七年级上册数学压轴题专题练习(word版
七年级上册数学压轴题专题练习（word 版
一、压轴题
1．[ 问题提出 ]
一个边长为 ncm(n ?3)的正方体木块，在它的表面涂上颜色，然后切成边长为1cm 的小正方体木块，没有涂上颜色的有多少块？只有一面涂上颜色的有多少块？有两面涂上颜色的有多少块？有三面涂上颜色的多少块？
[ 问题探究 ]
我们先从特殊的情况入手 （1）当n=3时，如图（1）
没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有1×1×1=1个小正方体； 一面涂色的：在面上，每个面上有1个，共有6个； 两面涂色的：在棱上，每个棱上有1个，共有12个； 三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，共有8个． （2）当n=4时，如图（2）
没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有2×2×2=8个小正方体： 一面涂色的：在面上，每个面上有4个，正方体共有 个面，因此一面涂色的共有 个； 两面涂色的：在棱上，每个棱上有2个，正方体共有 条棱，因此两面涂色的共有 个； 三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，正方体共有 个顶点，因此三面涂色的共有 个… [ 问题解决 ]
一个边长为ncm(n ?3)的正方体木块，没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有______个小正方体；一面涂色的：在面上，共有______个； 两面涂色的：在棱上，共有______个； 三面涂色的：在顶点处，共______个。 [ 问题应用 ]
一个大的正方体，在它的表面涂上颜色，然后把它切成棱长1cm 的小正方体，发现有两面涂色的小正方体有96个，请你求出这个大正方体的体积． 2．请观察下列算式，找出规律并填空．
111122=-?，1112323=-?，1113434=-?，1114545=-?． 则第10个算式是________，第n 个算式是________．
根据以上规律解读以下两题：
（1）求
1111
12233420192020
++++????的值； （2）若有理数a ，b 满足|2||4|0a b -+-=，试求：
1111
(2)(2)(4)(4)
(2016)(2016)
ab a b a b a b ++++
++++++的值．
3．（阅读理解）如果点M ，N 在数轴上分别表示实数m ，n ，在数轴上M ，N 两点之间的距离表示为MN m n(m n)=->或MN n m(n m)=->或m n -．
利用数形结合思想解决下列问题：已知数轴上点A 与点B 的距离为12个单位长度，点A 在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B 在点A 的右侧，点C 表示的数与点B 表示的数互为相反数，动点P 从A 出发，以每秒2个单位的速度向终点C 移动，设移动时间为t 秒．
()1点A 表示的数为______，点B 表示的数为______．
()2用含t 的代数式表示P 到点A 和点C 的距离：PA =______，PC =______．
()3当点P 运动到B 点时，点Q 从A 点出发，以每秒4个单位的速度向C 点运动，Q 点到
达C 点后，立即以同样的速度返回，运动到终点A ，在点Q 开始运动后，P 、Q 两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P 表示的数；如果不能，请说明理由．
4．一般情况下
2323
a b a b ++=+是不成立的，但有些数可以使得它成立，例如：0a b ．我们称使得2323
a b a b
++=
+成立的一对数,a b 为“相伴数对”，记为(),a b ． （1）若()1,b 为“相伴数对”，试求b 的值；
（2）请写出一个“相伴数对”(),a b ，其中0a ≠，且1a ≠，并说明理由； （3）已知(),m n 是“相伴数对”，试说明91,4m n ??
??+?
