线性代数第六章二次型试题及答案

第六章 二次型

一、基本概念

n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为

f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12

+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22

+2a 23x 1x 3+

…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2

=2

12n

ii i

ij i j i i j

a x a x x =≠+∑∑.

它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A

?

???

?

?? ????????? ??==∑∑==n nn n n n n n n i n

j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 212

1222

21112112111

21),,(),,( 记[]T

x x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X T

AX

称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.

注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T

=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，

也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。

实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限

定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.

标准二次型 只含平方项的二次型，即形如222

221

1n n x d x d x d f +++=

称为二次型的标准型。

规范二次型 形如2

21221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只

1，-1，0，称为二次型的规范型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系

对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数

??

????

?+++=+++=+++=n

nn n n n n

n n

n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵

c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …

c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可

逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =

Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===

记AC C B T =，则B B T

=，从而BY Y f T

=。

由AC C B T

=知，两个n 阶对称矩阵A 与B 合同且r(A)=r(B)

定理1：二次型AX X f T

=经可逆线性变换CY X =后，变成新的二次型

BY Y f T =，它的矩阵AC C B T =且)()(B r A r =

定理2：两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的矩阵合同.

三、正交变换化二次型为标准型

定理3：对实二次型AX X f T

=，其中A A T =，总有正交变换QY X =，使222

221

1)(n

n T

T

T

T

y y y Y Y Y AQ Q Y AX X f λλλ ++=Λ===

其中 ?????

?

???

?

?

?=Λn λλλ

2

1

，λ为f 的矩阵A 的特征值。

因为Q 是正交矩阵，则AQ Q AQ Q B T

1

-==，即经过二次型变换，二次型矩阵不仅合同而且相似。

将二次型f 用正交变换化为标准形的一般步骤为： （1）写出二次型f 的矩阵A

（2）求出A 的全部相异特征值m λλλ ,,21，对每一个特征值求出其线性无关的特征向量，并利用施密特正交化方法将其正交单位化，将上面两两正交的单位向量作为列向量，排成一个n 阶方阵Q ，则Q 为正交阵且Λ==-AQ Q AQ Q T

1

为对

角阵。（3）作正交变换QY X =，即可将二次型化为只含平方项的标准型

四、配方法(略,见例). 五、惯性定理和惯性指数

定理4：若二次型AX X f T

=经过可逆线性变换化为标准形，则标准型中所

含平方项的个数等于二次型的秩。

定理5：一个二次型所化得的标准二次型虽然不是唯一的,但是它们的平方项

的系数中,正的个数和负的个数是确定的,把这两个数分别称为原二次型的正惯性指数和负惯性指数，这个定理称为惯性定理

一个二次型所化得的规范二次型221221q p p p x x x x ++--+ 在形式上是唯一

的,称为其规范形，其中的自然数p,q 就是原二次型的正,负惯性指数。

性质1：两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的正,负惯性指数都相等.(即两个实对称矩阵合同的充分必要条件为它们的正,负

惯性指数都相等.)

性质2：由正交变换法看出, 实对称矩阵A 的正(负)惯性指数就是它的正(负)特征值的个数.

六、正定二次型和正定矩阵

定义1：如果当x 1,x 2,…,x n 不全为0时,有f(x 1,x 2,…,x n )>0，称二次型f(x 1,x 2,…,x n )称为正定二次型

如果实对称矩阵A 所决定的二次型正定,则称A 为正定矩阵, 于是A 为正定矩阵也就是满足性质:当X

0时,一定有X T

AX >0，且A 一定是是对称矩阵。

二次型的正定性是在可逆线性变量替换中保持不变的. 即实对称矩阵的正定性在合同变换时保持不变.

(2)性质与判断

实对称矩阵A 正定合同于单位矩阵. 即存在可逆矩阵Q 使T

Q AQ E =，或者存

在可逆矩阵P ，使得A EP P T =

对任意可逆矩阵C ，AC C T

正定（即合同的矩阵，有相同的正定性）。

A 的正惯性指数等于其阶数n. A 的特征值都是正数. A 的顺序主子式全大于0.

