天津市大学数学竞赛历年试题及答案

天津市大学数学竞赛历年试题及答案（1）

(人文学科及医学等类)

一、填空：（请将最终结果填在相应的横线上面。）

1．

.

2．

3．= .

4．

5．

切线方程为 .

1．3 2. -1/ln2 3.2e 2

4.

5．

二、选择题：（每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1．设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是( A ).

(A)； (B)

；

(C)

； (D)

.

2. D

3. B

4. B

5. C 解：令

[][][])

()()()()()()(,)()()(0

0u d u f u f u dt

t f t f t x F dt t f t f t x F x

x x

-+--=

-+

=--+

=

?

??-

2．设函数)(x f 具有一阶导数，下述结论正确的是( D )。 (A)若)(x f 只有一个零点，则)('

x f 必至少有两个零点；反例：y=2x (B) 若)('

x f 至少有一个零点，则)(x f 必至少有两个零点；反例：y=x 2

(C) 若)(x f 没有零点，则)('

x f 至少有一个零点；反例：y=2+sinx (D) 若)('

x f 没有零点，则)(x f 至多有一个零点。 罗尔定理

3. 设)(x f 是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf ' （x ）-f （x ）>0恒成立，若a>b>0，则必有

(A) af(a)

(C) af(b)

3．设非负函数)(x f 在区间(0,+∞)具有二阶导数，满足

,0,0)(,0)0(''b a x f f <<<=又则当

,b x a <<时恒有( B ).

(A) )()(a xf x af >； (B) )()(b xf x bf >； (C) )()(b bf x xf >； (D) )()(a af x xf >。 又()()()(),x ,0ξf f x f x f '<''<''是严格减少函数，故

4．函数

( B ).

(A) –π/2； (B) 0； (C) 1； (D) π/2。

非第一类间断点即为第二类间断点(discontinuity point of the second kind)

1lim e e e e lim 2121

x 1x 10=--=???? ??-?

?

??

??+=→→x

e x e x x x x ，x =0为第一类间断点

5．设函数)(x f 具有一阶导数，)0())(,(000≠x x f x 是曲线)(x f y =的拐点，则( C ).

(A) 0x 必是)('

x f 的驻点； 考虑函数 2

x e y -=

(B) ))(,(00x f x --- 必是)(x f y -=的拐点；考虑函数 ()3

1-=x y

(C) ))(,(00x f x -必是)(x f y -=的拐点；可结合图形考虑, 如()3

1-=x y

(D)对任意0x x <与0x x >， )(x f y =的凹凸性相反。凹凸性仅在x0的某个领域内考虑 三、

四、已知曲线)(x f y =与曲线

在点(0,0)处具有相同的切线,

写出该切线方程,并求极限

五、设函数)(x f 在区间(0,+∞)内有定义，且对任意x,y ∈(0,+∞)都有)()()(y f x f xy f +=，又)1('

f 存在且

等于a ，试讨论)(x f 在任意

x ∈(0,+∞)时的可导性，并求)('x f 。

六、设)3()

0(,2sin )()

(2

≥=n f

x x x f n 求

七、设当10<≤x 时，),1()(2

x x x f -=且),()1(x af x f =+试确定常数a 的值，使)(x f 在0=x 点处可导，

并求此导数。 八、求抛物线弧段)0(,>=+

a a y x 上一点),(ηξ，

使此点的切线与抛物线及两坐标轴所围成图形面积最小，并求此最小面积值。

九、设函数)(x f 连续，且当1->x 时，,)

1(2]1)()[(2

x xe dt t f x f x

x

+=+?

求)(x f 。 十、证明：?

=∞→2

n .0)cos(lim

2

dx nx e x

十一、证明：当2>x 时，.02)2(22

2<+----e xe e

x x x

天津市大学数学竞赛历年试题（1）

（人文学科及医学等类）

一、填空：

1．3 2. -1/ln2 3.2e 2

4. 5．

二、选择题：

1. A

2. D

3. B

4. B

5. C

三、 由积分中值定理有

于是

四、由已知,显然有,0)0(=f 且在点(0，0)处

因此，所求切线方程为y =x 。

五、 命：1=y ，则由)()()(y f x f xy f += 得0)1(=f 。

故当0>x 时，有

六、利用牛顿—莱布尼兹公式：

设,2sin ,2

x v x u == 注意到);3(0,2,2)

('

''

≥===j u

u x u j

故

),

2

)2(2sin(222)1()2

)1(2sin(2)22sin(2)2sin (22)(2πππ-+-+-+++

=-n x n n n x x n n x x x x n n n n 于是有

七、首先写出)(x f 在0

01-<≤x 时，110<+≤x 。由)()1(x af x f =+知，

)2)(1(1-])1(1)[1(1)1(1)(2++=+-+=+=

x x x a

x x a x f a x f 故有

显然，)(x f 在点0=x 处连续，且0)0(=f ，

因)(x f 在0=x 点处可导的冲要条件为：)0()0('

'

+-=f f ，

即 .1)0(,2,12

'=-==-

f a a

且 八、过抛物线上的点),(ηξ的切线方程为：).(ξξ

ηη--

=-x y

当0=x 时，切线在y 轴上的截距为：;0ηa y = 当0=y 时，切线在x 轴上的截距为：.0ξa x =

为求题目所述面积最小，只需求上述切线与二坐标轴所围直角三角形面积最大，而此三角形面积

),(2

)(2221S ξξξξξηηξ-=-===

a a a a a a a 故设,)(ξξξ-=a f 命：,4

,2,2,012)('a

a a a f ====

=-=

ηξηξξ

ξ即得 是)(ξf 的唯一驻点，从而也是唯一最大值点，即过点)4

,4(

a

a 的切线与抛物线及两坐标轴所围成图形面积最小，其最小面积为 .24

8)2(S 2

20

a a dx ax x a a

=--+=

?

九、命?

+=

x

dt t f x F 0

1)()(，则)()('x f x F =，故原等式左端为2

)

1(2)()('x xe x F x F x

+=，即[

]

2

'

2

)1()(x xe x F x

+=

， 对上式两边积分得??

?

?++=+-+++=+-+=C x

e

dx x e x e dx x e dx

x e dx x

e x F x

x

x

x

x

x

1111)1(1)(22

注意到:1)0(=F ，故0=C 。

即?+=

+=1)(1)(dx x f x

e x F x

，

两边求导，得

2

32

'

)1(21)(x xe x e x f x

x

+=???? ??+= . 十、利用分部积分公式，有

由此可见

n

e n e dx nx e

x 4

42

4)cos(2

+≤?

，由夹逼定理即得所证。

十一、 设)2(,2)2()(22

2

->+--=--x e xe e x x x x ?，

02242)2()22()2(222222

22=++-=+----=--------e e e e e e

?，

)(2

2)(2

22

2'

x x x x xe e e

x e

x +--+=--?。

又设：u

u

ue e u f +=)(，则)(22)('

x f x f x -??

?

??-=?。 由拉格朗日中值定理知，存在??? ??-∈x x ,22ξ，使22)(22)()('''+-=??

?

??--=x f x x f x ξξ?， 而)2()('

ξξξ

+=e f ，又02

2

2222>+=+->

+x x ξ，故0)('>ξf 。从而，当2>x 时， 02

2

)

()(''<+-=x f x ξ?， 即)(x ?单调减少，从而0)(