题。 1、把一个圆分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形。这个长方形的长相当于 ( ）,长方形的宽就是圆的（ )。因为长方形的面积是（），所以圆的面积是（ )。２、圆的直径是6厘米，它的周长是( )，面积是（)。 3、圆的周长是２５.1２分米，它的面积是( )。 4、甲圆半径是乙圆半径的3倍，甲圆的周长是乙圆周长的（）,甲圆面积是乙圆面积的( ）。 5、一个圆的半径是8厘米,这个圆的面积是( )平方厘米。 6、周长相等的长方形、正方形、圆，（）面积最大。７、圆的半径由6厘米增加到９厘米，圆的面积增加了( ）平方厘米。８、要在一个边长为10厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆,剩下的面积是（)。９、要在底面半径是1２厘米的圆柱形水桶外面打上一个铁丝箍,接头部分是8厘米，需用铁丝（)厘米。 10、用圆规画一个圆，如果圆规两脚之间的距离是7厘米,画出的这个圆的周长是( ）厘米，这个圆的面积是（）平方厘米。 11、圆的半径扩大３倍,它的直径扩大( )倍,周长扩大( )倍，面积就扩大( ）。１2、用长１2．56厘米的铁丝分别围成一个正方形、圆、长方形,( )的面积最大。1３、一个半圆的直径是8厘米，这个半圆的面积是（)平方厘米。 14、一个正方形的边长是6厘米,在这个正方形里面画一个最大的圆,圆的面积是（）平方厘米。 15、一根铁丝可围成边长是３.14厘米的正方形,如果用这根铁丝围成一个圆，圆的半径是（ )厘米，面积是（ )平方厘米。 16、两个半径不同的同心圆,内半径是3厘米，外直径是8厘米,圆环的面积是（)平方厘米。１7、一个圆的半径是2CＭ,它的周长是（ )CM,面积是（ )CM2。１８、用５米长的绳子将一只羊拴在一根木桩上,这只羊的最大活动面积是（）。

北师大版六年级数学圆的周长练习

圆的周长一、想一想，填一填。（每题3分，共15分） 1. 围成圆的（）的长，叫做圆的周长，常用字母（）来表示。 2. 圆的（）和（）的（）叫做圆周率。 3. 一个圆的周长总是它的直径的( )倍。 4. 在计算圆的周长时，已知ｒ，则ｃ=( )；已知ｄ，则ｃ=( )。 5. 世界上第一个把圆周率的值计算精确到7位小数的人是我国伟大的数学家和天文学家( )。二、请你来当小裁判。（每题3分，共15分） 1. 一个圆的周长总是直径的3.14倍。( ) 2. 大圆的圆周率大，小圆的圆周率小。( ) 3. 半径不相等的两个圆，周长一定不相等。( ) 4. 圆周长的一半与半圆的周长相等。( ) 5. 大、小两个圆的半径比是5∶6，那么小圆与大圆的周长之比是5∶6。( ) 三、对号入座。（每题3分，共12分） 1. π ( )3.14 。 A. 小于 B. 等于 C. 大于 2. 一个圆的半径扩大3倍，它的周长扩大( )。 A. 3倍 B. 6倍 C. 3.14倍 3. 车轮滚动一周，所行的路程是车轮的( )。 A. 半径 B. 直径 C. 周长 4. 一个半圆的半径是1米，它的周长是( )。 A. 12.56米 B. 5.14米 C. 6.28米四、求出下面各圆的周长。（每题4分，共8分） 6cm8dm

五、求下面图形的周长。（每题5分，共10分）六、走进生活，解决问题。（每题10分，共30分） 1、一个时钟的分针长9cm ，这根分针的尖端转动一周所走的路程是多少厘米？ 2、一个圆形喷水池的周长是50.24米，它的半径是多少米？ 3、一辆自行车的车轮半径是35㎝，如果车轮平均每分钟转 100周，这辆自行车每小时能行驶多少米？七、智力大比拼!（10分）在一个大圆里，以它的直径上的三个点为圆心，画出三个紧密相连的圆(如下图)。你知道大圆的周长和这三个小圆的周长之和相比，哪一个更长一些吗？ ←→4cm 18cm 18cm 要仔细观察哟！

(北师大版)六年级数学上册《圆的周长》教学设计(1)