顺序主子式:一个n 阶矩阵有n 个顺序主子式,第r 个(或称r 阶)顺序主子式即

A 的左上角的r 阶矩阵A r 的行列式|A r |.

判断正定性的常用方法: 顺序主子式法,特征值法,定义法.

?=0A A 不可逆

?n A r )( ?Ax=0有非零解 ?0是A 的特征值

?A 的列（行）向量组线性相关

A 是n 阶可逆矩阵：

?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =只有零解；

?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价；

?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；

?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵；

β可由α1，α2,…，αn 惟一线性表示

β=x 1a 1+x 2α2+…+x n αn

?Ax =β有惟一解x =(x 1,x 2,…,x n )T ,

A =(α1, α2,…, αn )

?r (A )=r (

A β)=n ?|A |≠0 ?Ax =0只有零解 ?λ=0不是A 的特征值

AB =0?A (b 1,b 2,…, b s )=0, B =( b 1, b 2,…, b s )

?Ab j =0, j =1,2,…,s

?b 1,b 2,…,b s 均为Ax =0的解(?r (A )+r (B )≤n )

?若b j ≠0且A 为n 阶方阵时，b j 为对应特征值λj =0的特征向量 ?A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关。

AB =C ?A (b 1, b 2,…, b r )=(C 1, C 2,…, C r )

?Ab j =C j ,j =1,2,…,r

?b j 为Ax =C j 的解.

?C 1, C 2,…, C r 可由A 的列向量组α1, α2,…, αs 线性表示.

[?r (C )=r (AB )≤r (A )或r (B )]

?C 的行向量组可由B 的行向量组线性表示。

例 题

一、概念型题

1.写出二次型32312

221321622),,(x x x x x x x x x x f -++=的矩阵

??

????????--=?????????

?=0313********

31332221

2312

121x x x x x x x x x x x x x x x A 2题答案：?

?

???

?

?????

?0000

0310********

2.二次型32212

3222143212432),,,(x x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵是______。

3.矩阵????

??????--=31412242

1A 对应的二次型是______。

答案：32312123

222128432x x x x x x x x x -++++.

4.已知二次型32312132

22

2

1

321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换x=Py 可化成标准型216y f =，则a = 解：

??

??

?

?????=a a a A 60063=++=a

5.已知二次型3231212

322212225x bx x x x ax x x x Ax x T ++++-=的秩为2，

（2，1，2）T

是A 的特征向量，那么经正交变换后二次型的标准型是 解：二次型对应的矩阵A 为：

()

????

?

?????--+-→??????????-=00

5011

115112

a b a b a a b b a a A ()b a A r =?=2

因为（2，1，2）T

是A 的特征向量，所以????

?

?????=????????????????????-21221211511λa a a a ，2

,3==a λ

()()?=-+=-036λλλλE A 6,3,0321-===λλλ，22

2163y y f -= 二、化二次型为标准型

1.用配方法将下列二次型化为标准形，并判断正、负惯性指数的个数，然后写出其规范形。

（1）3231212

32221321222),,(x x x x x x x x x x x x f -++-+=

解：先集中含有x 1的项，凑成一个完全平方，再集中含有x 2的项，凑成完全平方

322

3223121213212)22(),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=

=()322

3223223222

32122x x x x x x x x x x x --+---++

()()2

22

322

32122x x x x x x ++-++=

设?????-==-=??????==+=++32332211322321321y y x y x y y x y x y x x y x x x ，????

????????????????--=??????????321321110100011y y y x x x ，Qy x = 标准型：2

3222122y y y f +-=，正惯性指数：2=p ，负惯性指数：1=q

规范性：2

32221z z z f +-=

(2) f(x 1,x 2,x 3)= x 12+2x 22

+2x 1x 2-2x 1x 3+2x 2x 3.

解：f(x 1,x 2,x 3)= （x 12

+2x 1x 2-2x 1x 3）+2x 22

+2x 2x 3=()()2

32

322

32152x x x x x x -++-+

设??

