人教版八年级上册数学 【几何模型三角形轴对称】试卷(培优篇)(Word版 含解析)
人教版八年级上册数学【几何模型三角形轴对称】试卷(培优篇)(Word版
含解析)
一、八年级数学轴对称解答题压轴题(难)
1.如图,将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起(图1).△ABD不动,
(1)若将△ACE绕点A逆时针旋转,连接DE,M是DE的中点,连接MB、MC(图2),证明:MB=MC.
(2)若将图1中的CE向上平移,∠CAE不变,连接DE,M是DE的中点,连接MB、MC (图3),判断并直接写出MB、MC的数量关系.
(3)在(2)中,若∠CAE的大小改变(图4),其他条件不变,则(2)中的MB、MC的数量关系还成立吗?说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)MB=MC.理由见解析;(3)MB=MC还成立,见解析.【解析】
【分析】
(1)连接AM,根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE,AB=AC,全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE,再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE,然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等,根据全等三角形对应边相等即可得证;
(2)延长DB、AE相交于E′,延长EC交AD于F,根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′,然后求出MB∥AE′,再根据两直线平行,内错角相等求出∠MBC=∠CAE,同理求出MC∥AD,根据两直线平行,同位角相等求出∠BCM=∠BAD,然后求出∠MBC=∠BCM,再根据等角对等边即可得证;
(3)延长BM交CE于F,根据两直线平行,内错角相等可得∠MDB=∠MEF,∠MBD=∠MFE,然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等,根据全等三角形对应边相等可得MB=MF,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可.
【详解】
(1)如图(2),连接AM,由已知得△ABD≌△ACE,
∴AD=AE,AB=AC,∠BAD=∠CAE.
∵MD=ME,
∴∠MAD=∠MAE,
∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE,
即∠BAM=∠CAM.
在△ABM和△ACM中,
AB=AC,
∠BAM=∠CAM,
AM=AM,
∴△ABM≌△ACM(SAS),
∴MB=MC.
(2)MB=MC.
理由如下:如图(3),延长CM交DB于F,延长BM到G,使得MG=BM,连接CG.
∵CE∥BD,
∴∠MEC=∠MDF,∠MCE=∠MFD.
∵M是ED的中点,
∴MD=ME.
在△MCE和△MFD中,
∠MCE=∠MFD,
∠MEC=∠MDF,
MD=ME,
∴△MCE≌△MFD(AAS).
∴MF=MC.
∴在△MFB和△MCG中,
MF=MC,
∠FMB=∠CMG,
BM=MG,
∴△MFB≌△MCG(SAS).
∴FB=GC,∠MFB=∠MCG,
∴CG∥BD,即G、C、E在同一条直线上.
∴∠GCB=90°.
在△FBC和△GCB中,
FB=GC,
∠FBC=∠GCB,
∴△FBC≌△GCB(SAS).∴FC=GB.
∴MB=1
2GB=
1
2
FC=MC.
(3)MB=MC还成立.
如图(4),延长BM交CE于F,延长CM到G,使得MG=CM,连接BG.
∵CE∥BD,
∴∠MDB=∠MEF,∠MBD=∠MFE.
又∵M是DE的中点,
∴MD=ME.
在△MDB和△MEF中,
∠MDB=∠MEF,
∠MBD=∠MFE,
MD=ME,
∴△MDB≌△MEF(AAS),
∴MB=MF.
∵CE∥BD,
∴∠FCM=∠BGM.
在△FCM和△BGM中,
CM=MG,
∠CMF=∠GMB,
MF=MB,
∴△FCM≌△BGM(SAS).
∴CF=BG,∠FCM=∠BGM.
∴CF//BG,即D、B、G在同一条直线上.
在△CFB和△BGC中,
CF=BG,
∠FCB=∠GBC,
CB=BC,
∴△CFB≌△BGC(SAS).
∴BF=CG.
∴MC=1
2CG=
1
2
BF=MB.
本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,等角对等边的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,以及三角形的中位线定理,综合性较强,但难度不大,作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键.