圆的周长教学内容：北师大版小学数学六年级上册11-13页教学目标： 1．知道什么是圆的周长，经历探索圆周率的过程，会总结圆周长的计算公式，能正确计算圆的周长。 2．运用圆的周长的知识解决现实生活中的问题，体验数学的价值。 3．培养操作试验、分析问题和解决问题的能力，掌握化曲为直的数学思想方法。 4. 了解圆周率的数学史话，接受爱国主义教育和培养严谨的科学精神。教学重点：探索圆的周长计算公式，会计算圆的周长。教学难点：对圆周率π的理解教具、学具：教师准备：多媒体课件、铁圈、实验表格。学生准备：大小不等的硬纸圆片、绳子、直尺、计算器、带有圆形的物体。教学过程：一、创设情景，提出问题数学故事引入：甲乙两只蚂蚁要进行一场爬行比赛。甲蚁沿着正方形路线跑，乙蚁沿着圆形路线跑，谁先跑完一圈谁就是冠军。同学们，面对这场比赛，你有什么想法？引导学生动脑筋想到：不好比较，因为不知道正方形、圆形的一圈各有多长。讲解：一圈有多长也就是图形的周长。引导学生提出问题：怎么求出圆的周长? 引出课题：圆的周长二、自主学习，小组探究 1．充分感知，理解意义。甲乙

（1）认识周长。我们已经知道乙蚁所跑的路程是圆的周长，那围成圆的这条线是一条什么线？围成圆的曲线的长叫做圆的周长。同学们想象一下，圆的周长展开后会出现一个什么图形？教师随着学生的讲述演示结果：是一条线段。（2）感知周长。现在请同学们拿出自己带来的：1元硬币、茶叶筒、易拉罐等。从这些物体中找出一个圆形来，互相指一指、说一说什么是这些圆的周长。 2．化曲为直，测量周长。（1）出示铁环。圆是由曲线组成的，怎样测量圆的周长？学生讨论得出：把铁环拉直后测量——“剪开拉直”。（2）出示易拉罐（指底面）。这是一个什么圆形？你能将它“剪开拉直”测量出它的周长吗？你还能想出什么办法，将它化曲为直，测量出周长呢？学生讨论后边汇报边演示。估计会有不同的方法，如滚动测量、绳绕测量等，只要合理就给予肯定。 3．教师拿一根绳子拴着一个物体，将它旋转几周，指出物体旋转的轨迹是一个圆，你能用“化曲为直”的方法测量出圆的周长吗？全班交流后得出：化曲为直在测量圆的周长时存在一定局限性，必须要寻找一种普遍的方法来计算圆周长。 4．引导猜测:圆的周长与什么有关系呢？（学生猜测并讲出猜测的依据）那圆的周长与圆的直径（或半径）到底有怎样的关系呢？这个问题要同学们自己去发现。现请每个小组同学之间相互分工一下，完成以下任务：①测量出三个大小不等圆片的直径和周长。②计算出这些圆片的周长与直径的商，得数保留两位小数。③并把相关数据记录在记录表中。学生小组合作完成下表，看哪一组完成的最快。测量值精确到毫米。

北师大版-数学-六年级上册-《圆的面积(一)》精品教案

《圆的面积（一）》精品教案一课时教学内容圆的面积(一)。(教材第14~15页) 教学目标 1.了解圆的面积的含义,经历估算和小组操作、讨论等探索圆的面积公式的过程。 2.理解并掌握圆的面积公式,能正确运用公式进行计算,解决一些简单的实际问题。 3.体验推导圆面积公式时的探索性和结论的确定性,感受“化曲为直”的转化的数学思想和方法。重点难点重点:经历圆的面积公式的推导过程,理解并掌握圆的面积公式,能运用公式解决简单的实际问题。难点:推导圆的面积计算公式。教学教具课件,大小相等的圆形纸片(8等分的圆形纸片、16等分的圆形纸片)。教学过程问题情境师:同学们,上节课我们学习了“圆的周长”,谁能告诉大家圆的周长公式是什么? (C=πd或C=2πr) 师:这节课我们主要研究“圆的面积”。谁能说说什么是图形的面积?圆的面积指什么? (明确:圆所占平面的大小就是圆的面积) 师:你还记得当初我们用什么方法推导出平行四边形、三角形、梯形的面积公式吗? 学生可能会说: ?我们用割补的方法推导出了平行四边形的面积公式,就是沿着平行四边形的一条高剪下一个三角形,平移后补在另一边就可以转化成长方形,长方形的长就是平行四边形的底,长方形的宽就是平行四边形的高,所以平行四边形的面积=底×高。 ?推导三角形的面积公式,我们也用到了转化的方法,用两个完全相同的三角形就可以拼成一个平行四边形,平行四边形的底就是三角形的底,平行四边形的高就是三角形的高,而一个三角形的面积是平行四边形面积的一半,所以三角形的面积=底×高÷2。

