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泉港三川中学2015年自主招生考试数学题选讲（一）

本试卷满分120分，考试时间150分钟）

一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得5分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．

1 如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度不变，则以点B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 的函数图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

思路分析：分析动点P 的运动过程，采用定量分析手段，求出S 与t 的函数关系式，根据关系式可以得出结论．

解：不妨设线段AB 长度为1个单位，点P 的运动速度为1个单位，则： （1）当点P 在A→B 段运动时，PB=1-t ，S=π（1-t ）2（0≤t ＜1）； （2）当点P 在B→A 段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．

综上，整个运动过程中，S 与t 的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），

这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B 符合要求． 故选B ．

点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．

2 如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P 从点A 出发，沿折线AD-DC-CB 以每秒1个单位长的速度运动到点B 停止．设运动时间为t 秒，y=S △EPF ，则y 与t 的函数图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

思路分析：分三段考虑，①点P 在AD 上运动，②点P 在DC 上运动，③点P 在BC 上运动，分别求出y 与t 的函数表达式，继而可得出函数图象． 解：在Rt △ADE 中，AD=2213AE DE +=，在Rt △CFB 中，BC=2213BF CF +=，

①点P在AD上运动：

过点P作PM⊥AB于点M，则PM=APsin∠A=12 13

t，

此时y=1

2

EF×PM=

30

13

t，为一次函数；

②点P在DC上运动，y=1

2

EF×DE=30；

③点P在BC上运动，过点P作PN⊥AB于点N，则PN=BPsin∠B=12

13

（AD+CD+BC-t）=

12(31)

13

t-

，

则y=1

2

EF×PN=

30(31)

13

t-

，为一次函数．

综上可得选项A的图象符合．

故选A．

点评：本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式，当然在考试过程中，建议同学们直接判断是一次函数还是二次函数，不需要按部就班的解出解析式．

3已知点P（0, -3）与点Q(2a+b，a+2b)关于原点对称，则a b的值为( )

A.2

B. -2

C. 0.5

D. -0.5

4已知点P（x, x），则点P一定（）

（A）在第一象限（B）在第一或第二象限（C）在x轴上方（D）不在x轴下方

5已知数轴上三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、1、－1，那么a 1+表示（ ） （A ）A 、B 两点的距离 （B ）A 、C 两点的距离

（C ）A 、B 两点到原点的距离之和 （D ）A 、C 两点到原点的距离之和

6．如图，BE 是半径为6的

D 的

1

4

圆周，C 点是BE 上 的任意一点，ABD △是等边三角形，则四边形ABCD 的周 长p 的取值范围是（ C ）

Ａ．1218p <≤ Ｂ．1824p <≤

Ｃ．181862p <+≤

Ｄ．121262p <+≤

7．如图，O 为原点，点A 的坐标为(3，0)，点B 的坐标

为(0，4)，⊙D 过A 、B 、O 三点，点C 为弧ABO 上的一点(不与O 、A 两点

重合)，则

cos C 的值是【 D 】

A ． 3 4

B ． 3 5

C ． 4 3

D ． 4 5

8世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：

1

1 1

2 12 1

3 16 13

A O C

B y x

1 4

1

12

1

12

1

4

1 51

20

1

30

1

20

1

5

1 61

30

1

60

1

60

1

30

1

6

1 71

42

1

105

1

140

1

105

1

42

1

7

……………………………………………………

第8题图

则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ B ）

A．

1

132

B．

1

360

C．

1

495

D．

1

660

二、填空题（每小题4分，共20分）

1随意抛一粒豆子，恰好落在如图5的方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么这粒豆子落在黑色方格中的概率是.

2. 如

果将电影票上“6排3号”简记为，那么“10排10号”可表示为；表示的含义是.

【答案】;7排1号

3.

已知点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1－b），则a b的值为__________.

4如图，AC 是

O 的直径，60ACB ∠=，

连接AB ，过A

B ，两点分别作O 的切线，两切线交于点P ． 若已知⊙O 的半径为１，则PAB △的周长为 33 ．

三．能力（5

分）选做题每问5分必选一题。

1 正方形ABCD 的顶点A 在直线MN 上，点O 是对角线AC 、BD

的交点，过点O 作OE ⊥MN 于点E ，

过点B 作BF ⊥MN 于点F ．

（1）如图1，当O 、B 两点均在直线MN 上方时，易证：AF+BF=2OE （2）当正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF 、BF 、OE 之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

思路分析：（1）过点B 作BG ⊥OE 于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；

（2）选择图2，过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；选择图3同理可证． 解：（1）证明：如图，过点B 作BG ⊥OE 于G ， 则四边形BGEF 是矩形， ∴EF=BG ，BF=GE ，

在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°， ∵BG ⊥OE ，

∴∠OBG+∠BOE=90°， 60

又∵∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠OBG ，

∵在△AOE 和△OBG 中，

90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠??