2.已知:AD 是ABC ?的高,且BD CD =. (1)如图1,求证:BAD CAD ∠=∠;
(2)如图2,点E 在AD 上,连接BE ,将ABE ?沿BE 折叠得到'A BE ?,'A B 与AC 相交于点F ,若BE=BC ,求BFC ∠的大小;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接EF ,过点C 作CG EF ⊥,交EF 的延长线于点
G ,若10BF =,6EG =,求线段CF 的长.
图1. 图2. 图3.
【答案】(1)见解析,(2)BFC ∠=60(3)8=CF . 【解析】 【分析】
(1)根据等腰三角形三线合一,易得AB=AC ,BAD CAD ∠=∠;
(2)在图2中,连接CE ,可证得BCE ?是等边三角形,60BEC ∠= ,30BED ∠=且由折叠性质可知1
'2
ABE A BE ABF ∠=∠=
∠,可得BFC FAB ABF ∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 260BED =∠=;
(3)连接CE ,过点E 分别作EH AB ⊥于点H ,EM BF ⊥于点M ,EN AC ⊥于点
N ,可证得
Rt BEM Rt CEN ???,BM CN =,BF FM CF CN -=+,可得线段CF 的长. 【详解】
解:(1)证明:如图1,AD BC ⊥,BD CD = AB AC ∴=
BAD CAD ∴∠=∠;
图1
(2)解:在图2中,连接CE
ED BC ⊥,BD CD = BE CE ∴= 又BE BC = BE CE BC ∴== BCE ∴?是等边三角形
60BEC ∴∠= 30BED ∴∠=
由折叠性质可知1
'2
ABE A BE ABF ∠=∠=
∠ 2ABF ABE ∴∠=∠ 由(1)可知2FAB BAE ∠=∠
BFC FAB ABF ∴∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 223060BED =∠=?=
图2
(3)解:连接CE ,过点E 分别作EH AB ⊥于点H ,EM BF ⊥于点M ,EN AC ⊥于点N
'ABE A BE ∠=∠,BAD CAD ∠=∠ EM EH EN ∴==
AFE BFE ∴∠=∠ 又60BFC ∠= 60AFE BFE ∴∠=∠=
在Rt EFM ?中,
906030FEM ∠=-= 2EF FM ∴=
令FM m =,则2EF m = 62FG EG EF m ∴=-=- 同理1
2
FN EF m =
=,2124CF FG m ==- 在Rt BEM ?和Rt CEN ?中,EM EN =,BE CE = Rt BEM Rt CEN ∴???
BM CN ∴=
BF FM CF FN ∴-=+ 10124m m m ∴-=-+ 解得1m = 8CF ∴=
图3
故答案为(1)见解析,(2)BFC ∠= 60(3)8CF =. 【点睛】
本题考查翻折的性质,涉及角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识点,属于较难的题型.
3.定义:如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.
(1)如图1,在△ABC 中,AB =AC ,点D 在AC 边上,且AD =BD =BC ,求∠A 的大小; (2)在图1中过点C 作一条线段CE ,使BD ,CE 是△ABC 的三分线;在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数;
(3)在△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分线,点D在BC边上,点E在AC 边上,且AD=BD,DE=CE,请直接写出∠C所有可能的值.
【答案】(1)∠A=36°;(2)如图所示:见解析;(3)如图所示:见解析;∠C为20°或40°的角.
【解析】
【分析】
(1)利用等边对等角得到三对角相等,设∠A=∠ABD=x,表示出∠BDC与∠C,列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即可确定出∠A的度数.
