陕西省西安市蓝田县2020-2021学年高二下学期期末数学(文)试题

陕西省西安市蓝田县2020-2021学年高二下学期期末数学（文）

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数86z =+i ，则||z =（ ） A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

2．如图是“向量的线性运算”知识结构，如果要加入“三角形法则”和“平行四边形法则”，应该放在（ ）

A ．“向量的加减法”中“运算法则”的下位

B ．“向量的加减法”中“运算律”的下位

C ．“向量的数乘”中“运算法则”的下位

D ．“向量的数乘”中“运算律”的下位 3．在一组样本数据()()()(112212,,,,,,2,,,

,n n n x y x y x y n x x x ≥不全相等)的散点

图中，若所有样本点(),(1,2,,)i i x y i n =都在直线31y =x+上，则这组样本数据的样本

相关系数为（ ） A ．3

B ．0

C ．1-

D ．1

4．用反证法证明“,20x x ?∈>R ”时，应假设（ ） A ．0

0,2

0x x ?∈≤R

B ．0

0,20x x ?∈

D ．0

0,2

0x x ?∈>R

5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ）

A ．1-

B ．2

C ．0

D ．无法判断

6．抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是（ ）

A ．“两次得到的点数和是12”

B ．“第二次得到6点”

C ．“第二次的点数不超过3点”

D ．“第二次的点数是奇数”

7．记I 为虚数集,设,,,a b R x y I ∈∈,则下列类比所得的结论正确的是（ ） A ．由a b R ?∈,类比得x y I ?∈

B ．由222()2a b a ab b +=++,类比得222()2x y x xy y +=++

C ．由20a ≥,类比得20x ≥

D ．由0a b a b +>?>-,类比得0x y x y +>?>-

8．周末，某高校一学生宿舍有甲乙丙丁四位同学分别在做不同的四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断： ①甲不在看书，也不在写信； ②乙不在写信，也不在听音乐； ③如果甲不在听音乐，那么丁也不在写信； ④丙不在看书，也不在写信. 已知这些判断都是正确的，依据以上判断，乙同学正在做的事情是（ ） A ．玩游戏

B ．写信

C ．听音乐

D ．看书

9．将点M 的极坐标1,

3π??

???

化成直角坐标为（ ）

A ．1,? ??

B ．(1,-

C ．12?

??

D ．

10．在极坐标系中，方程sin ρθ=表示的曲线是（ ） A ．直线

B ．圆

C ．椭圆

D ．双曲线

11．将曲线sin 2y x =按照伸缩变换23x x

y y '=??'=?

后得到的曲线方程为（ ）

A ．3sin 2y x =''

B ．3sin y x =''

C ．1

3sin

2

y x ='' D ．1

sin 23

y x '=

' 12．若22,

3

P π??

??

?

是极坐标系中的一点，则8552,,2,

,2,,2,3333Q R M N ππππ?

????

??

?

---- ? ?

?

??

????

??

?

四个点中与点P 重合的点有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

13．不等式|3|1x+<的解集是（ ） A ．{| 2 }x x >- B ．{|4}x x <-

C ．{|4 2 }x

D ．{| 4 x x <-或2}x >-

14．若0n >，则9

n n

+的最小值为（ ） A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

15．若0a

A ．|a|>b -

B ．

1a b

< C <

D ．

11a b

< 16．设,x y ∈R ，且0xy ≠，则2

22241x y y x ????+

+ ?????

??的最小值为（ ） A ．9- B ．9

C ．10

D ．0

二、填空题

17．设i 为虚数单位，若23(,)ai b i a b R +=-∈，则a+bi =________． 18．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率是2

5

，既刮风又下雨的概率为

1

10

，设A 为下雨，B 为刮风，那么(|)P B A 等于__________． 19．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出S 的值为__________．

20．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是__________． 21．若关于x 的不等式24x x a -++<的解集是空集，则实数a 的取值范围是__________.