-
也是“相伴数对”． 5．如图，点A 、B 是数轴上的两个点，它们分别表示的数是2-和1． 点A 与点B 之间的距离表示为AB ． （1）AB= ．
（2）点P 是数轴上A 点右侧的一个动点，它表示的数是x ，满足217x x ++-=，求x 的值．
（3）点C 为6． 若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：BC AB -的值是否随着运动时间t （秒）的变化而改变？ 若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
6．如图①，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，将一直角三角板如图摆放（90MON ∠=）．
（1）若35BOC ∠=，求MOC ∠的大小．
（2）将图①中的三角板绕点O 旋转一定的角度得图②，使边OM 恰好平分BOC ∠，问：ON 是否平分AOC ∠？请说明理由．
（3）将图①中的三角板绕点O 旋转一定的角度得图③，使边ON 在BOC ∠的内部，如果
50BOC ∠=，则BOM ∠与NOC ∠之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
7．问题情境：
在平面直角坐标系xOy 中有不重合的两点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），小明在学习中发现，若x 1=x 2，则AB ∥y 轴，且线段AB 的长度为|y 1﹣y 2|；若y 1=y 2，则AB ∥x 轴，且线段AB 的长度为|x 1﹣x 2|； （应用）：
（1）若点A （﹣1，1）、B （2，1），则AB ∥x 轴，AB 的长度为 ． （2）若点C （1，0），且CD ∥y 轴，且CD=2，则点D 的坐标为 ． （拓展）：
我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）之间的折线距离为d （M ，N ）=|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|；例如：图1中，点M （﹣1，1）与点N （1，﹣2）之间的折线距离为d （M ，N ）=|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|=2+3=5． 解决下列问题：
（1）已知E （2，0），若F （﹣1，﹣2），求d （E ，F ）；
（2）如图2，已知E （2，0），H （1，t ），若d （E ，H ）=3，求t 的值；
（3）如图3，已知P （3，3），点Q 在x 轴上，且三角形OPQ 的面积为3，求d （P ，Q ）．
8．如图，在三角形ABC 中，8AB =，16BC =，12AC =．点P 从点A 出发以2个单
位长度/秒的速度沿A B C A →→→的方向运动，点Q 从点B 沿B C A →→的方向与点P 同时出发；当点P 第一次回到A 点时，点P ，Q 同时停止运动；用t （秒）表示运动时间．
（1）当t 为多少时，P 是AB 的中点；
（2）若点Q 的运动速度是2
3
个单位长度/秒，是否存在t 的值，使得2BP BQ =； （3）若点Q 的运动速度是a 个单位长度/秒，当点P ，Q 是AC 边上的三等分点时，求a
的值．
9．如图，已知点A 、B 是数轴上两点，O 为原点，12AB =，点B 表示的数为4，点
P 、Q 分别从O 、B 同时出发，沿数轴向不同的方向运动，点P 速度为每秒1个单位．点
Q 速度为每秒2个单位，设运动时间为t ，当PQ 的长为5时，求t 的值及AP 的长．
10．如图∠AOB ＝120°，把三角板60°的角的顶点放在O 处．转动三角板（其中OC 边始终在∠AOB 内部），OE 始终平分∠AOD ．
（1）（特殊发现）如图1，若OC 边与OA 边重合时，求出∠COE 与∠BOD 的度数． （2）（类比探究）如图2，当三角板绕O 点旋转的过程中（其中OC 边始终在∠AOB 内部），∠COE 与∠BOD 的度数比是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由．
（3）（拓展延伸）如图3，在转动三角板的过程中（其中OC 边始终在∠AOB 内部），若OP 平分∠COB ，请画出图形，直接写出∠EOP 的度数（无须证明）.
11．如图，点A ，B ，C 在数轴上表示的数分别是－3，3和1．动点P ，Q 两同时出发，动点P 从点A 出发，以每秒6个单位的速度沿A →B →A 往返运动，回到点A 停止运动；动点Q 从点C 出发，以每秒1个单位的速度沿C →B 向终点B 匀速运动．设点P 的运动时间为t （s ）．
（1）当点P 到达点B 时，求点Q 所表示的数是多少； （2）当t =0.5时，求线段PQ 的长；
（3）当点P 从点A 向点B 运动时，线段PQ 的长为________（用含t 的式子表示）； （4）在整个运动过程中，当P ，Q 两点到点C 的距离相等时，直接写出t 的值．
12．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？
在①135?，②120?，③75?，④25?中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是_________；（填序号）
（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图，他先用三角板画出了直线EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中45角（AOB ∠）的顶点与60角（COD ∠）的顶点互相重合，且边OA 、OC 都在直线EF 上.固定三角板COD 不动，将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一个角度α，当边OB 与射线OF 第一次重合时停止.