(2)根据(1)的解题过程作出△ABC的三等分线;45°自然想到等腰直角三角形,过底角一顶点作对边的高,发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形.直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形;第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角,则另一底角被分为45°和22.5°,再以22.5°作为等腰三角形的底角,易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形;
(3)用量角器,直尺标准作30°角,而后确定一边为BA,一边为BC,根据题意可以先固定BA的长,而后可确定D点,再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边,兼顾A、E、C 在同一直线上,易得2种三角形ABC;根据图形易得∠C的值;
【详解】
(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∵BD=BC=AD,
∴∠A=∠ABD,∠C=∠BDC,
设∠A=∠ABD=x,则∠BDC=2x,∠C=180?-x
2
,
可得2x=180?-x
2
,
解得:x=36°,
则∠A=36°;
(2)根据(1)的解题过程作出△ABC的三等分线,如图1;
由45°自然想到等腰直角三角形,有两种情况,
①如图2,过底角一顶点作对边的高,形成一个等腰直角三角形和直角三角形.直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形;
②如图3,以一底角作为新等腰三角形的底角,则另一底角被分为45°和22.5°,再以22.5°作为等腰三角形的底角,易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形;
(3)如图4所示:
①当AD =AE 时, ∵2x +x =30°+30°, ∴x =20°; ②当AD =DE 时, ∵30°+30°+2x +x =180°, ∴x =40°;
综上所述,∠C 为20°或40°的角. 【点睛】
本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
4.某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:设(090BAC θθ∠=?<).现把小棒依次摆放在两射线之间,并使小棒两端分别落在射线AB 、AC 上.
活动一、如图甲所示,从点1A 开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在端点处互相垂直(12A A 为第1根小棒) 数学思考:
(1)小棒能无限摆下去吗?答: (填“能”或“不能”)
(2)设11223AA A A A A ==,求θ的度数;
活动二:如图乙所示,从点1A 开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中12A A 为第一根小棒,且121A A AA =. 数学思考:
(3)若已经摆放了3根小棒,则213A A A ∠= ,423
A A A ∠= ,43 A A C ∠= ;(用含θ的式子表示)
(4)若只能摆放5根小棒,则θ的取值范围是 .
【答案】(1)能;(2)θ=22.5°;(3)2θ,3θ,4θ;(4)15°≤θ<18°. 【解析】 【分析】
(1)由小棒与小棒在端点处互相垂直,即可得到答案;
(2)根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质,即可得到答案;
(3)由121A A AA =,得∠AA 2A 1=∠A 2AA 1=θ,从而得213A A A ∠=∠AA 2A 1+∠A 2AA 1=2θ,同理得
423 A A A ∠=∠A 2AA 1+231A A A ∠=θ+2θ=3θ,43 A A C ∠=∠A 2AA 1+243 A A A ∠=θ+3θ=4θ;
(4)根据题意得:5θ<90°且6θ≥90°,进而即可得到答案. 【详解】
(1)∵小棒与小棒在端点处互相垂直即可, ∴小棒能无限摆下去, 故答案是:能;
(2)∵A 1A 2=A 2A 3,A 1A 2⊥A 2A 3, ∴∠A 2A 1A 3=45°, ∴∠AA 2A 1+θ=45°, ∵AA 1=A 1A 2
∴∠AA 2A 1=∠BAC=θ, ∴θ=22.5°; (3)∵121A A AA =, ∴∠AA 2A 1=∠A 2AA 1=θ,
∴213A A A ∠=∠AA 2A 1+∠A 2AA 1=2θ, ∵3122A A A A =,
∴213A A A ∠=231A A A ∠=2θ,
∴423
A A A ∠=∠A 2AA 1+231A A A ∠=θ+2θ=3θ, ∵3342A A A A =,
∴423
A A A ∠=243 A A A ∠=3θ, ∴43
A A C ∠=∠A 2AA 1+243 A A A ∠=θ+3θ=4θ, 故答案是:2θ,3θ,4θ;
(4)由第(3)题可得:645
A A A ∠=5θ,65 A A C ∠=6θ, ∵只能摆放5根小棒, ∴5θ<90°且6θ≥90°, ∴15°≤θ<18°. 故答案是:15°≤θ<18°.
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形外角的性质,掌握等腰三角形的底角相等且小于90°,是解题的关键.
5.如图,在平面直角坐标系中,A (﹣3,0),点 B 是 y 轴正半轴上一动点,点C 、D 在 x 正半轴上.
(1)如图,若∠BAO =60°,∠BCO =40°,BD 、CE 是△ABC 的两条角平分线,且BD 、CE 交于点F ,直接写出CF 的长_____.
