一元二次方程知识点和易错点总结
一元二次方程知识点总结
知识结构梳理
（1）含有 个未知数。
（2）未知数的最高次数是
1、概念 （3）是 方程。
（4）一元二次方程的一般形式是 。
（1） 法，适用于能化为)((0)2≥=+n n m x 的一元二次方程 （2） 法，即把方程变形为ab=0的形式， 2、解法 （a ，b 为两个因式）, 则a=0或 （3） 法
（4） 法，其中求根公式是
根的判别式
当 时，方程有两个不相等的实数根。
（5） 当 时，方程有两个相等的实数根。
当 时，方程有没有的实数根。
可用于解某些求值 （1） 一元二次方程的应用
（2） （3） 可用于解决实际问题的步骤 （4）
（5） 一元
二次方程
（6）
知识点归类
知识点一 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：1、一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。 ③未知数的最高次数是
2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？ ⑴35
22=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x 知识点二 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。 例1 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m
是一元二次方程时，则=m
知识点三 一元二次方程的解
使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
知识点四 建立一元二次方程模型
建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。
注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）
建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。
例 如图（1），有一个面积为150㎡的长方形鸡场 ，
鸡场一边靠墙（墙长18m ），另三边用竹篱笆围成，
若竹篱笆的长为35m ，求鸡场的长和宽各为多少？
鸡场
因式分解法、直接开平方法
知识点一 因式分解法解一元二次方程
如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为0；
（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。
（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：
提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。
例 用因式分解法解下列方程：
（1）x x 452=； （2）025)32(2=--x ； （3）()222596x x x -=+-。
知识点二 直接开平方法解一元二次方程
若()02≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，表示为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02
≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m
n c x -±=。 例 用直接开平方法解下列一元二次方程
（1）01692=-x ； （2）()01652=-+x ； （3）()()2
2135+=-x x （因式分解）
知识点三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程
形如()()002
≥=-+k k b ax 的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。 例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。
（1）()036542=--x ； （2）()03212
=--x
知识点四 用提公因式法解一元二次方程
把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。 如：0201.02=-t t ，将原方程变形为()0201.0=-t t ，由此可得出200,0020.0021===-=t t t t ，即或
注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。
知识点五 形如“()()为常数b a b x b a x ,02=+++”的方程的解法。
对于形如“()()为常数b a b x b a x ,02=+++”的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为()()0+++b x a x ，则00=+=+b x a x 或，即b x a x -=-=21,。
注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“()()为常数b a b x b a x ,02=+++”型方程的特征。
例 解下列方程：（1）0652=+-x x ； （2）0122=--x x
配方法
知识点一 配方法
解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
注意：用配方法解一元二次方程02=++q px x ，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。
例 用配方法解下列方程：
（1）0562=-+x x ； （2）022
72=--
x x
知识点二 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；
（2） 把原方程变为()n m x =+2的形式。 （3） 若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。
例 解下列方程：0342=+-x x