方程与不等式之一元二次方程经典测试题及答案解析

方程与不等式之一元二次方程经典测试题及答案解析

一、选择题

1．若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（ ）

A ．有两个不相等的实数根

B ．有两个相等的实数根

C ．无实数根

D ．无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】

利用一次函数性质得出k ＞0，b≤0，再判断出△=k 2-4b ＞0，即可求解.

【详解】

解：Q 一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限， 0k ∴>，0b ≤，

240k b ∴?=->，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：A ．

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键.

2．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( ) A ．m ＜1

B ．m ＞﹣1

C ．m ＞1

D ．m ＜﹣1

【答案】C

【解析】

试题解析：关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根， ()2

24241440b ac m m ?=-=--??=-<，

解得： 1.m >

故选C ．

3．对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），下列说法：

①若b ＝ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根；

②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则方程x 2﹣bx +ac ＝0也一定有两个不等的实数根；

③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac +b +1＝0成立；

④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中正确的（ ）

A ．只有①②③

B ．只有①②④

C ．①②③④

D ．只有③④

【答案】B

【解析】

【分析】

判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=-24b ac 的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示0x ．

【详解】

解：①若b =，方程两边平方得b 2＝4ac ，即b 2﹣4ac ＝0，所以方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根；

②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则b 2﹣4ac ＞0

方程x 2﹣bx +ac ＝0中根的判别式也是b 2﹣4ac ＞0，所以也一定有两个不等的实数根； ③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac 2+bc +c ＝0成立，

当c ≠0时ac +b +1＝0成立；当c ＝0时ac +b +1＝0不成立；

④若x 0是一元二次方程ax 2

+bx +c ＝0的根，可得0x ， 把x 0的值代入（2ax 0+b ）2，可得b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，

综上所述其中正确的①②④．

故选：B ．

【点睛】

此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示0x ，整体代入求2204(2)b ac ax b -=+．

总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△0>?方程有两个不相等的实数根；

（2）△0=?方程有两个相等的实数根；

（3）△0

4．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ） A ．-41

B ．-35

C ．39

D ．45

【答案】C

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a 3ab 8b 2a ++-变形为2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．

【详解】

∵a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，

∴a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，

∴22a 3ab 8b 2a ++-

=2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2

=2×0+3×（-1）+8×5+2

=39．

故选：C ．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x 2，则x 1+x 2=b a -

，x 1·x 2=c a

；熟练掌握韦达定理是解题关键．

5．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）

A ．5x >

B ．5x <-

C ．3x ≥-

D ．3x ≤-

【答案】D

【解析】

【分析】

由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．

【详解】

∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a 取何值，x ≤﹣3．

故选D ．

【点睛】

本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．

6．若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）

A ．k ≠0

B ．k ＞4

C ．k ＜4

D ．k ＜4且k ≠0

【答案】C

【解析】

【分析】

根据判别式的意义得到△=（-4）2-4k ＞0，然后解不等式即可．

【详解】

∵关于x 的一元二次方程2x 4x k 0-+=有两个不相等的实数根，

∴2=(-4)40k ?-＞

解得：k ＜4．

故答案为：C ．

【点睛】

本题考查的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，解题关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．

7．已知一元二次方程12()( )0a x x x x --=（a≠0，x 1≠x 2）与一元一次方程 0dx e +=有一

个公共解x=x 1，若一元二次方程()12()()

0a x x x x dx e --++=有两个相等的实数根，则（ ）

A ．()12a x x d -=

B ．()21a x x d -=

C ．()212a x x d -=

D ．()2

21a x x d -= 【答案】B

【解析】

【分析】 由x=x 1是方程12()( )0a x x x x --=（a≠0，x 1≠x 2）与 0dx e +=的一个公共解可得x=x 1是

方程()12()()

0a x x x x dx e --++=的一个解，根据一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 1=12()ax ax d a

-+--

，整理后即可得答案． 【详解】 ∵12()( )0a x x x x --=（a≠0，x 1≠x 2）与 0dx e +=有一个公共解x=x 1，

∴x=x 1是方程()12()()