???==+=-+332

321

3212y x y x x y x x x ，Cy x =，标准型：2

322215y y y f -+= 正惯性指数：2=p ，负惯性指数：1=q ，规范性：232221z z z f -+=

(3) f(x 1,x 2,x 3)= -2x 1x 2+2x 1x 3+2x 2x 3.

解：像这种不含平方项的二次型，应先做线性变换：

?????=+=-=332122

11y x y y x y y x ，Cy X =，????

??????-=100011011C ，()2

3

22231222y y y y f ++--= 设：3322311,,y z y z y y z ==-= ，

z z C y ??

??

?

?????==1000101012 标准型：232221222z z z f ++-=，规范性：2

32221z z z f ++-=

2.设二次型f(x 1,x 2,x 3)=X T AX =ax 12+2x 22-2x 32

+2bx 1x 3,(b>0)，其中A 的特征值之和 为1, 特征值之积为-12.(1) 求a,b.(2) 用正交变换化f(x 1,x 2,x 3)为标准型。

解：二次型的矩阵：??

??

?

?????-=200200b b a A ，因为122=-+a ， 212242-=?-=--=b b a A

（2）()

()3,20323212

-===?=+-=-λλλλλλE A

()T 0,1,02

11==αλ ()T 1,0,22=α ()T 2,0,1333-=-=αλ

因为它们已经两两正交，所以只需要单位化。

()()()T T

T

2,0,15

11,0,25

110,0321-=

=

=ηηη

()321,,ηηη=Q 2332222111y y y AQ Q AQ Q T λλλ++==-

3.已知二次型f(x 1,x 2,x 3)=(1-a)x 12+(1-a)x 22+2x 32

+2(1+a)x 1x 2的秩为2.

(1)求a.(2)求作正交变换X =QY ,把f(x 1,x 2,x 3)化为标准形. (3)求方程f(x 1,x 2,x 3)=0的解.

解：本题综合考查了特征值、特征向量、化二次型为标准型以及方程组求解等多个知识点，特别是第三部分比较新颖。

二次型的矩阵A 为：????

?

?????-++-=200011011a a a a A ， 020*******=-++-=a a a a A 得a=0

这里????

?

?????=200011011A ， 可求出其特征值为0,2321===λλλ

解 0)2(=-x A E ，得特征向量为：()()1,0,0,0,1,121==αα 解 0)0(=-x A E ，得特征向量为：()0,1,13-=α 由于21,αα3α已经正交，直接将21,αα，3α单位化，得：

()()()0,1,12

1,1,0,0,0,1,12

1321-=

==

ηηη

令[]321ααα=Q ，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy ，

可化原二次型为标准形：),,(321x x x f =.222

221y y +

（III ） 由),,(321x x x f ==+2

22122y y 0，得k y y y ===321,0,0（k 为任意常

数）.

从而所求解为：x=Qy=[]????

?

?????-==??????????000332

1c c k k ηηηη，其中c 为任意常数。 4. 设二次型()()222

1231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-

（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；

（Ⅱ）若二次型f 的规范形为22

12y y +，求a 的值。

Ⅱ） 若规范形为22

12y y +，说明有两个特征值为正，一个为0。则

若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合

若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意 综上所述，故2a =

5. 已知向量T )0 ,1 ,1(-=α是二次型

3231212

321321222),,(x bx x x x x x ax Ax x x x x f T ++-+==的矩阵A 的特征向量，求正交变

换化该二次型为标准型。

解:????

?

??--=110111b b a A ，又因为T )0 ,1 ,1(-=α是A 的特征向量，

∴设α所对应的特征值为λ，有

λαα=A 。

即?

??

?

?

??-=????? ??-????? ??--011011110111λb b a ，????? ??-=????? ??--+∴0111λλb a ， 即?????=--=-=+0111b a λλ 。 ??

???===∴101

b a λ，则

????? ??--=111101110A 。 计算A 的特征多项式)3)(1(2--=-λλλA E ，则A 的特征值为11=λ，32=λ，33-=λ，其基础解系为T )31 ,1 ,1(+=βT )31 ,1 ,1(-=γ。

因为γβα、、已经正交，所以只需要把它们单位化。

令T

P ???