三、解答题 22．已知复数1()2i

a

z a =

+∈+R . （I ）若z ∈R ，求复数z ；

（II ）若复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，求a 的取值范围. 23．如图（A ），（B ），（C ），（D ）为四个平面图形:

（A ）（B ）（C ）（D ）

（I ）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将列联表补充完整；

（II ）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为,,E F G ，试猜想

,,E F G 间的数量关系（不要求证明）.

24．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究.研究结果表明：在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心，另外15人比较粗心；在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心，另外30人比较粗心.

（I ）试根据上述数据完成22?列联表：

（II ）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系？

参考公式：22

()()()()(

)

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.

25．某地区2021年至2021年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：

（I ）求y 关于x 的线性回归方程；

（II ）利用（I ）中所求的线性回归方程，分析该地区2021年至2021年农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入.

参考公式：()()

()

1

2

1

???,n

i

i

i n

i i x x y y b

a

y bx x x ==--==--∑∑.

26．已知直线l

的参数方程为112x t y ?=+?

??=?

（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的

正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C

的极坐标方程为2sin cos 0θθ=. （I ）求曲线C 的直角坐标方程； （II ）求直线l 与曲线C 交点的直角坐标.

27．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y α

α

=??

=?（α为参数）.在以

坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为

cos sin 4ρθρθ+=.

（I ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （II ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值. 28．已知函数()f x =|x a |-.

（I ）当1a =时，求不等式()2f x ≥的解集；

（II ）若不等式()3f x ≤的解集为{|15}x x -≤≤，求实数a 的值. 29．已知函数()3f x x x =+-. (1)解关于x 的不等式()5f x x -≥；

(2)设m ，(){|}n y y f x ∈=，试比较4mn +与()2m n +的大小.

参考答案

1．D

【分析】

根据复数的模长公式进行计算即可．

【详解】

z＝8+6i，则z=8﹣6i，则|z|==10，

故选D．

【点睛】

本题主要考查复数的模长的计算，根据条件求出z是解决本题的关键．

2．A

【分析】

由“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，由此易得出正确选项．【详解】

因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，

故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位．

故选A．

【点睛】

本题考查知识结构图，向量的加减法的运算法则，知识结构图比较直观地描述了知识之间的关联，解题的关键是理解知识结构图的作用及知识之间的上下位关系．

3．D

【分析】

根据回归直线方程可得相关系数．

【详解】

y=x+

根据回归直线方程是31

可得这两个变量是正相关，故这组样本数据的样本相关系数为正值，

且所有样本点（x i，y i）（i＝1，2，…，n）都在直线上，则有|r|＝1，

∴相关系数r＝1．

故选D．

【点睛】

本题考查了由回归直线方程求相关系数，熟练掌握回归直线方程的回归系数的含义是解题的关键．

4．A

【分析】

根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即可得出正确选项．

【详解】

根据反证法的步骤，假设是对原命题的否定，P（x0）成立的否定是使得P（x0）不成立，即用反证法证明“?x∈R，2x＞0”，应假设为?x0∈R，0

2x 0

故选A．

【点睛】

本题考查反证法的概念，全称命题的否定，注意“ 改量词否结论”

5．B

【解析】

【分析】

由条件结构，输入的x值小于0，执行y＝﹣x，输出y，等于0，执行y＝0，输出y，大于0，执行y＝2x，输出y，由x＝1＞0，执行y＝2x得解．

【详解】

因为输入的x值为1大于0，所以执行y＝2x＝2，输出2．

故选：B．

【点睛】

本题考查了程序框图中的条件结构，条件结构的特点是，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，算法不循环执行．

6．A

【分析】

利用独立事件的概念即可判断．

【详解】

“第二次得到6点”，“第二次的点数不超过3点”，“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立，

而对于“两次得到的点数和是12”则第一次一定是6点，第二次也是6点，故不是相互独立，故选D．

【点睛】

本题考查了相互独立事件，关键是掌握其概念，属于基础题． 7．B 【解析】

分析：依次判断每个结论是否正确，注意类比后变量的取值范围.

