一次函数的图像及性质

一次函数（四) 一次函数图象及性质

知识点一：一次函数的图象及其画法

例1：已知一次函数2y x =,画出图象.

方法一：①列表

方法二：①列表

②描点 ③连线 ②描点 ③连线

④两种方法画出的图象 （相同或不同)；正比例函数的图象是一条 。

例2:已知一次函数1y x =+，画出它的图象。

方法一:①列表 方法二:①先求与x 轴和y 轴的交点坐标

②描点 ③连线 ②描点 ③连线

④两种方法画出的图象 (相同或不同）；一次函数的图象是一条 ;

x … -2 -1 0 1 2 … y … … （x ，y ） … …

x 0 1 y

（x ，y ） x … -2 —1 0 1 2 … y … … (x,y ） … …

x 0 1 y

（x ，y ）

总结归纳：

⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数)的图象是 ．

⑵由于 确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可，这种方法叫两点法． ①如果这个函数是正比例函数,通常取 两点；

②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取 两点，即直线与两坐标轴的交点．

⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上,这个图象就是一条直线l ,反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的,所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．

练习:

1、已知一次函数21y x =-，求直线与x 轴和y 轴的交点坐标，并画出它的图象。 解：（1）先求与x 轴和y 轴的交点

（2）描点 （3)连线

2、已知一次函数1y x =-+，求直线与x 轴和y 轴的交点坐标,并画出它的图象。 解:（1)先求与x 轴和y 轴的交点

(2）描点 （3）连线

知识点二：正比例函数和一次函数的性质 一、正比例函数性质 复习回顾

1、正比例函数的概念：形如y kx =（k 是常数，0k ≠）的函数叫做 ,其中k 叫做 。

2、正比例函数(1)y a x =-，其中______k =，则a 的取值范围是 。

x 0

y 0 （x ，y ） x 0

y 0

（x ，y ）

正比例函数的性质

1、画出下列正比例函数的图象

（1）2y x = （2)2y x =-

①k ＝ ，k 0 ①k ＝ ，k 0

②列表：

③描点 ④连线

2、①由图观察，正比例函数的图像是一条 。 ②函数2y x =和2y x =-经过点（0， ）(即 点),

③函数2y x =的图象从左向右 ；（填上升或下降），即随着x 的增大，y 的值 。 函数2y x =-的图象从左向右 ； (填上升或下降），即随着x 的增大，y 的值 .

