选修4-4坐标系与参数方程学案资料

§4.1.2极坐标系（1）

学习目的：1、理解极坐标的概念；

2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系

中刻画点的位置的区别；

学习重点：理解极坐标的意义

学习难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置

学习过程：

一、新知导入：

情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

⑴他向东偏60方向走120m后到达什么位置？该位置惟

一确定吗？

⑵如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？

问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎

样的坐标系呢？

问题2：如何刻画这些点的位置？

二、建构数学：

1、极坐标系的建立：

在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O称为，射线OX称为。）

2、极坐标系内一点的极坐标的规定

3、负极径的规定

ρθ是点M的极坐标，那么点M也可表示一般地，如果(,)

成：。

三、例题讲解

例1： 写出下图中各点的极坐标

思考：

①平面上一点的极坐标是否唯一？

②若不唯一，那有多少种表示方法？

③坐标不唯一是怎么引起的？

④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？

变式训练：在上面的极坐标系里描出下列各点45(3,0),(6,2),(3,

),(5,),(3,),(4,)236A B C D E F πππππ 例2：在极坐标系中，

⑴已知两点5(5,),(1,)44

P Q ππ，求线段PQ 的长度； ⑵已知M 的极坐标为(,)ρθ且,3R πθρ=

∈，说明满足上述条件的点M 所组成的图形。

变式训练：若,A B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长以及AOB ?的面积。（O 为极点）

例3 已知(,)P ρθ，分别按下列条件求出点P 的极坐标。

⑴P 是点Q 关于极点O 的对称点；

⑵P 是点Q 关于直线2π

θ=的对称点；

⑶P 是点Q 关于极轴的对称点。

变式训练：在极坐标系中，与点)6,

8(π-关于极点对称的点的一个坐标是 四、布置作业P 16 3，5 ，10

§4.1.2极坐标系（2）

学习目的：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式

学习重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解

学习难点：互化关系式的掌握

学习过程：

一、新知引入：

1、怎样建立极坐标系？极径和极角的几何意义是什么？

情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;

情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便

问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？

问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？

二、建构数学

直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在

两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P 的直角坐

标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以

得到如下两组公式：

cos sin x y ρθρθ=??=? 222tan x y y x ρθ?=+??=??

注：1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式

2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取πθρ20,0<≤≥。

3、互化公式的三个前提条件

（1 ）极点与直角坐标系的原点重合;

（2 ）极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;

（3 ）两种坐标系的单位长度相同。

三、例题讲解

例1、把下列点的极坐标化为直角坐标：

（1）M )32,

8(π ; （2）76,4N π?? ???

例2、把下列点的直角坐标化成极坐标：

（1）P ; (2)(Q （3）R

例3、若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴,建立直角坐标系.

(1) 已知A 的极坐标),3

5,4(π求它的直角坐标； (2) 已知点B 和点C 的直角坐标为(2,2)(0,15)--和，求它们的极坐标.

(0,02)ρθπ>≤<

(3)在极坐标系中,已知),6,2(),6,

2(ππ-B A 求,A B 两点的距离.

例4、在极坐标系中,已知两点)32,6(),6,

6(ππB A 。求,A B 中点的极坐标.

四、布置作业

课本

P 17 6, 7, 8，11

§4.2.1 曲线的极坐标方程的意义

学习目的：

1、掌握极坐标方程的意义

2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程

学习重、难点：

掌握极坐标方程的意义

学习过程：

一、新知导入：

1、引例：以极点O 为圆心，5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都

在这个圆上。

因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程5=ρ来表示。

2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？

二、新知学习：

1、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有 极坐标适合方程0),(=θρf ,且极

坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方

程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。

2、求曲线的极坐标方程的步骤：

第一步 建立适当的极坐标系；

第二步 在曲线上任取一点(,);P ρθ

第三步 根据曲线上的点所满足的条件写出等式；

第四步 用极坐标,ρθ表示上述等式，并化简得极坐标方程；

第五步 证明所得的方程是曲线的极坐标方程。

三、新知运用：

例1．求经过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程。

变式训练：已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。

例2．求圆心在)0,3(A 且过极点的圆A 的极坐标方程。

变式训练：求圆心在)2,

3(πA 且过极点的圆A 的极坐标方程。

例3．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程，

（2）化极坐标方程)3cos(6πθρ-

= 为直角坐标方程。

四、课堂作业：课本第32页4、5题。

§4.2.1常见曲线的极坐标方程

学习目标：1、了解掌握极坐标系中直线和圆的方程

2、巩固求曲线方程的方法和步骤

学习重点：求直线与圆的极坐标方程

学习过程：

一、新知导入：

情境1：3cos =θρ , 5=ρ, sin 2ρθ=, πθ4

3=分别表示什么曲线？ 情境2：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化，它们的方程分别是什么？