①当OB 平分EOD ∠时，求旋转角度α；
②是否存在2BOC AOD ∠=∠？若存在，求旋转角度α；若不存在，请说明理由.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．[ 问题探究 ] (2)6,24;12,24；8,8；[ 问题解决]（n-2）3，（n-2）2,12（n-2），8； [ 问题解决 ] 1000cm 3. 【解析】 【分析】
[ 问题探究 ] （2）根据（1）即可填写； [ 问题解决 ] 可根据（1）、（2）的规律填写；
[ 问题应用 ] 根据[ 问题解决 ]知两面涂色的为n-12（2），由此得到方程n-12（2）
=96，
解得n 的值即可得到边长及面积. 【详解】 [ 问题探究 ]
（2）没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有2×
2×2=8个小正方体： 一面涂色的：在面上，每个面上有4个，正方体共有 6个面，因此一面涂色的共有24个；
两面涂色的：在棱上，每个棱上有2个，正方体共有12 条棱，因此两面涂色的共有24个；
三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，正方体共有8 个顶点，因此三面涂色的共有8 个… [ 问题解决 ]
一个边长为ncm(n ?3)的正方体木块，没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方
体，有_32n -（） _____个小正方体；一面涂色的：在面上，共有__2
2n -（）
____个； 两面涂色的：在棱上，共有__122n -（）____个； 三面涂色的：在顶点处，共_8____个。 [ 问题应用 ]
由题意得，n-12（2）
=96，得n=10， ∴这个大正方体的边长为10cm ，
∴这个大正方体的体积为101010=1000??（3cm ）. 【点睛】
此题考查数字类规律探究，正确理解（1）是解题的关键，由（1）即可得到涂色的规律，由此解决其它问题.
2．111=10111011-?，()111=11n n n n -++；（1）20192020；（2）10094040
【解析】 【分析】
归纳总结得到一般性规律，写出第10个等式及第n 个等式即可； （1）原式变形后，计算即可得到结果；
（2）利用非负数的性质求出a 与b 的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】 解：第10个算式是
111
=10111011
-?， 第n 个算式是()111
=11n n n n -++；
（1）1111 (12233420192020)
++++???? =111111...22320192020-
+-++- =112020
-
=
2019
2020
； （2）∵|2||4|0a b -+-=， ∴a-2=0，b-4=0， ∴a=2，b=4， ∴1111
(2)(2)(4)(4)
(2016)(2016)
ab a b a b a b ++++
++++++
=1111
244668
20182020
++++
????
=
1111111...2244620182020??
-+-++- ???
=111222020??
- ???
=
1009
4040
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（1）2412--；
；（2）2t ；362t -；（3）P 、Q 两点之间的距离能为2，此时点P 点Q 表示的数分别是2-，2，2226
,33
． 【解析】 【分析】
()1因为点A 在原点左侧且到原点的距离为24个单位长度，所以点A 表示数24-；点B 在点A 右侧且与点A 的距离为12个单位长度，故点B 表示：241212-+=-；()2因为点P
从点A 出发，以每秒运动2两个单位长度的速度向终点C 运动，则t 秒后点P 表示数
242t(0t 18-+≤≤，令242t 12-+=，则t 18=时点P 运动到点C)，而点A 表示数
24-，点C 表示数12，所以()PA 242t 242t =-+--=，
PC 242t 12362t =-+-=-；()3以点Q 作为参考，则点P 可理解为从点B 出发，设点
Q 运动了m 秒，那么m 秒后点Q 表示的数是244m -+，点P 表示的数是122m -+，再分两种情况讨论：①点Q 运动到点C 之前；②点Q 运动到点C 之后． 【详解】
()1设A 表示的数为x ，设B 表示的数是y ．
x 24=，x 0<
∴x 24=- 又
y x 12-=
y 241212.∴=-+=-
故答案为24-；12-．
()2由题意可知：
t 秒后点P 表示的数是()242t 0t 18-+≤≤，点A 表示数24-，点C
表示数12
()PA 242t 242t ∴=-+--=，PC 242t 12362t =-+-=-．
故答案为2t ；362t -．
()3设点Q 运动了m 秒，则m 秒后点P 表示的数是122m -+．
①当m 9≤，m 秒后点Q 表示的数是244m -+，则
()PQ 24m 4m 122m 2=-+--+=，解得m 5=或7，
当m=5时，-12+2m=-2， 当m=7时，-12+2m=2， ∴此时P 表示的是2-或2；
②当m 9>时，m 秒后点Q 表示的数是()124m 9--，
则()()PQ 124m 9122m 2=----+=， 解得2931m 33
或=， 当m=293时，-12+2m=223
， 当m=
313时，-12+2m=263
， 此时点P 表示的数是
2226
33
或． 答：P 、Q 两点之间的距离能为2，此时点P 点Q 表示的数分别是2-，2，2226
,33
． 【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离公式以及实数与数轴的相关概念，解题时同时注意数形结合数学思想的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，用代数式表示出数轴上的动点代表的数，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 4．（1）94b =-；（2）92,2?