0a x x x x dx e --++=的一个解， ()2121212 ()0()()a x x x x dx e ax ax ax d x ax x e --++=-+-++=，

∵一元二次方程()12()()

0a x x x x dx e --++=有两个相等的实数根， ∴x 1+x 1=12()ax ax d a

-+--

， ∴a(x 2-x 1)=d ，

故选：B ．

【点睛】 本题考查一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系，若方程的两个根为x 1、x 2，那么x 1+x 2=b a -，x 1·x 2=c a

；熟练掌握韦达定理是解题关键．

8．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）

A ．原数与对应新数的差不可能等于零

B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大

C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30

D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大

【答案】D

【解析】

【分析】

设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．

【详解】

解：设原数为m ，则新数为

21100

m ， 设新数与原数的差为y 则2211100100

y m m m m =-

=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵10100

-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===??? ???

时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，21100

m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．

故答案选：D ．

【点睛】

本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．

9．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()22

240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程1311y a y y

+-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6-

B ．4-

C ．2-

D ．2

【答案】C

【解析】

【分析】

由一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程1311y a y y

+-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】

方程()22

240x a x a --+=有实数解， ∴△=4(a ?4)2?4a 2?0，

解得a ?2

∴满足条件的a 的值为?4，?2，?1，0，1，2

方程1311y a y y

+-=-- 解得y=2

a +2 ∵y 有整数解

∴a=?4，0，2，4，6

综上所述，满足条件的a 的值为?4，0，2，

符合条件的a 的值的和是?2

故选：C

【点睛】

本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．

10．在解方程（x+2）（x ﹣2）=5时，甲同学说：由于5=1×5，可令x+2=1，x ﹣2=5，得方程的根x 1=﹣1，x 2=7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x 2﹣9=0，再分解因式，即（x+3）（x ﹣3）=0，得方程的根x 1=﹣3，x 2=3．对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是..（ ）

A ．甲错误，乙正确

B ．甲正确，乙错误

C ．甲、乙都正确

D ．甲、乙都错误

【答案】A

【解析】（x+2）（x ﹣2）=5，

x 2-4=5，

x 2-9=0，

（x+3）（x-3）=0，

x+3=0或x-3=0，

x 1=-3，x 2=3，

所以甲错误，乙正确，

故选A.

11．关于x 的一元二次方程220x ax --=的根的情况（ ）

A ．有两个实数根

B ．有两个不相等的实数根

C ．没有实数根

D ．由a 的取值确定

【答案】B

【解析】

【分析】

计算出方程的判别式为△=a 2+8，可知其大于0，可判断出方程根的情况．

【详解】

方程220x ax --=的判别式为280a ?=+>，所以该方程有两个不相等的实数根，

故选：B ．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的情况是解题的关键．

12．欧几里得的《原本》记载，形如22x ax b +=的方程的图解法是：画Rt ABC ?，使90ACB ∠=o ，2a BC =，AC b =，再在斜边AB 上截取2

a BD =.则该方程的一个正根是（ ）

A ．AC 的长

B ．AD 的长

C ．BC 的长

D ．CD 的长

【答案】B

【解析】

【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB 的长，进而求得AD 的长,即可发现结论. 【解答】用求根公式求得：22221244;b a a b a a x x -+-+-== ∵90,2a C BC AC b ∠=?=

=，， ∴2

24

a AB

b =+， ∴2222

4.42a a b a a AD b +-=+-= AD 的长就是方程的正根.

故选B.

【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.

13．如图，幼儿园计划用30m 的围栏靠墙围成一个面积为100m 2的矩形小花园（墙长为15m ），则与墙垂直的边x 为（ ）

A ．10m 或5m

B ．5m 或8m

C ．10m

D ．5m

【答案】C

【解析】

【分析】

设与墙垂直的边长x 米，则与墙平行的边长为（30﹣2x ）米，根据矩形的面积公式结合矩

形小花园的面积为100m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．

【详解】

设与墙垂直的边长x 米，则与墙平行的边长为（30﹣2x ）米，

根据题意得：（30﹣2x ）x ＝100，

整理得：x 2﹣15x +50＝0，

解得：x 1＝5，x 2＝10．

当x ＝5时，30﹣2x ＝20＞15，

∴x ＝5舍去．

故选：C ．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

14．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( )

A ．()249x +=-

B ．()247x +=-

C ．()2425x +=

D ．()2

47x += 【答案】D

【解析】

【分析】

先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.

