2019年湖北省武汉市中考数学真题测试卷试题(解析版)
2019年武汉市中考数学试卷【精品】
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.-2019的相反数是（）
A. 2019
B. -2019
C.
D.
【答案】A
【分析】
根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可.
【详解】解：2019的相反数是﹣2019．
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数.
2.式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
根据二次根式有意义的条件进行求解即可.
【详解】由题意得：x-1≥0，
解得：x≥1，
故选C.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.
3.不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）
A. 3个球都是黑球
B. 3个球都是白球
C. 三个球中有黑球
D. 3个球中有白球
【答案】B
【分析】
根据袋子中球的个数以及每样球的个数对摸出的3个球的颜色进行分析即可.
【详解】袋中一共6个球，有4个黑球和2个白球，从中一次摸出3个球，可能3个都是黑球，也可能2个黑球1个白球，也可能2个白球1个黑球，不可能3个都是白球，
故选项A、C、D都是可能事件，不符合题意，选项B是不可能事件，符合题意，故选B.【点睛】本题考查了确定事件及随机事件，把握相关概念，正确进行分析是解题的关键. 4.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（）
A. 诚
B. 信
C. 友
D. 善
【答案】D
【分析】
根据轴对称图形的概念逐一进行分析即可得.
【详解】A.不是轴对称图形，故不符合题意；
B.不是轴对称图形，故不符合题意；
C.不是轴对称图形，故不符合题意；
D.是轴对称图形，符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟知“平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形”是解题的关键.
5.如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何题的左视图是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【详解】从物体左面看，左边2个正方形，右边1个正方形，
形状如图所示：
故选A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，明确左视图是从物体左面看所得到的图形是解题的关键，切记将三种视图混淆而错误的选其它选项．
6.“漏壶”是一种这个古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示与的对应关系的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
由题意知x表示时间，y表示壶底到水面的高度，然后根据x、y的初始位置及函数图象的性质来判断.
【详解】由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0，可以排除B选项，
由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除C、D选项，
故选A．
【点睛】本题考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
7.从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程
有实数解的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可.
【详解】由题意，△=42-4ac≥0，
∴ac≤4，
画树状图如下：
a、c的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数，
所以a、c的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为，
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解题的关键.
8.已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，、两点在该图象上，下列命题：①过点作轴，为垂足，连接.若的面积为3，则；②若，则；③若
，则其中真命题个数是（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】D
【分析】
根据反比例函数的性质，由题意可得k＜0，y1=，y2=，然后根据反比例函数k的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案.
【详解】∵反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，
∴k<0，
∵、两点在该图象上，
∴y1=，y2=，
∴x1y1=k，x2y2=k，
①过点作轴，为垂足，
∴S△AOC==，
∴，故①正确；
②若，则点A在第二象限，点B在第四象限，所以，故②正确；
③∵，
∴，故③正确，
故选D.
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
9.如图，是的直径，、是弧（异于、）上两点，是弧上一动点，的角平分线交
于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
连接BE，由题意可得点E是△ABC的内心，由此可得∠AEB＝135°，为定值，确定出点E的运动轨迹是是弓形AB上的圆弧，此圆弧所在圆的圆心在AB的中垂线上，根据题意过圆心O作直径CD，则CD⊥AB，在CD的延长线上，作DF＝DA，则可判定A、E、B、F四点共圆，继而得出DE＝DA＝DF，点D为弓形AB所在圆的圆心，设⊙O的半径为R，求出点C的运动路径长为，DA＝R，进而求出点E的运动路径为弧AEB，弧长为，即可求得答案.
【详解】连结BE，
∵点E是∠ACB与∠CAB的交点，
∴点E是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AEB＝180°－(∠CAB+∠CBA)＝135°，为定值，，
∴点E的轨迹是弓形AB上的圆弧，
∴此圆弧的圆心一定在弦AB的中垂线上，
∵，
∴AD=BD，
如下图，过圆心O作直径CD，则CD⊥AB，
∠BDO＝∠ADO＝45°，
在CD的延长线上，作DF＝DA，
则∠AFB＝45°，
即∠AFB+∠AEB＝180°，
∴A、E、B、F四点共圆，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴DE＝DA＝DF，
∴点D为弓形AB所在圆的圆心，
设⊙O的半径为R，
则点C的运动路径长为：，
DA＝R，
点E的运动路径为弧AEB，弧长为：，
C、E两点的运动路径长比为：，
故选A.
【点睛】本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综合性较强，正确分析出点E运动的路径是解题的关键.
10.观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
根据题意，一组数：、、、、、的和为250＋251＋252＋…＋299＋2100＝＝a＋(2＋22＋…＋250)a，进而根据所给等式的规律，可以发现2＋22＋…＋250＝251－2，由此即可求得答案.