(2)如图,△ABD 是等边三角形,以线段BC 为边在第一象限内作等边△BCQ ,连接 QD 并延长,交 y 轴于点 P ,当点 C 运动到什么位置时,满足 PD =
2
3
DC ?请求出点C 的坐标; (3)如图,以AB 为边在AB 的下方作等边△ABP ,点B 在 y 轴上运动时,求OP 的最小值.
【答案】(1)6;(2)C 的坐标为(12,0);(3)32
. 【解析】 【分析】
(1)作∠DCH =10°,CH 交 BD 的延长线于 H ,分别证明△OBD ≌△HCD 和△AOB ≌△FHC ,
根据全等三角形的对应边相等解答;
(2)证明△CBA ≌△QBD ,根据全等三角形的性质得到∠BDQ =∠BAC =60°,求出 CD ,得到答案;
(3)以 OA 为对称轴作等边△ADE ,连接 EP ,并延长 EP 交 x 轴于点 F .证明点 P 在直线 EF 上运动,根据垂线段最短解答. 【详解】
解:(1)作∠DCH =10°,CH 交 BD 的延长线于 H , ∵∠BAO =60°, ∴∠ABO =30°, ∴AB =2OA =6,
∵∠BAO =60°,∠BCO =40°, ∴∠ABC =180°﹣60°﹣40°=80°, ∵BD 是△ABC 的角平分线, ∴∠ABD =∠CBD =40°,
∴∠CBD =∠DCB ,∠OBD =40°﹣30°=10°, ∴DB =DC , 在△OBD 和△HCD 中,
==OBD HCD DB DC ODC HDC ∠∠??
=??∠∠?
∴△OBD ≌△HCD (ASA ), ∴OB =HC , 在△AOB 和△FHC 中,
==ABO FCH OB HC AOB FHC ∠∠??
=??∠∠?
∴△AOB ≌△FHC (ASA ), ∴CF=AB=6, 故答案为6;
(2)∵△ABD 和△BCQ 是等边三角形, ∴∠ABD =∠CBQ =60°,
∴∠ABC =
∠DBQ , 在△CBA 和△QBD 中,
BA BD ABC DBQ BC BQ =??
∠=∠??=?
∴△CBA ≌△QBD (SAS ), ∴∠BDQ =∠BAC =60°, ∴∠PDO =60°, ∴PD =2DO =6, ∵PD =
2
3
DC , ∴DC =9,即 OC =OD+CD =12, ∴点 C 的坐标为(12,0);
(3)如图3,以 OA 为对称轴作等边△ADE ,连接 EP ,并延长 EP 交 x 轴于点F . 由(2)得,△AEP ≌△ADB , ∴∠AEP =∠ADB =120°, ∴∠OEF =60°, ∴OF =OA =3,
∴点P 在直线 EF 上运动,当 OP ⊥EF 时,OP 最小, ∴OP =
12OF =32
则OP 的最小值为
3
2
.
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,垂线段最短,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
6.如图,已知ABC ?()AB AC BC <<,请用无刻度直尺和圆规,完成下列作图(不要求写作法,保留作图痕迹):
(1)在边BC 上找一点M ,使得:将ABC ?沿着过点M 的某一条直线折叠,点B 与点
C 能重合,请在图①中作出点M ;
(2)在边BC 上找一点N ,使得:将ABC ?沿着过点N 的某一条直线折叠,点B 能落在边AC 上的点D 处,且ND AC ⊥,请在图②中作出点N . 【答案】(1)见详解;(2)见详解. 【解析】 【分析】
(1)作线段BC 的垂直平分线,交BC 于点M ,即可;
(2)过点B 作BO ⊥BC ,交CA 的延长线于点O ,作∠BOC 的平分线交BC 于点N ,即可. 【详解】
(1)作线段BC 的垂直平分线,交BC 于点M ,即为所求.点M 如图①所示: (2)过点B 作BO ⊥BC ,交CA 的延长线于点O ,作∠BOC 的平分线交BC 于点N ,即为所求.点N 如图②所示:
【点睛】
本题主要考查尺规作图,掌握尺规作线段的中垂线和角平分线,是解题的关键.
7.如图,在等边三角形ABC 的外侧作直线AP ,点C 关于直线AP 的对称点为点D ,连接
AD,BD,其中BD交直线AP于点E.