详解：设2,3x i y i ==，则2

66xy i I ==-?；A 错误；240x =-<，C 错误；

32,22x i y i =+=-，则50x y +=>，但,x y 不能比较大小，即x y >-是错误的，D 错

误，只有B 正确. 故选B.

点睛：对于选择题中要只有一个命题正确的选项问题，可以用特殊值法进行排除，即举反例说明某些命题是错误，最后只剩下一个命题一定是正确.本题说明实数集的结论有许多在虚数集中不能成立，因此在解题时不能随便引用. 8．D 【解析】 【分析】

根据事情判断其对应关系进行合情推理进而得以正确分析 【详解】

由于判断都是正确的，那么由①知甲在听音乐或玩游戏；由②知乙在看书或玩游戏；由③知甲听音乐时丁在写信；由④知丙在听音乐或玩游戏，那么甲在听音乐，丙在玩游戏，丁在写信，由此可知乙肯定在看书 故选：D ． 【点睛】

本题考查了合情推理，考查分类讨论思想，属于基础题． 9．C 【分析】

利用极坐标与直角坐标方程互化公式即可得出． 【详解】

x ＝cos

13

2π

=

，y ＝sin 3π=，

可得点M

的直角坐标为1,22? ??

．

故选C ． 【点睛】

本题考查了极坐标与直角坐标方程互化公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．B 【解析】

方程sin ρθ=，可化简为：2

sin ρρθ=，即22x y y +=.

整理得2

2

11(y )2

4x +-=，表示圆心为(0,1 )2，半径为1

2

的圆. 故选B. 11．B 【解析】

伸缩变换即：1'

2

{1'

3

x x y y =

= ，则伸缩变换后得到的切线方程为：11'2'32y sin x ??=? ??? ，

即'3sin 'y x = . 本题选择B 选项.

12．C 【解析】 【分析】

分别将各点化为直角坐标即可判断 【详解】 P （2，

23π

）化直角坐标为222cos

1,2sin 33

x y ππ

==-==

(- 同理8552,,2,,2,,2,3333Q R M N ππππ??

???

???

--

-- ? ?

?

??

??????

?

化直角坐标分别为(

(

(

(;;;Q R M N ---

则与点P 重合的点有3个． 故选：C ．

【点睛】

本题考查了极坐标与直角坐标互化公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．C 【分析】

问题化为﹣1＜x +3＜1，求出它的解集即可． 【详解】

不等式可化为﹣1＜x +3＜1， 得﹣4＜x ＜﹣2，

∴该不等式的解集为{x |﹣4＜x ＜﹣2}． 故选C ． 【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，是基础题目． 14．C 【分析】

利用均值不等式求解即可． 【详解】

∵9

6n n

+

≥=（当且仅当n ＝3时等号成立） 故选C ． 【点睛】

本题主要考查了均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则． 15．A 【解析】 【分析】

对于A ，用不等式的性质可以论证，对于B ，C ，D ，列举反例，可以判断． 【详解】

∵a ＜0，∴|a |＝﹣a ，∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ＞0，∴|a |＞﹣b ，故结论A 成立； 取a ＝﹣2，b ＝﹣1，则 ∵

21a

b

=＞，∴B 不正确；

1==，∴C 不正确；

112a =-，11b =-，∴11

a b

＞，∴D 不正确． 故选：A ． 【点睛】

本题考查不等式的性质，解题的关键是利用不等式的性质，对于不正确结论，列举反例． 16．B 【解析】 【分析】

利用柯西不等式得出最小值． 【详解】 （x 224y +

）

（y 221x

+）≥（x 12y x y ?+?）2＝9．

当且仅当xy 2

xy

=即xy = 时取等号． 故选：B ． 【点睛】

本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题． 17．32i -+ 【解析】

由()2i 3i ,a b a b R +=-∈，得3,2a b =-=，则i 32i a b +=-+，故答案为32i -+. 18．38

【解析】

由题意可知()()()()()14

3,,|10158

P AB P AB P A P B A P A =

=∴==，故答案为38.