【详解】250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋2a＋22a＋ (250)
＝a＋(2＋22＋…＋250)a，
∵，
，
，
…，
∴2＋22＋…＋250＝251－2，
∴250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋(2＋22＋…＋250)a
＝a＋(251－2)a
＝a＋(2 a－2)a
＝2a2－a，
故选C.
【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，仔细观察，发现其中哪些发生了变化，哪些没有发生变化，是按什么规律变化的是解题的关键.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11.计算：=_______．
【答案】4
【分析】
根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方
根，由此即可求出结果．
【详解】解：原式==4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
12.武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：），分别是25、20、18、23、27，这组数据的中位数是___________
【答案】23
【分析】
将这组数据按从小到大的顺序排列，然后根据中位数的概念进行求解即可.
【详解】数据由小到大排列为：
18、20、23、25、27，
所以，中位数为23，
故答案为：23.
【点睛】本题考查了中位数，熟练掌握中位数的概念以及求解方法是解题的关键.
13.计算的结果是___________
【答案】
【分析】
先通分，然后根据同分母分式加减法法则进行计算即可.
【详解】原式=
=
=
=，
故答案为：.
【点睛】本题考查了异分母分式的加减法，熟练掌握异分母分式加减法的运算法则是解题的关键.
14.如图，在中，、是对角线
上两点，
，
，
，则
的大
小为___________
【答案】21°. 【分析】
由直角三角形斜边中线的
性质得DE ＝AE ＝EF ，进而可得DC ＝DE ，设∠ADE ＝x ，则∠DAE ＝x ，进而可得∠DCE ＝∠DEC ＝2x ，再根据平行线的性质可得 ∠ACB ＝∠DAE ＝x ，再根据∠ACB+∠ACD ＝∠BCD=63°，即可求得答案.
【详解】∵AE ＝EF ，∠ADF ＝90°， ∴DE ＝AE ＝EF ， ∴∠DAE=∠ADE ， 又∵AE ＝EF ＝CD ， ∴DC ＝DE ， ∴∠DEC=∠DCE ，
设∠ADE ＝x ，则∠DAE ＝x ， 则∠DCE ＝∠DEC ＝2x ， 又AD ∥BC ，
∴∠ACB ＝∠DAE ＝x ，
由∠ACB+∠ACD ＝∠BCD=63°， 得：x+2x ＝63°， 解得：x ＝21°， ∴∠ADE=21°， 故答案为：21°.
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行四边形的
性质等，正确把握相关性质是解题的关键.
15.抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________
【答案】，.
【分析】
由题意可得关于a、b、c的方程组，解方程组用含a的式子表示出b、c，然后把b、c代入到一元二次方程组进行求解即可得.
【详解】依题意，得：，
解得：，
所以，关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx为：，
即：，
化：，
解得：，，
故答案为：，.
【点睛】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解方程组，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式，得到用含a的式子表示出b和c是解题的关键.
16.问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论：
问题解决：如图，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________
【答案】
【分析】
如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，易知△MOP为等边三角形，继而得到点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，由此可以发现当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON ＋OM＋OG最小，此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，利用勾股定理进行求解即可得.
【详解】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，
显然△MOP为等边三角形，
∴，OM＋OG＝OP＋PQ，
∴点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，
∴当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，
此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，
过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，则∠MAQ=90°，
∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，
∵MQ＝MG＝4，
∴AQ＝AM＝MQ?cos45°=4，
∴NQ＝，
故答案为：.
【点睛】本题考查了旋转的性质，最短路径问题，勾股定理，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线是解题的关键.
三、解答题（共8题，共72分）
17.计算：
【答案】
【分析】
按顺序先分别进行积的乘方运算、同底数幂的乘法运算，然后再合并同类项即可.
【详解】
=
.
【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及了积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
18.如图，点、、、在一条直线上，与交于点，，，求证：
【答案】证明见解析
【分析】
根据同位角相等，两直线平行可得AE//BF，进而可得∠E=∠2，由CE//DF可得∠F=∠2，最后根据等量代换即可证明结论.
【详解】∵，
∴，
∴.
∵CE//DF，
∴.
∴.
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.
19.为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童威随机抽取部分学生，按四个类别：表示“很喜欢”，表示“喜欢”，表示“一般”，表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取_________名学生进行统计调查，扇形统计图中，类所对应的扇形圆心角的大小为
__________
（2）将条形统计图补充完整
（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的类的学生大约有多少人？
各类学生人数条形统计图各类学生人数扇形统计图
【答案】（1）50：72°.（1）见解析；（3）690人.