?- ??
?（答案不唯一）；（3）见解析
【解析】 【分析】
（1）根据“相伴数对”的定义，将()1,b 代入2323
a b a b
++=+，从而求算答案； （2）先根据“相伴数对”的定义算出a 、b 之间的关系为：94a b =-，满足条件即可；
（3）将将,a m b n == 代入
2323a b a b ++=+得出4
9m n ，再将4
9
m n 代入
91,4m n ?
? ??+?-得到491,9
4n n -+-?? ???，分别去计算等式左右两边，看是否恒等即可． 【详解】
解：（1）∵()1,b 为“相伴数对”，将()1,b 代入
2323
a b a b
++=+得： 112323
b b ++=+ ，去分母得：()151061b b +=+ 解得：94
b =- （2）
2323
a b a b ++=+化简得：94a b =- 只要满足这个等量关系即可，例如：92,2??
- ???
（答案不唯一） （3）∵(),m n 是“相伴数对” 将,a m b n == 代入2323
a b a b ++=+： ∴
2323
m n m n ++=+ ，化简得：49
m n 将49m
n 代入91,4m n ?
? ??+?-得到：491,9
4n n -+-?? ???
将：491,94
a n
b n =-
+=- 代入2323a b a b
++=+
左边=49
149942336n n n -+--+
= 右边=49149942336
n n n -++--=+
∴左边=右边
∴当(),m n 是“相伴数对”时， 91,4
m n ??
??
+?
-也是“相伴数对”
【点睛】
本题考查定义新运算，正确理解定义是解题关键． 5．（1）3.（2）存在．x 的值为3.(3)不变，为2. 【解析】 【分析】
（1）根据非负数的性质和数轴上两点间距离即可求解；
（2）分两种情况讨论，根据数轴上两点间的距离公式列方程即可求解；
(3)先确定运动t 秒后，A 、B 、C 三点对应的数，再根据数轴上两点间的距离公式列方程即
可求解．
【详解】
解：（1）∵点A、B是数轴上的两个点，它们分别表示的数是2
-和1
∴A，B两点之间的距离是1-（-2）=3．
故答案为3．
（2）存在．理由如下：
①若P点在A、B之间，
x+2+1-x=7，此方程不成立；
②若P点在B点右侧，
x+2+x-1=7，解得x=3．
答：存在．x的值为3．
-的值不随运动时间t（秒）的变化而改变，为定值，是2.理由如下：（3）BC AB
运动t秒后，A点表示的数为-2-t,B点表示的数为1+2t,C点表示的数为6+5t.
所以AB=1+2t-(-2-t)=3+3t.
BC=6+5t-(1+2t)=5+3t.
所以BC-AB=5+3t-3-3t=2.