二、新知学习：

1、若直线l 经过),(00θρM ，且直线l 的倾斜角为α，求直线l 的极坐标方程。运用此结果可以推出哪些特殊位置的直线的极坐标方程。

2、若圆心的坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的极坐标方程。运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程。

二、 新知运用：

例1、 按下列条件写出直线的极坐标方程：

（1） 经过极点和点)6,3(π

C 的直线；

（2） 经过点(4,)B π，且垂直于极轴的直线；

（3） 经过点(8,)6C π

，且平行于极轴的直线；

（4） 经过点D ，且倾斜角为2

3π的直线。

例2、 按下列条件写出圆的极坐标方程：

（1）以(3,0)A 为圆心，且过极点的圆；

（2）以(8,)2B π

为圆心，且过极点的圆；

（3）以极点O 与点(4,0)C -连接的线段为直径的圆；

（4）圆心在极轴上，且过极点与D 的圆。

例3在圆心的极坐标为)0,4(A , 半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹方程。

四、课堂作业：课本第32页1,2题。

§4.4.1参数方程

学习目的：1．了解参数方程的定义，了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义；

2．理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数

方程及其简单应用；

学习重点：理解参数方程的概念；

学习难点：理解直线、圆、椭圆的参数方程及其应用。

学习过程：

一、新知导入：

设炮弹发射角为α，发射初速度为o v ，怎样求弹道曲线的方程（空气阻力不计）？

二、新知学习：

1、 参数方程的定义：

一般地，在取定的坐标中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：

???==)

()(t g y t f x 反过来，对于t 的每个允许值，由函数式：

?

??==)()(t g y t f x 所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，那么方程

?

??==)()(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数

2、 关于参数几点说明：

（1） 参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。

（2） 同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样

（3） 在实际问题中要确定参数的取值范围

3、 参数方程的意义：

参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标。

4、 参数方程求法

（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x

（2）选取适当的参数

（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式

5、 关于参数方程中参数的选取

选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。

与运动有关的问题选取时间t 做参数

与旋转的有关问题选取角θ做参数

或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。

三、新知应用

例1．求椭圆的参数方程（见教材P.43例1）

变式训练1、已知椭圆??

?==θθsin 2cos 3y x (θ为参数) 求 （1）6π

θ=时对应的点P 的坐标

（2）直线OP 的倾斜角

§4.4.2参数方程与普通方程的互化

学习目的：会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

学习重点：参数方程与普通方程的互化

学习难点：如何进行互化，参数的取值范围的确定

学习过程：

例1：化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。

（1）3521x t y t =-??=-+?（t 是参数） （2）222x pt y pt

?=?=?（t 是参数，p 是正常数）

（3）1212a x t t b y t t ???=+ ?????????=- ?????

（a 、b 为正常数，t 为参数）（4）[)2sin ,0,2cos x y θθπθ=?∈?=?

注：①参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：

（1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数

（2） 三角法：利用三角恒等式消去参数

（3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

②化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。

例2 、已知直线过点),(00y x P ，且倾斜角为α()2πα≠

，写出直线的普通方程，并选择适

当的参数将它化为参数方程。

例3、选择适当的参数，将圆的方程222

()()x a y b r -+-=化为参数方程。

布置作业：课本第56页 2， 3, 4， 6

§4.4.3参数方程的应用

学习目的：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题。

学习重点：参数方程的应用。

学习难点：合理地选择参数求点的轨迹。

学习过程：

一、新知导入：

如何利用曲线的参数方程来研究曲线的相关性质？

二、新知学习：

1、应用参数方程来求最值的一般步骤是：

2、应用参数法求轨迹方程的一般步骤是：

3、常见的几种参数的选择方法：

三、新知应用

例1：已知M 是椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>上在第一象限的点，(),0A a 和()0,B b 是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值。

变式：(1) AB 为过椭圆116

252

2=+y x 中心的弦，1F ，2F 为焦点，求△ABF 1面积的最大值。