19．1

2

-

【分析】

执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，i 的值，当i ＝2019时，不满足条件2018i ≤退出循环，输出S 的值为12

-． 【详解】

执行程序框图，有 S ＝2，i ＝1

满足条件2018i ≤ ，执行循环，S 3=-，i ＝2 满足条件2018i ≤ ，执行循环，S 1

2

=-，i ＝3 满足条件2018i ≤ ，执行循环，S 1

3

=

，i ＝4 满足条件2018i ≤ ，执行循环， S ＝2，i ＝5 …

观察规律可知，S 的取值以4为周期，由于2018＝504*4+2，故有： S 1

2

=-

, i ＝2019， 不满足条件2018i ≤退出循环，输出S 的值为12

-， 故答案为12

-． 【点睛】

本题主要考查了程序框图和算法，其中判断S 的取值规律是解题的关键，属于基本知识的考查．

20．cos 1ρθ= 【分析】

由题意画出图形，结合三角形中的边角关系得答案． 【详解】 如图，

由图可知，过点（1，0）并且与极轴垂直的直线方程是ρcosθ＝1． 故答案为cos 1ρθ=．

【点睛】

本题考查了简单曲线的极坐标方程，是基础题．

21．(－∞，6] 【解析】

由题意可设()24f x x x =-++，则当4x ≤-时， ()2422f x x x x =---=--；当2x ≥时，()2422f x x x x =-++=+；当42x -<<时，不等式可化为

()246f x x x =-++=。在平面直角坐标系中画出函数()24f x x x =-++的图像

如图，结合图像可知当6a ≤，不等式()24f x x x a =-++<的解集是空集，则实数a 的取值范围是(,6]-∞，应填答案(,6]-∞。

22．（1）2z =；（2）()0,5. 【解析】

试题分析：

(1)由题意计算可得2555

a a

z i -=

+,若z R ∈，则5a =，2z =. (2)结合(1)的计算结果得到关于实数a 的不等式，求解不等式可得a 的取值范围为

()0,5.

试题解析：

（1）()2255

55

a i a a

z i i --=

+=

+,若z R ∈，则505a -=，∴5a =，∴2z =. （2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，则205a >且505

a ->， 解得05a <<，即a 的取值范围为()0,5.

23．（I ）列联表见解析；（II ）1E+G F =-. 【解析】 【分析】

（I ）数出结果填入表格即可．（II ）观察一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为E ，F ，G ，即可猜想E ，F ，G 之间的等量关系． 【详解】 （I ）

（II ）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为,,E F G ，猜想,,E F G 之间的数量关系为1E+G F =-. 【点睛】

本题考查归纳推理，实际上本题考查的重点是给出几个平面图形的交点数、边数、区域数写猜想E ，F ，G 之间的等量关系，本题是一个综合题目，知识点结合的比较巧妙． 24．（I ）列联表见解析；（II ）能. 【分析】

（I ）根据题意填写2×2列联表即可；（II ）根据2×2列联表求得K 2的观测值，对照临界值表即可得出结论． 【详解】

（I ）填写的22?列联表如下：

（II ）根据22?列联表可以求得2K 的观测值

22

100(45301510)80024.24210.8286040554533

K ?-?==≈>???，

所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系. 【点睛】

本题考查了独立性检验的应用问题，准确计算是关键，是基础题．

25．（I ）?0.5 2.3y x =+；（II ）6.3千元.

【分析】

（I ）由表中数据计算x 、y ，求出回归系数，写出回归方程；（II ）由b =0.5＞0知y 关于x 正相关，求出x ＝8时y 的值即可． 【详解】

（I ）由表中数据知，1

(1234567)47

x =

++++++=， 1

(2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9) 4.37

y =++++++=，

(3)( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.93 1.6?0.59410149

b -?-+-?-+-?-+?+?+?+?∴==++++++，

?? 4.30.54 2.3a

y bx ∴=-=-?=， ∴y 关于x 的线性回归方程为?0.5 2.3y x =+； （II ）由（I ）可知，?0b

>， 故该地区2021年至2021年农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加0.5千元，

当8x =时，?0.58 2.3 6.3y

=?+=， ∴预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.3千元.