?

??=γγββαα,

,??????????

? ?

?

--++-+-

-+=3

26313

2631032613261213261326121， 则P 为正交矩阵，作正交变换py x =，得

)()(py A py Ax x f T T ==y Ap p y T T )(==23222133y y y -+。

6.

解：

3412=?+=+a a

101013011

11113112=???

??

??????---→??????????=b b b b b b b A

，

因为3个向量已经正交，只需要将其

单位化

三、关于正定的判断

1.判断3元二次型32212

32221445x x x x x x x f -+++=的正定性

解：

??

??

??????--=12025202

1A ，用顺序主子式判断大于0，所以是正定的。 2.当____时, 实二次型3231212

322213214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=是正定的.

解： ????

??????--=5212111t t A , 01112>-=t t t , 所以 1||

且 0545

2

12111

2>--=--t t t t , 05

4

,0452

<<-

<+t t t 所以, 当 05

4<<-t 时, 二次型是正定的.

3.设n 阶实对称矩阵A 特征值分别为1, 2, …, n , 则当t ___时, A tE -是正定的.

解：A tE -的特征值为n t t t ---,,2,1 . 若A tE -是正定的, 则

0,,02,01>->->-n t t t

4.设A 是3阶实对称矩阵，满足022

=+A A ，并且r(A )=2.

(1) 求A 的特征值.（2）当实数k 满足什么条件时E kA +正定 解：()2,002022

-==?=+?=+λλA A A A

因为(),2=A r 所以特征值为0，-2，-2 (2) E kA +的特征值为1,1-2k,2

1021<

?>-k k 5. 2

3212322321321)3()32()2(),,(ax x x x x x ax x x x x f +++++-+=

已知上述二次型正定，则a 的取值为

解：),,,(321x x x f 当321,,x x x 不全为0时，二次型正定。 02321=-+x ax x ，03232=+x x ，03321=++ax x x

若321,,x x x 同时全为0，即齐次线性方程组只有0解，此时1,0≠≠a A 即1=a 时，三个平方项不全为0，二次型正定。

6.

解：由已知可得，对于任意的n x x x 21,，有

()0,21≥n x x x f ，其中等号仅当以下等式同时为0时成立，

此方程组仅有0解的充要条件是其系数行列式不为0，

()0,21≥n x x x f

7.已知A 是n 阶可逆矩阵，证明A A T 是对称、正定矩阵。 证明：()

A A A

A T T

T =，所以A A T 是对称矩阵。

若A A T 正定，则A A T =EA A T ，所以A A T 与E 合同 合同矩阵有相同的正负惯性指数，所以A A T 是正定矩阵。

（2）因为A 是可逆矩阵，所以0≠A ，0=Ax ，当0≠A 时，只有0解。 所以00≠?≠x Ax ，()()()()0>?==Ax Ax Ax Ax x A A x T

T

T

所以A A T

正定。

8.设A 为m 阶实对称矩阵且正定，B 为n m ?实矩阵，T

B 为B 的转置矩阵，

试证：AB B T

为正定矩阵的充分必要条件是()n B r =。

证明：必要性，设AB B T

为正定矩阵，对任意的实n 维列向量0≠x ，

()

()()000≠?>?>Bx Bx A Bx x AB B x T

T T ，即0=Bx 只有0解，()n B r =

充分性，()

AB B B A B AB B T T T T

T ==，AB B T 为实对称矩阵，()n B r =，所以

0=Bx 只有0解，对任意0≠x ，0≠Bx ，又因为A 为正对称矩阵，所以

0≠Bx ，()()0>Bx A Bx T

，()()()0>=x AB B x Bx A Bx T T T

，0≠x ，

所以AB B T

为正定矩阵。

9.设A 为n m ?实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵A A E B T

+=λ， 试证：当0>λ时，矩阵B 为正定矩阵。

证明：B A A E A A E B T

T

T

T

=+=+=λλ)(，所以A 为n 阶实对称矩阵 对于任意的实n 维向量x ，(

)