【详解】 2890x x ++=，

289x x +=-，

2228494x x ++=-+，

所以()2

47x +=，

故选D.

【点睛】

本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.

15．某种药品的价格，二月比一月下降百分比为m ，三月比二月下降百分比为x ，一月到三月的平均每月下降率为n ，则下列关系式正确的是（ ）．

A ．2x n m =-

B ．221n n m x m -+=-

C ．1x m n =--

D ．221

m m n x n -+=- 【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意分别表示三月的价格建立方程求解即可．

【详解】

解：设一月的价格为,a 则二月的价格为(1),m a - 三月的价格为(1)(1)x m a --， 而三月的价格又可表示为：2

(1),a n - 2(1)(1)(1),x m a a n ∴--=-

2

121,1n n x m

-+∴-=- 221221.11

n n n n m x m m -+-+∴=-=-- 故选B ．

【点睛】

本题考查的是含字母系数的方程的应用，同时考查分式的加减运算，掌握相关知识点是解题关键．

16．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来100元降到81元.设平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程为（ ）

A ．()2100181x +=

B ．()2811100x +=

C ．()2811100x -=

D ．()2

100181x -=

【答案】D

【解析】

【分析】

此题利用基本数量关系：商品原价×（1-平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可．

【详解】

由题意可列方程是：()2100181x -=.

故选：D.

【点睛】

此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于列出方程

17．方程x 2﹣9x +14＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）

A ．11

B ．16

C ．11或16

D ．不能确定

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用因式分解法解方程求出x 的值，再分情况讨论求解可得．

【详解】

∵x 2﹣9x +14＝0，

∴（x ﹣2）（x ﹣7）＝0，

则x ﹣2＝0或x ﹣7＝0，

解得x ＝2或x ＝7，

当等腰三角形的腰长为2，底边长为7，此时2+2＜7，不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形的腰长为7，底边长为2，此时周长为7+7+2＝16，

故选：B ．

【点睛】

此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

18．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max {a ，b }表示a 、b 中的较大的数，如：max {2，4}＝4，按照这个规定，方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解为（ ）

A ．或1

B ．1或﹣1

C ．1或1

D ．或﹣1

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意应分为x>0和x<0两种情况讨论，并列出关于x 的分式方程求解，结合x 的取值范围确定方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解即可．

【详解】

解：①当x ≥﹣x ，即x ≥0时，

∵max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1，

∴x ＝x 2﹣x ﹣1，

解得：x ＝（1<0，不符合舍去）；

②当﹣x ＞x ，即x ＜0时，﹣x ＝x 2﹣x ﹣1，

解得：x ＝﹣1（1>0，不符合舍去），

即方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解为或﹣1，

故选：D ．

【点睛】

本题考查了解分式方程，有关实数、实数运算的新定义，掌握分式方程的解法是解题的关键．

19．若关于x 的一元二次方程2304kx x --

=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．0k =

B ．13k ≥-

C ．13k ≥-且0k ≠

D ．13

k >- 【答案】C

【解析】

【分析】

根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k 的不等式，解

得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．

【详解】

∵关于x 的一元二次方程2304kx x --

=有实数根， ∴△=b 2-4ac≥0，

即：1+3k≥0， 解得：13

k ≥-，

∵关于x 的一元二次方程kx 2-2x+1=0中k≠0，

故选：C ．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．

20．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ）

A ．1a ≥

B ．1a >且5a ≠

C ．1a ≥且5a ≠

D ．5a ≠ 【答案】A

【解析】

【分析】

分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a 的范围．

【详解】

当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-14

； 当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，

所以a 的取值范围为a≥1．

故选A ．

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．