【点睛】
本题考查了一元一次方程、数轴、非负数、两点之间的距离，解决本题的关键是数轴上动点的运动情况．
6．（1）125°；（2）ON平分∠AOC，理由详见解析；（3）∠BOM=∠NOC+40°，理由详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据∠MOC=∠MON+∠BOC计算即可；
（2）由角平分线定义得到角相等的等量关系，再根据等角的余角相等即可得出结论；（3）根据题干已知条件将一个角的度数转换为两个角的度数之和，列出等式即可得出结论．
【详解】
解： (1) ∵∠MON=90°，∠BOC=35°，
∴∠MOC=∠MON+∠BOC= 90°+35°=125°．
(2)ON平分∠AOC．
理由如下：
∵∠MON=90°，
∴∠BOM+∠AON=90°，∠MOC+∠NOC=90°．
又∵OM平分∠BOC，∴∠BOM=∠MOC．
∴∠AON=∠NOC．
∴ON平分∠AOC．
(3)∠BOM=∠NOC+40°．
理由如下：
∵∠CON+∠NOB=50°，∴∠NOB=50°-∠NOC．
∵∠BOM+∠NOB=90°，
∴∠BOM=90°-∠NOB=90°-(50°-∠NOC)=∠NOC+40°．
【点睛】
本题主要考查了角的运算、余角以及角平分线的定义，解题的关键是灵活运用题中等量关系进行角度的运算．
7．【应用】：（1）3；（2）（1，2）或（1，﹣2）；【拓展】：（1）5；（2）t=±2；（3）d（P，Q）的值为4或8．
【解析】
【分析】
（1）根据若y1=y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1-x2|，代入数据即可得出结论；（2）由CD∥y轴，可设点D的坐标为（1，m），根据CD=2即可得出|0-m|=2，解之即可得出结论；
【拓展】：（1）根据两点之间的折线距离公式，代入数据即可得出结论；
（2）根据两点之间的折线距离公式结合d（E，H）=3，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合三角形OPQ的面积为3即可求出x的值，再利用两点之间的折线距离公式即可得出结论．
【详解】
解：【应用】：
（1）AB的长度为|﹣1﹣2|=3．
故答案为：3．
（2）由CD∥y轴，可设点D的坐标为（1，m），
∵CD=2，
∴|0﹣m|=2，解得：m=±2，
∴点D的坐标为（1，2）或（1，﹣2）．
【拓展】
：
（1）d（E，F）=|2﹣（﹣1）|+|0﹣（﹣2）|=5．
故答案为：5．
（2）∵E（2，0），H（1，t），d（E，H）=3，
∴|2﹣1|+|0﹣t|=3，
解得：t=±2．
（3）由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为（x，0），
∵三角形OPQ的面积为3，
∴1
|x|×3=3，解得：x=±2．
2
当点Q的坐标为（2，0）时，d（P，Q）=|3﹣2|+|3﹣0|=4；
当点Q的坐标为（﹣2，0）时，d（P，Q）=|3﹣（﹣2）|+|3﹣0|=8
综上所述，d （P ，Q ）的值为4或8． 【点睛】
本题考查了两点间的距离公式，读懂题意并熟练运用两点间的距离及两点之间的折线距离公式是解题的关键． 8．（1）2；（2）存在，t=125；（3）54或127
【解析】 【分析】
（1）根据AB 的长度和点P 的运动速度可以求得；
（2）根据题意可得：当2BP BQ =时，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，据此列出方程求解即可；
（3）分两种情况：P 为接近点A 的三等分点，P 为接近点C 的三等分点，分别根据点的位置列出方程解得即可. 【详解】
解：（1）∵8AB =，点P 的运动速度为2个单位长度/秒， ∴当P 为AB 中点时，
42=2÷（秒）；
（2）由题意可得：当2BP BQ =时， P ，Q 分别在AB ，BC 上，
∵点Q 的运动速度为2
3
个单位长度/秒， ∴点Q 只能在BC 上运动，
∴BP=8-2t ，BQ=23
t ， 则8-2t=2×23
t ， 解得t=
125
， 当点P 运动到BC 和AC 上时，不存在2BP BQ =； （3）当点P 为靠近点A 的三等分点时，如图，
AB+BC+CP=8+16+8=32， 此时t=32÷
2=16， ∵BC+CQ=16+4=20，
∴a=20÷
16=5
4
， 当点P 为靠近点C 的三等分点时，如图， AB+BC+CP=8+16+4=28， 此时t=28÷2=14， ∵BC+CQ=16+8=24， ∴a=24÷
14=12
7
.