?梯形面积公式的推导,我们同样用到了转化的方法,用两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形,平行四边形的底是梯形上底与下底的和,平行四边形的高是梯形的高,而一个梯形的面积是平行四边形面积的一半,所以梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。师:这三种图形面积公式的推导方法有什么共同之处? 生:都是借助转化的方法,把不能解决的问题转变成我们会解决的问题,也就是把我们不会计算面积的图形,转化成我们会计算面积的图形。师:你能比较出这两个图形面积的大小吗?遇到了什么问题?(课件出示:圆形与正方形) 生1:不能直观地看出这两个图形的大小。能不能把“圆”转化成我们学过的图形,进而推算圆的面积呢? 生2:圆的面积是否也有计算公式呢? 【设计意图:“温故而知新”,引导学生回忆之前接触过的图形面积公式的推导过程,唤起学生已有的图形转化法推导面积公式的经验,渗透着要求圆的面积也需从转化的思想入手,既为新课教学做好充分的准备,又在潜移默化中培养学生的迁移类推能力。】自主探究 1.估算圆的面积。师:是啊,怎样知道一个圆的面积呢?(课件出示:教材第14页最上面图) 生1:根据第一幅图只能求出圆内最大正方形的面积,剩下的面积只能估算出来。生2:根据第二幅图可以数整方格,但不是整格的就只能估算,这样圆的面积也只能估算出来。师:是啊,用这样的方法我们只能估算出圆的面积,根本不能知道圆的实际面积。所以要想知道圆的面积,我们应该探究圆的面积计算公式,这样才比较准确。 2.推导圆的面积公式。师:请大家先猜一猜圆的面积与什么有关,并说说这样猜想的根据。学生可能会说: ?圆的面积与半径有关,因为半径决定圆的大小。 ?圆的面积可能与直径有关,因为圆的大小与直径有关。师:同学们说得似乎很有道理,那么圆的面积可以怎么计算呢?和它的半径或直径究竟有什么关系呢? 【设计意图:因为学生已经知道圆的大小由圆的半径决定,所以让学生展开有根有据的猜想,既为下面的教学做铺垫,又培养他们合理的猜想意识。】

北师大版：圆的面积教学设计与反思doc

北师大版：《圆的面积》教学设计与反思基本信息课题《圆的面积》北师大版六年级上册第21--23页的内容卢齐桥韶关市武江区东岗小学作者及工作单位教材分析本节教学北师大版六年级上册第21--23页的内容。使学生经历操作、观察、验证和讨论归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆面积的计算公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的简单问题。重点：掌握圆的面积公式，能正确计算圆的面积，并应用圆面积公式解决简单实际问题。难点：能想到沿直径进行切拼，并理解长方形的长就是πr 学情分析所任教的班级基础好，学习风气浓厚，探索欲望强烈这些都为本节课奠定了良好的基础。小学对几何图形的认识很大程度属于直观几何的学习阶段，而几何本身比较抽象的。本节内容学生从认识直线图形发展到认识曲线图形，又是一次飞跃，但从学生思维角度看，六年级学生具有一定的抽象和逻辑思维能力。这一学段中的学生已经有了许多机会接触到数与计算、空间图形等较丰富的数学内容，已经具备了初步的归纳、类比和推理的数学活动经验，并具有了转化的数学思想。所以在教学应注意联系现实生活，组织学生利用学具开展探索性的数学活动，注重知识发现和探索过程，使学生从中获得数学学习的积极情感，体验和感受数学的力量。同时在学习活动中，要使学生学会自主学习和小组合作，培养学生解决数学问题的能力。本节课的设计着重在“以学生的发展为中心”的理念，将学生的已有知识结合来自生活常识的实例做为重要的课堂生成资源，运用有趣的教学手段，突破学生的思维定势，给学生充分发散思维的空间。教学目标知识与技能： 1、理解圆的面积公式的推导过程，掌握圆的面积公式，并能正确的计算圆的面积 2、培养学生观察、操作、分析、归纳的能力，以及逻辑推理能力 3、培养学生灵活运用公式解决实际问题的能力过程与方法： 1、引导学生学会利用已有知识，运用数学思想方法，动手实践，推导、归纳出圆的面积计算公式。 2、渗透极限、转化、以直代曲等数学思想方法，发展学生的空间观念情感态度价值观：