Ax A x x x x A A E x Bx x T

T T T

T

T

+=+=λλ

()()Ax Ax x x T

T +=λ，当0≠x 时，0>x x T ，()()0≥Ax Ax T

，

当0>λ时，任意的0≠x ，有()

()0>+=Ax Ax x x Bx x T

T

T λ，

所以B 为正定矩阵。

矩阵的合同、相似、等价都有自反性，对称性，传递性。

矩阵A 与B 等价记作：A B =

?A 经过有限次初等变换化为B ，即A 与B 是同型矩阵 ?)()(B r A r =?存在可逆矩阵P 与Q ，使得PBQ A = A 与B 合同 ，记为A ≌B

?存在n 阶可逆阵P 使得B AP P T =，即A 与B 都是方阵 ?Ax x T 与Bx x T 的正、负惯性指数相等. ?()()r A r B = ?合同的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定合同 矩阵A 与B 相似，记作A ∽B ，

?存在n 阶可逆矩阵P 使P 1AP B ，即A 与B 都是方阵?()()r A r B = ?相似的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定相似。

?相似的实对称矩阵一定合同，但合同的对称矩阵不一定相似。

因为实对称矩阵的正(负)惯性指数就是它的正(负)特征值的个数，相似的矩阵有相同的特征值，所以相似的实对称矩阵有相同的正,负惯性指数，所以相似的实对称矩阵一定合同。

对任意实对称矩阵A 都存在正交矩阵P ，使Λ==-AP P AP P T 1，即任意实对称矩阵都和对角阵即相似又合同。

若矩阵不是实对称矩阵，相似的矩阵不一定合同，合同的矩阵也不一定相似。

相似的矩阵一定有相等的特征值，但是特征值相等的矩阵不一定等价。 特征值相同的实对称矩阵A 和B 一定相似，因为实对称矩阵都能相 似对角化，特征值相同的实对称矩阵相似于同一个对角阵，根据相似的传递性，A 和B 一定相似。

特征值相同的普通矩阵A 和B 可能相似，也可能不相似。 若A 和B 都能相似对角化，一定相似。

若一个能对角化，一个不能对角化，一定不相似。 若都不能对角化，可能相似，也可能相似。 例题：已知矩阵A 和B ，判断能否相似，

??

??

?

?????---=063010162A ??????????--=300032121B

A 和

B 有相同的特征值，A 能对角化，B 不能对角化，所以A 和B 不相似。

??????????------=786675161613A ??

??

?

?????-=300010011B ??????????---=112111234P AP P B 1-= A 和B 有相同的特征值，都不能相似对角化，但是A 和B 相似。

1.设??????=21A ，B=?

?

?

???43，判断A 与B 是否等价、相似、合同。 2. 1 1 1 1 4 0 0 0

A = 1 1 1 1 ,

B = 0 0 0 0 , 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 判断A 与B 是否等价、相似、合同。

解：根据指示点，两个实对称矩阵若相似，则必合同，又r (A )=1，其特征值为，显然A 、B 为实对称矩阵，且A ~B ，于是A 与B 也合同。

当A 、B 为实对称矩阵时，若A ~B ，则A 、B 有相同的特征值?x T

Ax 与x T

Bx 有

相同的正负惯性指数?A 与B 合同.但若A 、B 为非对称矩阵，则A 与B 不合同（合同矩阵必为对称矩阵）. 3.已知A=????????

??444

，B=??????????000140014，C=??

??

?

?????200022022，试判断A ，B ，C 中那些矩阵相似，那些矩阵合同。

4.设矩阵???

?? ??------=211121112A , ??

??

?

??=000010001B , 则A 与B

(A)合同, 且相似.(B) 合同, 但不相似 (C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似

解：0,30321===?=-λλλλE A ，特征值不同，不相似，但是有相同的正负惯性指数。 5.设1221A ??

=

???

则在实数域上与A 合同矩阵为（ ） ()A 2

11

2-??

?-??

. ()B 2112-??

?

-??

. ()C 2112??

???

. ()D 1

221-??

?

-??

解：D 有相同的正负惯性指数。