【分析】
(1)根据C类学生的人数以及所占的比例可求得抽取的学生数，再用360度乘以D类学生所占的比例即可求得答案；
(2)先求出A类
的学生数，然后补全统计图即可；(3)用1500乘以B类学生所占的比例即可得. 【详解】(1)这次共抽取了12÷24%=50名学生进行统计调查，类所对应的扇形圆心角的大小为360°×=72°，故答案为：50，72°；(2)A类学生数：50-23-12-10=5，补全统计图如图所示：
(3)(人)，
答：估计该校表示“喜欢”的类的学生大约有690人.
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，弄清题意，读懂统计图，从中找到必要的信息是解题的关键.
20.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点在格点上，点是边与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由
（1）如图1，过点画线段，使，且
（2）如图1，在边上画一点，使
（3）如图2，过点画线段，使，且
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】
(1)观察可知点D向左平移一个格得到点A，根据平移的性质，只要找到点C向左平移一个格后对应的点F，连接AF即可(根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCF是平行四边形，继而根据平行四边形的性质即可求得AF//DC，AF=DC)；
(2)结合网格特点找到点C关于直线AB的对称点N，连接DN，DN与AB的交点即为点G(根据轴对称的性
质可得∠BGC=∠BGN，又∠BGN=∠AGD，根据等量代换即可得∠AGD=∠BGC)；
(3)根据网格的特点，观察可知点D向下平移3格后的对应点P在BC上，由此将点C向下平移3格得到对应点Q，连接PQ，PQ与网格线的交点中靠近BC的为点M，连接EM即可(根据画法可知四边形ABPD是矩形，四边形PDEM是平行四边形，由此即可得DM//AB，DM＝AB).
【详解】(1)画图如图1所示；
(2)画图如图1所示；
(3)画图如图2所示.
【点睛】本题考查了利用无刻度的直尺作图，涉及了平移的性质，平行四边形的判定与性质等，熟练掌握相关知识，正确把握网格的结构特点是解题的关键.
21.已知是的直径，和是的两条切线，与相切于点，分别交、于、两点（1）如图1，求证：
（2）如图2，连接并延长交于点，连接．若，，求图中阴影部分的面积
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】(1)如图1，过点作，为垂足，
∵，，是的切线，
∴，，，，四边形是矩形，
在中，，
∴，
∴；
(2)如图2，连接OD、OC，
∵，，是的切线，
∴DO平分∠ADE，CO平分∠BCE，AD=DE，BC=CE，，，，
∴∠AOD=∠DOE，∠BOE=2∠COE，∠BAD=∠OED=∠OEC=∠ABC=90°，
∴∠ADE+∠AOE=360°-90°-90°=180°，
∵∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠ADE=∠BOE，
∵，，
∴，
∴CO=CF，即等腰三角形，
∵，∴垂直平分，
∴DO=DF，
∴∠DOE=∠OFD，
∵∠AOD+∠DOE+∠OFD=90°，
∴，
∴，
∴，，
∴.
【点睛】本题考查了切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理，角平分线的判定，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
22.某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元）的三组对应值如下表：
售价（元/件）50 60 80
周销售量（件）100 80 40
周销售利润（元）1000 1600 1600
注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）
（1）①求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
②该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元（2）由于某种原因，该商品进价提高了元/件，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求的值
【答案】（1）①与的函数关系式是；②40，70，1800；（2）5.
【分析】
(1)①设与的函数关系式为，根据表格中的数据利用待定系数法进行求解即可；
②设进价为a元，根据利润=售价-进价，列方程可求得a的值，根据“周销售利润＝周销售量×(售价－进价)”可得w关于x的二次函数，利用二次函数的性质进行求解即可得；
(2)根据“周销售利润＝周销售量×(售价－进价)”可得，进而利用二次函数的性质进行求解即可.
【详解】(1)①设与的函数关系式为，将(50，100)，(60，80)分别代入得，
，解得，，，
∴与的函数关系式是；
②设进价为a元，由售价50元时，周销售是为100件，周销售利润为1000元，得
100(50-a)=1000，
解得：a=40，
依题意有，
=
=
∵，
∴当x=70时，w有最大值为1800，
即售价为70元/件时，周销售利润最大，最大为1800元，
故答案为：40，70，1800；
(2)依题意有，
∵，∴对称轴，
∵，∴抛物线开口向下，
∵，∴随的增大而增大，
∴当时，∴有最大值，
∴，
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准各量间的关系正确列出函数解析式是解题的关键.
23.在中，，，是上一点，连接
（1）如图1，若，是延长线上一点，与垂直，求证：
（2）过点作，为垂足，连接并延长交于点.
①如图2，若，求证：
②如图3，若是的中点，直接写出的值（用含的式子表示）
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②
【分析】
(1)延长交于点，证明即可得；
(2)①过点作交的延长线于点，由(1)，得，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结