3、画下列函数图象，并回答问题：

(1）3y x = （2）3y x =- 解：错误!列表

②描点 错误!描点 错误!连线 错误!连线

④由图观察,正比例函数的图像是一条 。

⑤函数3y x =和3y x =-都经过点（0， ）（即 点），

⑥函数3y x =的图象从左向右 （填上升或下降)；即随着x 的增大，y 的值 。

x 0 1 y （x ，y ） x 0 1 y （x ，y) x 0 1

y

（x ，y ） x 0 1 y （x ，y ）

②列表： ③描点 ④连线 ①列表

函数3y x =-的图象从左向右 （填上升或下降）；即随着x 的增大,y 的值 。

4、归纳正比例函数的性质

正比例函数(0)y kx k =≠的图象是一条 ，它经过 点；

正比例函数

k 的取值 大致图象

经过的象限 函数的性质

(0)y kx k =≠

0k

第 象限

y 随x 的增大

而

0k

第 象限

y 随x 的增大

而

课堂练习：

1、①正比例函数7y x =-的大致图象是 图象经过第 象限，y 随着x 的增大而 ；

②正比例函数4y x =的大致图象是 图象经过第 象限,y 随着x 的增大而 ；

③直线y x =-的大致图象 图象经过第 象限,y 随着x 的增大而 ；

⑥正比例函数1

2

y x =

图象是经过点（0， )和点（3， ）的一条 ，

它的大致图象是 图象经过第 象限，从左到右图象 （上升或下降)，y 随x 的增大而 。

2、正比例函数()2

39y a x a =-+-，求a 的取值范围。

解：∵______k =，_______b =，∴

3、正比例函数(21)y m x =-的图象经过第一、三象限,则m 的取值范围 。

4、正比例函数(21)y m x =+的图象经过第二、四象限，则m 的取值范围 。

5、已知函数(0)y kx k =≠，当3x =时，6y =，求出y 与x 之间的函数关系式，并分别求出4x =和3

x =-

时，y 的值。

二、一次函数性质

复习一次函数的概念：形如y = （,k b 是常数且 ）的函数是一次函数。 一、根据图象探索k 的性质

1、用两点法分别画出下列一次函数的图象

（1）1y x =+ (2）1y x =-

①k ＝ ,k 0 ①k ＝ ，k 0

②列表：

③描点

④连线

（3）1y x =-+ （4）1y x =--

①k ＝ ，k 0 ①k ＝ ，k 0

②列表：

③描点 ④连线

2、①由上面四个图观察看出，一次函数的图象是一条 。

②一次函数1y x =+中_____k =；1y x =-中_____k =；它们的____0k 。

两个图象相同之处:图象从左向右 ;（填上升或下降），即y 随着x 的增大而 。(____0k ）

x y (x ，y ） x y （x,y ） x y (x,y)

x y (x ，y ） ②列表：③描点 ④连线

②列表： ③描点 ④连线

③一次函数1y x =-+中_____k =；1y x =--中_____k =；它们的____0k 。

两个图象相同之处：图象从左向右 ；（填上升或下降)，即y 随着x 的增大而 .(____0k ）

3、归纳一次函数k 的性质：

当0k >时，直线y kx b =+从左向右 ;即y 随着x 的增大而 。 当0k <时，直线y kx b =+从左向右 ；即y 随着x 的增大而 。

4、练习：

(1)直线31y x =-+由左至右 ，y 随x 的增大而 （2）直线21y x =-由左至右 ,y 随x 的增大而 （3)直线45y x =-+由左至右 ，y 随x 的增大而

二：探索一次函数b 的性质

1、用两点法分别画出下列一次函数的图象

(1)21y x =+ （2)2y x =-

①k ＝ ,b ＝ ①k ＝ ，b ＝

②列表：

③描点 ④连线

⑤21y x =+与y 轴的交点坐标是（ ， ）;2y x =-与y 轴的交点坐标是（ ， )；

(3)33y x =-- （4）24y x =-+

①k ＝ ，b ＝ ①k ＝ ，b ＝

x y （x ，y ）

x y (x ，y) x

②列表：③描点 ④连线

②列表：

③描点 ④连线

⑤33y x =--与y 轴的交点坐标是（ ， )；24y x =-+与y 轴的交点坐标是( , )；

总结归纳：一次函数y kx b =+的图象、性质与k 、b 的符号

一次函数 ()0k kx b k =+≠

k ，b

符号

0k >

0k <

0b > 0b < 0b = 0b > 0b < 0b =

图象

经过象限

性质 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而

☆一次函数y=kx+b （k≠0）中k 、b 的意义：

1、k （称为斜率）的绝对值得大小决定直线y=kx+b （k≠0）的倾斜程度;k 的绝对值越大，直线与x 轴的夹角度数越大

k 的正负决定直线y=kx+b(k≠0)的倾斜方向，当0k >时，其图象从左向右 ，一定经过 、 象限;当0k <时，其图象从左向右 ，一定经过 、 象限．

2、b(称为截距）表示直线y=kx+b （k≠0）与y 轴交点的 ,也表示直线在y 轴上的 .

