马克维茨投资理论浅析

马克维茨投资理论浅析 Prepared on 24 November 2020

马克维茨投资理论浅析

数学与应用数学（金融数学） 陆文康 摘 要： 马克维茨投资祝贺理论是现代投资组合理论的开端，标志着投资组合理论1952年马 关键词：马克维茨； 投资组合理论 一、马克维茨投资组合理论 马克维茨在1952年发表的《投资组合选择理论》打破了投资组合理论中只有定性-方差模型。

R 表示证券i 在某一观测期的收益率，则(R )i E 与Var(R )i

为该证券的平时收益率的

(R )i E 与Var(R )i

表示为：

同时，我们知道投资组合理论就是要将资金分配到不同的证券以减少风险所以除了 同证券之间的协方差i 与另一证券j 的收益率之间的协方差为Cov(R ,R )i j ，则协方差可表示

当选定n 支股票；并对其进行投资，假定这n 支股票的投资比例是

12(x ,x ,

,x )n X ，该投资组合为p ，期望收益率p E 与收益率方差2

p σ可以表示为：

在用某一时间内的收益率均值以及方程对实际的收益期望以及风险程度进行定量描述后，马克维茨设立了几点假设：

（1）投资者都是理性的，也就是说他们都是尽量回避风险并且追逐利益。 （2）投资组合的确定与证券的收益与风险之外的因素无关。 （3）期望收益率的方差代表了证券的风险性。 （4）收益率的分布服从正态分布。

马克维茨其余以上假设，建立了资产配置的均值-方差模型，模型有两种，一是在收益率确定的情况下追求风险最小，二是在风险一定的情况下最求收益率最大，两种模型的表述如下：

0σ为事先确定的风险程度 0E 为事先确定的收益

均值-方差模型的求解本质上是一个二次规划问题的求解，但是如果证券的数量增多，计算量将会非常之大，这也是为什么投资组合理论长期以来经常被实际的投资者所冷落，因为对于个人投资者，选择证券较小的情况下还能够计算竟是十分复杂的，目前已经有一些软件进行相关的计算，但是在多个行业进行证券跟踪仍然是比较艰难的，下文将对中国股票市场中选择6支股票进行分析。

二、中国股票市场的实例分析

1、由下表，可知①出各股票的方差，②对A 、B 进行等权重投资时组合P 的p β非

系统风险(e )p Var 和总风险2

p σ；③当C 加入组合P 中，对A 、B 、C 实行等额投资是，新的组合'P 的'p β、非系统性风险'(e )p Var 和总风险'2p σ；④组合P 和'P 的风险变化。

①由公式()i i i e 22

22σσβσ+=M

得： ②对A 、B 等权重投资时组合p 的

由公式()()()i n

i i n i i

e n e 22

12

12

p 2

1e σσχσ∑∑==??

?

??==得：

由公式()222

2p p M p e σβσσ=+得：

③因为ABC 是等比例投资的， 同理可求：

④由2,3问答案知道当C 加入AB 的组合，总的风险较小了，可当资产进行等额投资时，投资的资产种类越多，组合的风险越小。并且由（2）和（3）比较可以看出等额投资时增加投资项目只能降低非系统风险，不能够降低系统风险。

2、利用相关股票软件，在2012年7月至2014年2月的股价图中随机取得5支股票的月收益率，从而计算了他们的平均收益率，5支股票分别是：美的集团、东北制药、四海股份、华星创业、金龙机电。利用SAS 表计算出他们的协方差矩阵,如图所示：

协方差矩阵为对称矩阵，且对角线元素都是1，利用已经计算好的协方差矩阵可以对均值-方差模型进行计算，利用Lingo软件可以对二次规划问题进行求解，如果假设收益率达到，在确定收益率的情况下，要求方差最小，求得最优解的结果为：如果风险情况已知，在不招过风险所规定的方程的条件下同理可求得收益率最大的最优解。每个投资者都可以根据自己所能承担的风险程度或者个人的收益率期望来选者最适合的投资组合比例。

三、总结

利用马克为茨的均值-方差模型，投资者在已经选定的若干证券的收益率均值已知的情况下，可以计算出证券的协方差矩阵，然后利用Lingo软件可以对均值方差模型的最优解进行计算求解，因此在小型投资以及较少数量的证券选择上投资组合理论是由其非常重要的使用价值的。

参考文献：

[1]盛骤等.概率论与数理统计（第四版）[M].高等教育出版社.2008：90-110

[2]哈利.M.马克维茨.资产组合选择和资本市场均值[M]：方差分析.上海人民出版社。2006.

[3]汪昌云类承曜谭松涛投资学（第二版)[M]中国人民大学出版社