北师大版小学数学第一单元“圆的面积”教学设计

北师大版小学数学六年级上册第一单元 “圆的面积”教学设计【教学目标】 1、了解圆的面积的含义，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆面积计算公式。 2、能正确运用圆的面积公式计算圆的面积，并能运用圆面积知识解决一些简单实际的问题。 3、在估一估和探究圆面积公式的活动中，体会“化曲为直”的思想，初步感受极限思想。【教学重点】能正确运用圆的面积公式计算圆的面积，并能运用圆面积知识解决一些简单实际的问题。【教具准备】投影仪，课件，等分好的圆形纸片。【学具准备】等分好的圆形纸片。【教学设计】一、创设情境，提出问题。（课件出示：绳长5米，小狗的活动面积有多大？）师：请同学们观察这幅插图，说说从图中你能发现数学知识吗？学生观察并讨论，然后指名回答。师：同学们说得很好。请大家说说这个圆形的面积指的是哪部分呢？

生：小狗活动的范围就是这个圆形的面积。师：这个圆的半径是多少？（5米）师：小狗活动的面积到底有多大呢？这节课我们就一起来学习圆的面积。（板书：圆的面积）师：你们能举起手中的圆形纸片比划它的面积吗？生动手比划。（课件演示圆的周长，面积）二、猜测感知，探究思考。 1、估计圆面积大小师：估一估：半径为5米的圆面积是多少？（让同学们充分发挥自己感官，估计草坪面积大小） 2、用数方格的方法求圆面积大小 ①投影出示P16方格图，让同学们看懂图意后估算圆的面积，学生可以讨论交流。 ②指明反馈估算结果，并说明估算方法及依据。生1、我是根据圆里面的正方形来估计的，外面方格图面积为10×10=100平方米，圆里面的正方形面积大约为50平方米，那么这个圆形的面积大约在50——100平方米之间；生2：我是用数方格的方法来估计的。我把这个圆形平均分成4份，其中一份大约为20平方米，那么这个圆形的面积约有80平方米；师：同学们的估计很有道理，但是在实际生活中往往要有一个精确的结果，我们接下来就来讨论计算圆面积的方法。三、探索规律，解决问题。

2015新北师大版圆的面积教学设计

基本信息课题北京师范大学出版社出版六年级数学上册第14-15页的内容单位作者高陂镇古田小学郭志新教材分析本节教学北师大版六年级上册第14-15页的内容。使学生经历操作、观察、验证和讨论归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆面积的计算公式。本节内容是在学生初步认识了圆，学习掌握了圆的周长的计算方法，能熟练运用公式计算三角形、长方形、正方形等平面图形面积的基础上进行教学的。由于以前学生所学的平面图形都是些由线段组成的多边形（如三角形、长方形、平行四边形等），而计算像圆这样的曲线图形的面积，学生还是第一次遇到，所以教材通过演示，把圆的面积转化为已学过的平行四边形的面积来计算，给学生指明了解决问题的方向。教师在教学过程中，要充分利用学具、多媒体等辅助教学工具，直观地演示由圆到方的变化过程。让学生找出圆与所拼成的平行四边形之间的联系，从而顺利推导出圆的面积计算公式。学情分析六年级学生具有一定的抽象和逻辑思维能力。这一学段中的学生已经有了许多机会接触到数与计算、空间图形等较丰富的数学内容，已经具备了初步的归纳、类比和推理的数学活动经验，并具有了转化的数学思想。所以在教学应注意联系现实生活，组织学生利用学具开展探索性的数学活动，注重知识发现和探索过程，使学生从中获得数学学习的积极情感，体验和感受数学的力量。同时在学习活动中，要使学生学会自主学习和小组合作，培养学生解决数学问题的能力。本节课的设计着重在“以学生的发展为中心”的理念，将学生的已有知识结合来自生活常识的实例做为重要的课堂生成资源，运用有趣的教学手段，突破学生的思维定势，给学生充分发散思维的空间。外加本期我所任教的班级基础好，学习风气浓厚，探索欲望强烈这些都为本节课教学奠定了良好的基础。教学目标知识目标了解圆面积的含义，经历圆的面积计算公式的推导过程，掌握圆面积的计算公式。能力目标会估算圆的面积，了解多边形的面积计算方法与圆的面积计算方法之间的联系。情感目标：在探究圆的面积计算公式活动中，体会化曲为直的思想，初步感受极限思想。