【点睛】

本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，考查计算能力，是基础题．

26．（I ）20y =；（II ）. 【解析】 【分析】

（I ）曲线C 的极坐标方程为2sin cos 0θθ-=两边同乘ρ，利用极坐标与直角坐标互

化公式可得直角坐标方程．（II

）将112x t y ?=+?

??=?

代入20y =中，得t 的二次方程，

解得0t =则可求解 【详解】

（I

）将2sin cos 0θθ-=两边同乘ρ

得，22sin cos 0ρθθ=，

∴曲线C

的直角坐标方程为：20y =.

（II ）

将112x t y ?=+???=?

代入2

0y =中，

2

1102t ?+=??，解得0t =，

∴直线l 与曲线C

交点的直角坐标为.

【点睛】

本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程及其应用、直线与抛物线相交问题，考查t 的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

27．（I ）2214x y +=，40x+y =-；

（II

）. 【解析】 【分析】

（I ）曲线C 的参数方程消去参数，能求出曲线C 的普通方程；由直线l 的极坐标方程，能求出直线l 的直角坐标方程．（II ）在曲线C 上任取一点(2cos ,sin )P αα利用点到直线的距离公式能求出曲线C 上的点到直线l 的最小距离． 【详解】

（I ）曲线C 的普通方程为2

214

x y +=，

直线l 的直角坐标方程为40x+y =-.

（II ）设曲线C 上的点的坐标为(2cos ,sin )P αα，

则点P 到直线l

的距离d =

=

∴当sin()1α?+=-时，d =

∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为. 【点睛】

本题考查曲线的普通方程和直线的直角坐标方程的求法，考查曲线上的点到直线的最小距离的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的应用，考查运算求解能力、转化化归思想，是中档题．

28．（I ）{|1x x ≤-或3}x ≥；（II ）2. 【解析】 【分析】

（I ）代入a 的值，求出不等式的解集即可；（II ）解不等式，根据对应关系得到关于a 的方程组，解出即可． 【详解】

（I ）当1a =时，由|12x |-≥，得12x -≥或12x -≤-， 解得：3x ≥或1x ≤-，

故不等式()2f x ≥的解集是{|1x x ≤-或3}x ≥. （II ）|3x a|-≤，33x a ∴-≤-≤，

33a x a ∴-≤≤+

又不等式()3f x ≤的解集为{|15}x x -≤≤，

3135a a -=-?∴?+=?

，解得2a =.

【点睛】

本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，方程思想，是一道基础题． 29．（1）[)2,8,3

??-∞-?+∞ ??

?

；（2）()24m n mn +<+.

【解析】

试题分析：（1）讨论x 的范围，去掉绝对值符号，分段求出不等式的解，取并集即得原不等

式的解集；（2）由（1）易知()3f x ≥，所以3,3m n ≥≥，作差并因式分解判断出差的符号即可得到4mn +与()2m n +的大小.

试题解析：（1）()32,03{3,0323,3

x x f x x x x x x -<=+-=≤≤->．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

从面得

或03{35x x ≤≤≥+或，解之得2

3

x ≤-

或x φ∈或8x ≥， 所以不等式的解集为[)2,8,3

??-∞-?+∞ ??

?

．．．．．．．．．．．．．．．． 5分

（2）由（1）易知()3f x ≥，所以3,3m n ≥≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 由于()()()()2422422m n mn m mn n m n +-+=-+-=--．．．．．．．．．．．8分 且3,3m n ≥≥，所以20,20m n ->-<，即()()220m n --<， 所以()24m n mn +<+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：绝对值不等式的解法及比较法比较大小.