综上：a 的值为54或127
. 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用—几何问题，在点的运动过程中根据线段关系列出方程进行求解，需要一定的想象能力和计算能力，难度中等.
9．13
t =
,233AP =或t =3，AP =11.
【解析】 【分析】
根据题意可以分两种情况：①当P 向左、Q 向右运动时，根据PQ=OP+OQ+BO 列出关于t 的方程求解，再求出AP 的长；②当P 向右、Q 向左运动时，根据PQ=OP+OQ-BO 列出关于t 的方程求解，再求出AP 的长． 【详解】
解：∵12AB =，4OB =，∴8OA =． 根据题意可知，OP=t ，OQ=2t ．
①当P 向左、Q 向右运动时，则PQ=OP+OQ+BO ， ∴245t t ++=，∴13
t =． 此时OP =
13
，123833AP AO OP =-=-=；
②当P 向右、Q 向左运动时，PQ=OP+OQ-BO ，
∴245t t +-=，∴3t =．
此时3OP =，8311AP AO OP =+=+=． 【点睛】
本题考查数轴、线段的计算以及一元一次方程的应用问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．
10．（1）∠BOD＝60°，∠COE＝30°；（2）∠COE：∠BOD＝1
2
；（3）画图见解析；
∠POE＝30°．
【解析】
【分析】
（1）∵OC边与OA边重合，如图1，根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；（2）①0°≤∠AOC＜60°时，如图2，②当60°≤∠AOC≤120°时，如图3，根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；
（3）①0°≤∠AOC＜60°时，设∠AOC=α，∠BOD=β，②当60°≤∠AOC≤120°时，设∠AOC=α，∠BOD=β，根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】
（1）∵OC边与OA边重合，如图1，
∴∠AOD＝60°，∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣60°＝60°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠COE＝1
2
∠AOD＝30°；
（2）①0°≤∠AOC＜60°时，如图2，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝1
2
∠AOD，
∴∠COE＝∠COD﹣∠EOD＝60°﹣1
2
∠AOD，
∵∠DOB＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣∠AOD，
∴∠COE：∠BOD＝1
2
；
②当60°≤∠AOC≤120°时，如图3，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝1
2
∠AOD，
∴∠COE＝∠EOD﹣∠COD＝1
2
∠AOD﹣60°，
∵∠DOB＝∠AOD﹣∠AOB＝∠AOD﹣120°，
∴∠COE：∠BOD＝1
2
；
（3）①0°≤∠AOC＜60°时，
设∠AOC＝α，∠BOD＝β，
∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，
∴α+β＝60°，
∴∠AOD＝60°+α，∠BOC＝60°+β，∵OE始终平分∠AOD，OP平分∠COB，
∴∠AOE＝1
2
∠AOD＝30°+
1
2
?，∠BOP＝
1
2
∠BOC＝30°+
1
2
β，
∴∠POE＝∠AOB﹣∠AOE﹣∠BOP＝120°﹣（30°+1
2
?）﹣（30°+
1
2
β）＝30°；
②当60°≤∠AOC≤120°时，
设∠AOC＝α，∠BOD＝β，
∵∠AOB ＝120°，∠COD ＝60°， ∴∠BOC ＝120°﹣∠AOC ＝60°﹣∠BOD ， ∴120°﹣α＝60°﹣β， ∴α﹣β＝60°，
∴∠AOD ＝120°+β，∠BOC ＝60°﹣β， ∵OE 始终平分∠AOD ，OP 平分∠COB ， ∴∠DOE ＝
12∠AOD ＝60°+12β，∠BOP ＝12∠BOC ＝30°﹣1
2
β， ∴∠POE ＝∠DOE ﹣∠BOD ﹣∠BOP ＝（60°+1