北师大版六年级数学上册《圆的周长》教学设计

《圆的周长》教学设计一、教学内容：北师版小学数学六年级上册第一单元第9页---10页二、学情分析：本课是在学生掌握了直线图形的周长计算，并且对圆已有初步认识的基础上进行教学的。学习直线图形到学习曲线图形，无论是内容本身，还是探索新知、研究问题的方法都有所变化，教材通过对圆的周长的研究，使学生初步认识研究曲线图形的基本方法，同时也渗透了“化曲为直”的数学思想。三、教学目标： 1.知识技能：结合实例认识圆的周长，在探索圆的周长与直径关系的过程中，理解圆周率的意义。 2.数学思考：通过猜想、操作、计算、验证等活动，了解圆的周长除以直径的商（圆周率）为定值。 3.问题解决：经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程，并能从中得出结论。 4.情感态度：结合发现圆周率的历史，体会数学文化的价值，形成热爱数学的积极情感。四、教学重点：探索圆的周长与直径的关系，理解圆周率的意义。五、教学难点：理解圆周率的意义。六、教学准备：多媒体课件、圆片、细绳、直尺、计算器等。七、教学过程：（一）复习导入上节课我们认识了圆，请你结合你手中的学具，说一说关于圆我们都学了哪些知识？（学生汇报）这节课我们继续来学习圆，研究圆的周长。（板题）（二）探究新知 1．那么什么是图形的周长呢？（图形一周的长度）圆的周长又该如何定义呢？（围成圆一周的曲线的长度就是圆的周长）用你的手来感受一下圆的周长（摸一摸圆形学具的周长）。我们一起来看一下，（屏幕演示）像这样围成圆形一周的曲线的长度就是圆的周长。你再来摸一摸，感受一下它的周长与我们以往所学的长方形、三角形等这些图形有什么不同之处？（曲线围成的）是的，圆具有这样的特点，那么如何测量出圆的周长呢？你有办法吗？同桌合作测量出圆形学具的周长。

2019新版北师大版数学六年级上册《圆的面积》说课稿

圆的面积说课稿邹有强摘要：今天我说课的内容是北师大版小学数学六年级上册第四单元《圆的面积》。 3.重点与难点重点:能正确运用圆的面积公式计算圆的面积,并能运用圆面积知识解决一些简单实际的问题今天我说课的内容是北师大版小学数学六年级上册第四单元《圆的面积》。下面我对本课做以简要的说明。一、说教材 1.教材分析本课从一个喷水头转动可以浇灌多大面积的农田的实例出发,结合学生的生活经验引出圆的面积知识。在此之前,学生已经学过了圆的周长等有关概念、公式,在这个基础上,学好本节课,掌握圆的面积公式和有关计算,可为学生今后学习和圆有关的图形的面积奠定基础。特别是在圆的面积的推导过程中,可对学生进行极限思想的渗透。 2.教学目标素质教育背景下的数学教学应以学生发展为根本,培养学习能力为重点,同时要强化应用意识,所以本节课确定如下教学目标: ﹙1﹚了解圆的面积的含义,经历圆面积公式的推导过程,掌握圆面积计算公式。 ﹙2﹚能正确运用公式计算圆的面积,并能运用圆面积知识解决一些简单的实际问题。 ﹙3﹚在“估一估”和探究圆面积公式的过程中,体会“化曲为直”的极限思想。 3.重点与难点重点:能正确运用圆的面积公式计算圆的面积,并能运用圆面积知识解决一些简单实际的问题。难点:“化曲为直”的极限思想的理解。二、说教法、学法 1.教法分析针对学生年龄特点和心理特征,以及他们现在的知识水平,采用启发式、小组合作等教学方法,让尽可能多的学生主动参与到学习中来。课堂上教师要成为学

