三角函数与解三角形专题训练
三角求值与解三角形专项训练
1 三角公式运用
【通俗原理】
1．三角函数的定义：设(,)P x y ，记xOP α∠=∈R ，||r OP ==， 则sin ,cos ,tan (0)y x y x r r x
ααα=
==≠. 2．基本公式：22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==. 3．诱导公式：
4．两角和差公式：sin()αβ±
cos()αβ±
tan()αβ±5．二倍角公式：sin22sin cos ααα=，
2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，
22tan tan 21tan ααα
=-.
6．辅助角公式：①sin cos )a b θθθ?+=+，
其中?由tan b a
?=及点(,)a b 所在象限确定.
②sin cos cos sin )a b a b θθθθθ?'''+=+=-，
其中?'由tan b a ?''=
'及点(,)a b ''所在象限确定.
【典型例题】
1．已知α∈R ，证明：sin()cos 2
ααπ-
=-.
2．若(0,)2απ∈，tan 2α=，求sin cos αα+的值.
3．已知sin()1αβ+=，1sin()2αβ-=，求tan tan αβ的值.
4．求cos15tan15+o o 的值.
5．证明：3cos34cos 3cos ααα=-.
【跟踪练习】
1．已知3sin()35απ-
=，求cos()6
απ+的值.
2．若1sin 22
β=
，求tan β的值.
三角求值与解三角形专项训练
2. 解三角形
1．三角形边角关系：在ABC △中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，①A B C ++=π；
②若a b c ≤≤，则a b c +>；③等边对等角，大边对大角.
2．正弦定理：
2sin sin sin a b c R A B C
===(R 是ABC △外接圆的半径). 变形：2sin a R A =，2sin ,2sin b R B c R C ==. 3．余弦定理：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-?
.变形：222
cos 2b c a A bc +-=，其他同理可得. 4．三角形面积公式：111sin sin sin 222
ABC S ab C bc A ac B =
==△. 5．与三角形有关的三角方程：①sin2sin2A B =?A B =或22A B =π-；
②cos2cos2A B =?A B =.
6．与三角形有关的不等式：①sin sin cos cos a b A B A B >?>?<. 7．解三角形的三种题型：①知三个条件(知三个角除外)，求其他(角、边、面积、周长等)； ②知两个条件，求某个特定元素或范围；
③知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值.
【典型例题】
1．在ABC △中，若cos cos a A b B =，试判断ABC △的形状.
2．在ABC △中，证明：sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?<.
3．在ABC △中，1a =，6A π=，3b =C 的大小.
4．在ABC △中，2C A =，2c a =
，求角A 的大小.
5．在ABC △sin 3cos c C
A =，求角A 的大小.
6．在ABC △中，c =3
C π=. (I)求ABC △面积的最大值；
(II)求ABC △周长的取值范围.
【跟踪练习】
1．在B C A ?中，(sin sin )()(sin sin )a A B c b C B -=-+，求角C .
(I)求B ∠的大小；
(II)求C A cos cos +的最大值．
3．在B C A ?中，222+-=b c a ，23
B π=，=b (I)求B
C 边上的中线A
D 的长；
(II)求BAC ∠的角平分线AE 的长.
参考答案
【典型例题】
1．证明：如图，在单位圆中，记xOP α∠=，
=2xOQ απ∠-
，有(,),(,)P x y Q y x -， 则sin()2
x απ-=-，而cos x α=-， ∴sin()cos 2
ααπ-=-. 2．解法一：∵(0,)2
απ∈，tan 2α=，有sin 2cos αα=， 代入22sin cos 1αα+=得21cos 5
α=
，则cos α=
，sin α=，
∴sin cos 5
αα+=. 解法二：∵(0,)2
απ∈，tan 2α=，
∴2(sin cos )12sin cos αααα+=+ 222sin cos 1sin cos αααα=+=+22tan 91tan 15
αα+=+， 又sin cos 0αα+>
，有sin cos αα+=
. 3．解：由sin()1αβ+=，1sin()2
αβ-=， 得sin cos cos sin 11sin cos cos sin 2
αβαβαβαβ+=???-=??，则31sin cos ,cos sin 44αβαβ==， ∴tan tan αβsin sin cos cos 3sin cos sin cos α
αβαβαβ
β
===. 4．解：∵cos15cos(4530)cos45cos30sin 45sin 30=-=+o o o o o o o
12=+=，