(1)依题意补全图形;
(2)若∠PAC=20°,求∠AEB的度数;
(3)连结CE,写出AE,BE,CE之间的数量关系,并证明你的结论.
【答案】(1)补图见解析;(2)60°;(3)CE+AE=BE.
【解析】
【分析】
(1)根据题意补全图形即可;
(2)根据轴对称的性质可得AC=AD,∠PAC=∠PAD=20°,根据等边三角形的性质可得AC=AB,∠BAC=60°,即可得AB=AD,在△ABD 中,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D的度数,再由三角形外角的性质即可求得∠AEB的度数;
(3)CE +AE=BE,如图,在BE上取点M使ME=AE,连接AM,设∠EAC=∠DAE=x,类比(2)的方法求得∠AEB=60°,从而得到△AME为等边三角形,根据等边三角形的性质和SAS即可判定△AEC≌△AMB,根据全等三角形的性质可得CE=BM,由此即可证得CE +AE=BE.
【详解】
(1)如图:
(2)在等边△ABC中,
AC=AB,∠BAC=60°
由对称可知:AC=AD,∠PAC=∠PAD,
∴AB=AD
∴∠ABD=∠D
∵∠PAC=20°
∴∠PAD=20°
∴∠BAD=∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°
()
1
18040
2
D BAD
??
∴∠=-∠=.
∴∠AEB=∠D+∠PAD=60°
(3)CE+AE=BE.
在BE上取点M使ME=AE,连接AM,
在等边△ABC中,
AC=AB,∠BAC=60°
由对称可知:AC=AD,∠EAC=∠EAD,
设∠EAC=∠DAE=x.
∵AD=AC=AB,
∴()
1
180260
2
D BAC x x
??
∠=-∠-=-
∴∠AEB=60-x+x=60°.
∴△AME为等边三角形.
∴AM=AE,∠MAE=60°,
∴∠BAC=∠MAE=60°,
即可得∠BAM=∠CAE.
在△AMB和△AEC中,
AB AC
BAM CAE
AM AE
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△AMB≌△AEC.
∴CE=BM.
∴CE+AE=BE.
【点睛】
本题是三角形综合题,主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点,解决第三问时,通过做辅助线,把AE转化到BE 上,再证明CE=BM即可得结论.
8.在等边ABC
?中,点O在BC边上,点D在AC的延长线上且OA OD
=.
(1)如图1,若点O 为BC 中点,求COD ∠的度数; (2)如图2,若点O 为BC 上任意一点,求证AD AB BO =+.
(3)如图3,若点O 为BC 上任意一点,点D 关于直线BC 的对称点为点P ,连接
,AP OP ,请判断AOP ?的形状,并说明理由.
【答案】(1)30;(2)见解析;(3)AOP ?是等边三角形,理由见解析. 【解析】 【分析】
(1)根据三角形的等边三角形的性质可求1
302
CAO BAC ∠=
∠=?且,90AO BC AOC ⊥∠=?,根据OA OD =,等腰三角形的性质得到D ∠的度数,再通过
内角和定理求AOD ∠,即可求出COD ∠的度数.
(2)过O 作//OE AB ,OE 交AD 于E 先证明COE ?为等边三角形,再根据等边三角形的性质求120AEO ∠=?,120DCO ∠=?,再证明()AOE DOC AAS ???,得到
CD EA =,再通过证明得到EA BO =、AB AC =通过,又因为AD AC CD =+,通过等量代换即可得到答案.
(3)通过作辅助线先证明()ODF OPF SAS ???,得到OP OD =,又因为OA OD =,得到AO=OP ,证得AOP ?为等腰三角形,如解析辅助线,由(2)可知得
AOE DOC ???得到AOE DOC ∠=∠,通过角的关系得到60AOP COE ∠=∠=°
,即可证得AOP ?是等边三角形. 【详解】
(1)∵ABC ?为等边三角形 ∴60BAC ∠=? ∵O 为BC 中点
∴1
302CAO BAC ∠=∠=?