生的学习伙伴,与学生“同甘共苦”,一起思考问题,一同体验成功的喜悦,创造一个轻松、高效的学习氛围。 2.学法指导通过实例引入,引导学生关注身边的数学;在借助长方形面积公式来推导圆的面积公式的过程中,让学生通过观察、归纳、联想、转化等学习方法,动口、动手,动脑,培养学生学习的主动性和积极性。 3.教学手段为了更好地展示数学的魅力,我结合多媒体辅助手段,充分地调动学生的感官,增加学习的形象感与趣味性,并且给学生留有足够的思考和交流的时间和空间,使学生成为课堂的主人。三、说教学过程 1.创设问题情景,引入课题。出示课件让学生观察并说说从图中能发现什么数学信息,使学生在具体情境中了解圆面积的含义,体会到研究圆面积的必要性。 2.探究思考,解决问题:估计圆的面积有多大。通过探究和思考使学生进一步体会到面积度量的含义,感受“化曲为直”的思想,同时培养学生的估计意识。 3.旧知引入,探索新知。从已学过的知识入手让学生思考:平行四边形面积可以转化成长方形面积,那么圆的面积计算是否也可以转化成长方形面积来解决呢?引导学生利用准备好的圆片转化成为长方形,通过实际操作活动使学生体会“化曲为直”的思想。然后进行动画展示,让学生闭起眼睛想一想是不是分得的份数越多,拼成的图形越接近于长方形。启发学生思考:既然圆的面积无限接近于长方形,那么我们如何根据长方形的面积来推导圆的面积公式?长方形的长、宽与圆有什么关系呢?接下来再次播放动画,师生共同总结圆的面积公式。在这个过程中,运用多媒体演示动画,可以揭示出数学知识的内在规律的科学美,激发学生探求知识奥秘的欲望,消除学生学习时产生的疲劳感,提高学习效率。 4.实际应用。鼓励学生运用所学公式进行计算,解决生活中的一些实际问题。这样既注重对基本技能的训练,又关注学生的思考;既引导学生运用探索结果解决问题,又引发学生对探索过程的关注。

北师大版六年级数学上册《圆的周长(一)》说课稿

《圆的周长》说课稿各位老师：大家上午好！今天我说课的内容是北师大版六年级上册9页至10 页《圆的周长》，下面我将从以下几个方面来阐述我对这节课的教学设想。（课件出示说课流程）首先我对教材作一个简单的分析。一、说教材《圆的周长》选自北师大版六年级上册第一单元“圆”的第三节内容。在此之前，学生已经学习过直线图形，上节课我们又学习了“圆的认识”，这些知识为本课的教学打下了扎实的基础。教材通过一系列的操作活动，让学生在观察、分析、比较、归纳中理解“圆的周长”的含义，经历圆周率的形成过程，推导圆周长的计算方法。为学习圆的面积、圆柱、圆锥等知识打下坚实的基础。因此它起着承前启后的作用，是小学几何初步知识教学中的一项重要内容。二、说学情分析

学生在学习圆的周长前已经理解了周长的意义，掌握了关于长方形，正方形周长的计算方法，也认识圆的各部分名称，知道半径，直径的关系并且会画圆，能测量出圆的直径。这节课是在这样的基础上进行教学的，前面的知识为这节课的学习活动做好了铺垫。但是圆是曲线图形，是一种新出现的平面几何图形，这在平面图形的周长计算教学上又深了一层。特别是圆周率这个概念也较为抽象，探索圆周率的含义以及推导圆周长计算公式是教学难点，学生不易理解。但学生对各项动手操作的实践活动非常感兴趣，老师只要充分发挥、调动他们的积极性，他们还是乐意做课堂的主人的！那么，根据教学大纲的要求和学生的认知规律，我将本课的教学目标定为：三、说教学目标： ⒈知识目标：使学生认识圆的周长，理解圆周率的意义和掌握圆周率∏的近似值。理解和掌握圆的周长计算公式，能正确地计算圆的周长。 ⒉能力目标：通过对圆周长测量方法和圆周率的探索、圆的周长计算公式的推导等教学活动，培养学生观察、推理、分析、综合、抽象、概括的能力和解决简单的实际问题的能力。 3.情感目标：向学生介绍我国古代数学家祖冲之对圆周率的研究事迹，了解圆周率的发展史，向学生进行爱国主义教育，激发学生的民族自豪感和探索精神。四、说教学重难点

(完整版)北师大版六年级数学上册圆的面积教学设计

六年级数学上册《圆的面积一》教学设计一、教材分析圆的面积是北师大版六年级上册第一章第三节的内容，这是在三年级的下册学习了面积的一般概念，以及平行四边形、三角形、梯形的面积计算的基础上进行教学的，它是我们以后学习圆柱.圆锥等的基础，圆是小学阶段最后的一个平面图形，通过对圆的研究，使学生认识到研究曲线图形的基本方法，同时渗透了曲线图形与直线图形的关系。教材力图通过一系列的操作活动，让学生在观察、分析、归纳中理解圆面积的含义，经历圆面积的推导过程，总结出圆面积的计算公式，同时，通过本节课的学习，进一步培养学生动手实践、团结合作、解决问题的能力二、学情分析六年级的学生显然有计算直线图形面积的基础,但第一次接触曲线图形,概念比较抽象、不易理解。推导圆面积的计算方法，理解圆面积的含义有一定的困难.学生对于化圆为方的方法思想，无论在理解上还是运用上都有一定的困难。三、教学目标 1知识目标:了解圆的面积的含义，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆面积的计算公式。并能应用圆面积的知识解决一些简单的实际问题。 2能力目标:通过割补、拼组的方法探索圆面积的计算方法。. 3情感目标:在估一估和探究圆面积计算公式的活动中，体会“化曲为直”的思想，初步感受极限思想。四、重点难点重点：经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆面积的计算公式。难点：理解圆面积计算公式推导过程，能应用圆面积的知识解决一些简单的实际问题五、教学方法