当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴 ，所以其图象一定经过 、 象限；当0b <时，图象与y 轴交点在x 轴 ，所以其图象一定经过 、 象限．

3、由k 、b 的符号可以确定一次函数y kx b =+的图象的大致位置;反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号．

y

（x,y ）

x y （x,y ） ②列表： ③描点 ④连线

☆同一平面内，不重合的两直线 y 1=k 1x+b 1（k 1≠0）与 y 2= k 2x+b 2（k 2≠0）的位置关系: 当 k1=k2，b1≠b2 时?两直线平行 当 k1?k2=-1 时?两直线垂直。 当 k1≠ k2 时?两直线相交 当 b1=b2 时?两直线交于y 轴上同一点。

练习：根据k 、b 的值画出函数的大致图象，写出函数性质。

（1）直线52-=x y 与y 轴交点坐标是（ ， ），____0k ，则图象从左向右 ，大致图象为 ，图象经过第 象限，y 随x 的增大而 ；

(2）直线4y x =-+与y 轴交点坐标是（ ， ），____0k ,则图象从左向右 ,大致图象为 ，图象经过第 象限,y 随x 的增大而 ；

（3）直线51y x =-与y 轴交点坐标是（ ， ），____0k ，则图象从左向右 ，大致图象为 ，图象经过第 象限，y 随x 的增大而 ;

（4）直线32y x =+与y 轴交点坐标是( , ），____0k ，则图象从左向右 ，大致图象为 ， 图象经过第 象限,y 随x 的增大而 ；

（5）直线43y x =--与y 轴交点坐标是（ ， ），____0k ，则图象从左向右 ，大致图象为 ，图象经过第 象限，y 随x 的增大而 ；

(6）直线85y x =-+与y 轴交点坐标是（ , ），____0k ，则图象从左向右 ,大致图象为 ，图象经过第 象限，y 随x 的增大而 ；

课后作业

一．选择题（共10小题）

1．正比例函数y=kx 的图象如图所示，则k 的取值范围是( ）

A．k＞0 B．k＜0 C．k＞1 D．k＜1

2．若一次函数y=(m﹣3)x+5的函数值y随x的增大而增大，则(）

A．m＞0 B．m＜0 C．m＞3 D．m＜3

3．在平面直角坐标系中，直线y=x+1经过（）

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限

4．已知函数y=kx的函数值随x的增大而增大，则函数的图象经过（）

A．第一、二象限B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限

5．已知一次函数y=﹣x+b的图象经过第一、二、四象限，则b的值可以是（）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2

6．一次函数y=2x+3的图象沿y轴向下平移2个单位，那么所得图象的函数解析式是（）

A．y=2x﹣3 B．y=2x+2 C．y=2x+1 D．y=2x

7．一次函数y=ax+b，ab＜0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是（）

A．B．C．D．

8．函数y=x﹣2的图象不经过（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限

9．在一次函数y=ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是()

A．B．C．D．

10．若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是()

A．B．C．D．

二．填空题（共5小题）

11．点（x，0）在函数y=3x+2的图象上,则x=．

12．若一次函数y=（1+m）x﹣3+m不过第二象限，则m取值范围为．

13．一次函数y=（m+2）x+1，若y随x的增大而增大,则m的取值范围是．

14．将直线y=2x﹣1沿y轴正方向平移2个单位，得到的直线的解析式为．

15．如果ab＞0，bc＜0，那么函数的图象不经过第象限．

三．解答题（共3小题)

16．已知函数y=（2m+1)x+m﹣3；

（1）若函数图象经过原点,求m的值; （2）若函数图象在y轴的截距为﹣2，求m的值；

（3）若函数的图象平行直线y=3x﹣3，求m的值；

(4）若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,求m的取值范围．

17．已知一次函数y=(2m+4）x+（3﹣n）．

（1）当m、n是什么数时，y随x的增大而增大；（2)当m、n是什么数时，函数图象经过原点；(3）若图象经过一、二、三象限，求m、n的取值范围．

18．已知函数y=(1﹣2m)x+m+1，求当m为何值时．

（1）y随x的增大而增大？（2）图象经过第一、二、四象限？

（3）图象经过第一、三象限？（4）图象与y轴的交点在x轴的上方?