2
?）﹣β﹣（30°﹣1
2
β）＝30°； 综上所述，∠POE ＝30°． 【点睛】
本题考查了角的计算，涉及了角平分线的定义，角平分线的性质以及等角替换等知识点，综合性较强，要求学生对各知识点熟练掌握，学会分类讨论是解题的关键． 11．（1）2；（2）1.5；（3）4-5t 或5t-4；（4）47或45或87或85
【解析】 【分析】
（1）先计算出点P 到达点B 时运动的时间，再计算出点Q 相同时间内运动的路程，进而可得答案；
（2）利用路程=速度×时间，分别计算出当t =0.5时点P 、Q 运动的路程，即AP 和CQ 的长，再根据PQ =AQ －AP 计算即可；
（3）分点P 、Q 重合前与重合后两种情况，画出图形，根据PQ =AQ －AP （重合前）与PQ =AP －AQ （重合后）列式化简即可；
（4）分点P 从点A 向点B 运动和点P 从点B 向点A 运动时两种情况，每种情况再分点P 、Q 在点C 异侧和点C 同侧，用含t 的代数式分别表示出CP 和CQ ，即可列出方程，解方程即可求出结果. 【详解】 解：（1）
[]3(3)61--÷=，1112?+=，所以点Q 所表示的数是2；
（2）当t =0.5时，AP =6×0.5=3，CQ =1×0.5=0.5，所以PQ=AQ －AP=AC+CQ －AP =4+0.5－3=1.5；
（3）在点P 从点A 向点B 运动时，若点P 、Q 重合，则64t t =+，解得：45
t =； 当4
05
t ≤≤
时，如图1，4645PQ AQ AP t t t =-=+-=-；
当
4
15
t <≤时，如图2，6454PQ AP AC CQ t t t =--=--=-.
故答案为：4－5t 或5t －4；
（4）当点P 从点A 向点B 运动时，若P ，Q 两点到点C 的距离相等，则有如下两种情况： ①点P 、Q 在点C 两侧，如图3，根据题意，得：46t t -=，解得：47
t =
；
②点P 、Q 在点C 右侧，此时P 、Q 重合，由（3）题得：45
t =
； 当点P 从点B 向点A 运动时，若P ，Q 两点到点C 的距离相等，也有如下两种情况： ③点P 、Q 在点C 右侧，此时P 、Q 重合，根据题意，得：()266t t --=，解得：
87
t =
； ④点P 、Q 在点C 两侧，如图4，根据题意，得：()662t t --=，解得：85
t =
.
综上，在整个运动过程中，当P ，Q 两点到点C 的距离相等时，47t =或45或87或85
. 【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离、线段的和差关系和一元一次方程的解法等知识，正确理解题意、全面分类、灵活运用方程思想和数形结合的思想是解题的关键.
12．（1）④；（2）①15α=?；②当105α=，125α=时，存在2BOC AOD ∠=∠. 【解析】 【分析】
（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是15°的倍数的角都可以画出来；
（2）①根据已知条件得到∠EOD=180°-∠COD=180°-60°=120°，根据角平分线的定义得到∠EOB=
12∠EOD=1
2
×120°=60°，于是得到结论； ②当OA 在OD 的左侧时，当OA 在OD 的右侧时，根据角的和差列方程即可得到结论． 【详解】
解：（1）∵135°=90°+45°，120°=90°+30°，75°=30°+45°， ∴只有25°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差，故画不出； 故选④；
（2）①因为COD 60∠=，
所以EOD 180COD 18060120∠∠=-=-=. 因为OB 平分EOD ∠， 所以11
EOB EOD 1206022
∠∠=
=?=. 因为AOB 45∠=，
所以αEOB AOB 604515∠∠=-=-=.
②当OA 在OD 左侧时，则AOD 120α∠=-，BOC 135α∠=-. 因为BOC 2AOD ∠∠=， 所以()
135α2120α-=-. 解得α105=.
当OA 在OD 右侧时，则AOD α120∠=-，BOC 135α∠=-. 因为BOC 2AOD ∠∠=， 所以()135α2α120-=-.
解得α125=.
综合知，当α105=，α125=时，存在BOC 2AOD ∠∠=. 【点睛】
本题考查角的计算，角平分线的定义，正确的理解题意并分类讨论是解题关键．