根据教学内容特点以及学生的认识规律,我采用实验法使学生认识圆的面积,利用直观性教学法、多媒体辅助法引导学生推导出圆面积计算公式,培养学生实际操作能力，提高学生分析、比较推理、应用的能力. 六、教学过程（一）、创设情境，导入课题本节课的一开始我将出示有趣的多媒体课件，然后创设情景，引出问题，问马儿所能活动的范围有多大，并引导学生认识到马儿所能活动的范围是一个圆，范围的大小刚好是圆的面积，进一步引出课题。这个课题是学生非常熟悉的，贴近学生生活实际，体会到‘圆的面积’和我们的生活是息息相关的，大大调动了学生学习的积极性。并为后面学生解决一些实际问题的能力埋些伏笔。板书课题：圆的面积（二）、建立概念，探讨方法师：圆是我们最近学习的也是最美丽的平面图形，请大家联系我们以前学过的平面图形面积的含义想一想什么是圆的面积呢？生回答，然后课件展示：圆所占平面的大小叫做圆的面积。提出问题：怎样计算圆的面积呢？教师引导（让学生回忆以前推导平行四边形、三角形、梯形面积计算公式的方法），学生讨论。总结方法：割补转换的方法。（三）、探索规律，总结公式用课件展示4等分圆、8等分圆、16等分圆的情况。从而得出规律：分得越细越接近平行四边形或长方形。 1. 提出问题： (1).长方形的长与圆的周长有什么关系? (2).长方形的宽与圆的半径有什么关系? 2.课件展示，学生观察讨论，得出规律： (1).长方形的长等于圆周长的一半。 (2).长方形的宽等于圆的半径。

北师大版数学六年级上册《圆的面积(一)》教案

圆的面积(一)。(教材第14~15页) 1.了解圆的面积的含义,经历估算和小组操作、讨论等探索圆的面积公式的过程。 2.理解并掌握圆的面积公式,能正确运用公式进行计算,解决一些简单的实际问题。 3.体验推导圆面积公式时的探索性和结论的确定性,感受“化曲为直”的转化的数学思想和方法。重点:经历圆的面积公式的推导过程,理解并掌握圆的面积公式,能运用公式解决简单的实际问题。难点:推导圆的面积计算公式。课件,大小相等的圆形纸片(8等分的圆形纸片、16等分的圆形纸片)。师:同学们,上节课我们学习了“圆的周长”,谁能告诉大家圆的周长公式是什么? (C=πd或C=2πr) 师:这节课我们主要研究“圆的面积”。谁能说说什么是图形的面积?圆的面积指什么? (明确:圆所占平面的大小就是圆的面积) 师:你还记得当初我们用什么方法推导出平行四边形、三角形、梯形的面积公式吗? 学生可能会说: ?我们用割补的方法推导出了平行四边形的面积公式,就是沿着平行四边形的一条高剪下一个三角形,平移后补在另一边就可以转化成长方形,长方形的长就是平行四边形的底,长方形的宽就是平行四边形的高,所以平行四边形的面积=底×高。 ?推导三角形的面积公式,我们也用到了转化的方法,用两个完全相同的三角形就可以拼成一个平行四边形,平行四边形的底就是三角形的底,平行四边形的高就是三角形的高,而一个三角形的面积是平行四边形面积的一半,所以三角形的面积=底×高÷2。 ?梯形面积公式的推导,我们同样用到了转化的方法,用两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形,平行四边形的底是梯形上底与下底的和,平行四边形的高是梯形的高,而一个梯形的面积是平行四边形面积的一半,所以梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。师:这三种图形面积公式的推导方法有什么共同之处? 生:都是借助转化的方法,把不能解决的问题转变成我们会解决的问题,也就是把我们不会计算面积的图形,转化成我们会计算面积的图形。师:你能比较出这两个图形面积的大小吗?遇到了什么问题?(课件出示:圆形与正方形)