且,90AO BC AOC ⊥∠=? ∵OA OD =
∴AOD ?中,30D CAO ∠=∠=? ∴180120AOD D CAO ∠=?-∠-∠=? ∴30COD AOD AOC ∠=∠-∠=?
(2)过O作//
OE AB,OE交AD于E ∵//
OE AB
∴60
EOC ABC
∠=∠=?
60
CEO CAB
∠=∠=?
∴COE
?为等边三角形
∴OE OC CE
==
180120
AEO CEO
∠=?-∠=?
180120
DCO ACB
∠=?-∠=?
又∵OA OD
=
∴EAO CDO
∠=∠
在AOE
?和COD
?中
AOE DOC
EAO CDO
OA OD
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴()
AOE DOC AAS
???
∴CD EA
=
∵EA AC CE
=-
BO BC CO
=-
∴EA BO
=
∴BO CD
=,
∵AB AC
=,AD AC CD
=+
∴AD AB BO
=+
(3)AOP
?为等边三角形
证明过程如下:
连接,
PC PD,延长OC交PD于F
∵P D 、关于OC 对称
∴,90PF DF PFO DFO =∠=∠=? 在ODF ?与OPF ?中,
PF DF PFO DFO OF OF =??
∠=∠??=?
∴()ODF OPF SAS ??? ∴OP OD =,POC DOC ∠=∠ ∵OA OD = ∴AO=OP
∴AOP ?为等腰三角形
过O 作//OE AB ,OE 交AD 于E 由(2)得AOE DOC ??? ∴AOE DOC ∠=∠ 又∵POC DOC ∠=∠ ∴AOE POF ∠=∠
∴AOE POE POF POE ∠+∠=∠+∠ 即AOP COE ∠=∠ ∵AB ∥OE ,∠B=60° ∴60COE B ∠=∠=? ∴60AOP COE ∠=∠=° ∴AOP ?是等边三角形. 【点睛】
本题是考查了全等三角形和等边三角形的综合性问题,灵活应用全等三角形的性质得到边与角的关系,以及等边三角形的性质是解答此题的关键.
9.如图,在等边△ABC 中,线段AM 为BC 边上的高,D 是AM 上的点,以CD 为一边,在CD 的下方作等边△CDE ,连结BE .
(1)填空:∠ACB=____;∠CAM=____;
(2)求证:△AOC≌△BEC;
(3)延长BE交射线AM于点F,请把图形补充完整,并求∠BFM的度数;
(4)当动点D在射线AM上,且在BC下方时,设直线BE与直线AM的交点为F.∠BFM 的大小是否发生变化?若不变,请在备用图中面出图形,井直接写出∠BFM的度数;若变化,请写出变化规律.
【答案】(1)60°,30°;(2)答案见解析;(3)60°;(4)∠BFM=60°.
【解析】
【分析】
(1)根据等边三角形的性质即可进行解答;
(2)根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD,根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC;
(3)补全图形,由△ADC≌△BEC得∠CAM=∠CBE=30°,由三角形内角和定理即可求得
∠BFM的度数;
(4)画出相应图形,可知当点D在线段AM的延长线上且在BC下方时,如图,可以得出△ACD≌△BCE,进而得到∠CBE=∠CAD=30°,据此得出结论.
【详解】
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°;
∴线段AM为BC边上的高,
∴∠CAM=1
2
∠BAC=30°,
故答案为60,30°;
(2)∵△ABC与△DEC都是等边三角形,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE,
∴∠ACD=∠BCE.
在△ADC和△BEC中,
AC BC
ACD BCE
CD CE
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△ACD≌△BCE(SAS);
(3)补全图形如下:
由(1)(
2)得∠CAM=30°,△ADC≌△BEC,
∴∠CBE=∠CAM=30°,
∵∠BMF=90°,
∴∠BFM=60°;
(4)当动点D在射线AM上,且在BC下方时,画出图形如下:
∵△ABC与△DEC都是等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
AC BC
ACD BCE
CD CE
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠CBE=∠CAD=30°,
又∵∠AMC=∠BMO,
∴∠AOB=∠ACB=60°.
即动点D在射线AM上时,∠AOB为定值60°.