北师大版六年级上册圆的周长练习

六年级第一周精心习题令狐采学班级：____________ 姓名：________________ 等级： _______________ 一、直接写出得数： 3.14×2＝ 3.14×3＝ 3.14×4＝ 3.14×5＝ 3.14×6＝3.14×7＝3.14×8＝3.14×9＝ 3.14×10＝3.14×12＝ 3.14×14＝3.14×16＝3.14×18＝ 3.14×20＝ 3.14×25＝ 3.14×36＝3.14×49＝3.14×64＝3.14×81＝二、填空１、圆是（）图形，它有（）条对称轴。圆的周长与它的直径的比值叫做（），在大大小小的圆中，它们的周长总是各自圆直径的（）倍多一些，我们把这个固定的数叫做（），用字母（）表示，它是一个（）小数，在（）和（）之间，在计算时，一般只取它的近似值（）。我国（）时期著名数学家（）比世界上领先（）年。 2、通过（），并且两端都在圆上的（），叫做圆的直径，它有（）条这样的直径。圆心到（）任意一点的线段叫做圆的（）。 3、在同一个圆里，半径是5厘米，直径是（）厘米。 4、用字母（）表示圆的周长，那么圆的周长计算公式是（）

或（）。 5、在一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸片上画一个最大的圆，这个圆的半径是（）厘米；如果画一个最大的半圆，这个圆的半径是（）厘米，周长是（）。 6、一个圆的直径扩大2倍，它的半径扩大（）倍，它的周长扩大（）倍。圆的周长缩小倍，半径就（）。 7、一个圆的半径是7分米，它的周长是（）。一个圆的直径是6厘米，它的周长是（）。 8、圆的周长是28．26米，它的直径是（）厘米，半径是（）厘米。 9、一台时钟的分针长6厘米，它走了5分钟，针尖走了（）厘米。 10、车轮滚动一周的距离，实际上是计算这个车轮的（）。如果车轮的直径是0.9米，转动一周是（）米。 11、画一个周长12.56厘米的圆，圆规两脚间的距离是（）厘米。 12、大圆直径是小圆直径的3倍，大圆周长是小圆周长的（）倍。 13、把一块边长是10分米的正方形铁片，剪成一个最大的圆形，这个圆的周长是（）。 14、用铁丝把2根横截面直径都是20厘米的圆木捆在一起，如果接头处铁丝长5厘米，那么捆一周至少需要（）厘米的铁丝。

2015新北师大版圆的面积教学设计

《圆的面积》教学设计基本信息课题北京师范大学出版社出版六年级数学上册第14-15页的内容单位作者高陂镇古田小学郭志新教材分析本节教学北师大版六年级上册第14-15页的内容。使学生经历操作、观察、验证和讨论归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆面积的计算公式。本节内容是在学生初步认识了圆，学习掌握了圆的周长的计算方法，能熟练运用公式计算三角形、长方形、正方形等平面图形面积的基础上进行教学的。由于以前学生所学的平面图形都是些由线段组成的多边形（如三角形、长方形、平行四边形等），而计算像圆这样的曲线图形的面积，学生还是第一次遇到，所以教材通过演示，把圆的面积转化为已学过的平行四边形的面积来计算，给学生指明了解决问题的方向。教师在教学过程中，要充分利用学具、多媒体等辅助教学工具，直观地演示由圆到方的变化过程。让学生找出圆与所拼成的平行四边形之间的联系，从而顺利推导出圆的面积计算公式。学情分析六年级学生具有一定的抽象和逻辑思维能力。这一学段中的学生已经有了许多机会接触到数与计算、空间图形等较丰富的数学内容，已经具备了初步的归纳、类比和推理的数学活动经验，并具有了转化的数学思想。所以在教学应注意联系现实生活，组织学生利用学具开展探索性的数学活动，注重知识发现和探索过程，使学生从中获得数学学习的积极情感，体验和感受数学的力量。同时在学习活动中，要使学生学会自主学习和小组合作，培养学生解决数学问题的能力。本节课的设计着重在“以学生的发展为中心”的理念，将学生的已有知识结合来自生活常识的实例做为重要的课堂生成资源，运用有趣的教学手段，突破学生的思维定势，给学生充分发散思维的空间。外加本期我所任教的班级基础好，学习风气浓厚，探索欲望强烈这些都为本节课教学奠定了良好的基础。教学目标知识目标了解圆面积的含义，经历圆的面积计算公式的推导过程，掌握圆面积的计算公式。能力目标会估算圆的面积，了解多边形的面积计算方法与圆的面积计算方法之间的联系。情感目标：在探究圆的面积计算公式活动中，体会化曲为直的思想，初步感受极限思想。