∠=∠=???=?

， ∴△AOE ≌△OBG （AAS ）， ∴OG=AE ，OE=BG ，

∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE-GE=OE-BF ， ∴AF-OE=OE-BF ， ∴AF+BF=2OE ；

（2）图2结论：AF-BF=2OE ， 图3结论：AF-BF=2OE ．

对图2证明：过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ， 则四边形BGEF 是矩形， ∴EF=BG ，BF=GE ，

在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°， ∵BG ⊥OE ，

∴∠OBG+∠BOE=90°， 又∵∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠OBG ，

∵在△AOE 和△OBG 中，

90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠??

∠=∠=???=?

， ∴△AOE ≌△OBG （AAS ）， ∴OG=AE ，OE=BG ，

∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE+GE=OE+BF ， ∴AF-OE=OE+BF ， ∴AF-BF=2OE ；

若选图3，其证明方法同上．

点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．

四、解答题（共5小题，满分55分）

1（本小题10分）阅读理解：

如图1，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与点A 、点B 重合），分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题：

（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由； （2）如图2，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=2，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个强相似点E ； 拓展探究：

（3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，试探究AB 和BC 的数量关系．

（3）

利用折叠找出图中相等的线段和相等的角；由相似找出图中相等的角；可知

30=∠BCE ，由直角三角形

的性质可得EC BE 21=

,而AB CD EC ==,所以AB BE 21=，由3

3

tan ==∠BC BE BCE 可得

33

2

BC

AB

试题解析：

（2）作图如下：

考点：1、相似三角形的判定.2、利用直径所对的圆周角是直角找符合条件的点.3、三角函数.

2.（7分）如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm

（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．

-π.

【答案】（1）相切，理由见解析；（2）244

【解析】

考点：1.圆周角定理；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.切线的判定；

5.平行四边形的判定和性质；

6.扇形面积的计算；

7.转换思想的应用.

考点：1.动点问题；2. 切线的性质；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；

5.垂径定理；

6.三角形的面积；

7.分类思想的应用.

3．（本小题满分9分）

已知：如图，O 为平面直角坐标系的原点，半径为1的

B 经过点O ，且与x y ，轴分交于点A

C ，，点A

的坐标为()

30-，

，AC 的延长线与B 的切线OD 交于点D ．

（1）求OC 的长和CAO ∠的度数； （2）求过D 点的反比例函数的表达式．

3．解：（1）90AOC =∠，

AC ∴是B 的直径，2AC ∴= ······················· 1分

又

点A 的坐标为(30)-，，3OA ∴=

22222(3)1OC AC OA ∴=-=-= ··················· 2分

1

sin 2

OC CAO AC ∴=

=∠，30CAO ∴=∠ ·················· 3分 （2）如图，连接OB ，过点D 作DE x ⊥轴于点E ··············· 4分 OD 为B 的切线，

OB OD ∴⊥，90BOD ∴=∠ ······················· 5分 AB OB =，30AOB OAB ∴==∠∠，

3090120AOD AOB BOD ∴=+=+=∠∠∠，

在AOD △中，1801203030ODA OAD =--==∠∠

3OD OA ∴== ····························· 6分

在Rt DOE △中，18012060DOE =-=∠

13cos 6022OE OD OD ∴===，3sin 602

ED OD ==

∴点D 的坐标为3322??

? ???

， ·························· 7分 设过D 点的反比例函数的表达式为k

y

x

=

A B

C D E

O y x

3333

224k ∴=

?=

···························· 8分 33

4y x

∴=

································ 9分 4．（本小题满分9分）

已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC △是直角三角形，

90ACB ∠=，点A C ，的坐标分别为(30)A -，，(10)C ，，3

tan 4

BAC ∠=

． （1）求过点A B ，的直线的函数表达式；

（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB △与ABC △相似（不包括全等），并求点D 的坐标； （3）在（2）的条件下，如P Q ，分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP DQ m ==，问是否存在这样的m 使得APQ △与ADB △相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．

4．解：（1）

点(30)A -，，(10)C ，

4AC ∴=，3

tan 434

BC BAC AC =?=?=∠，B 点坐标为(13)，

········ 1分 设过点A B ，的直线的函数表达式为y kx b =+，

由0(3)3k b k b

=?-+??

=+? 得34k =，9

4b = ···················· 2分

∴直线AB 的函数表达式为39

44

y x =

+

···················· 3分 （2）如图1，过点B 作BD AB ⊥，交x 轴于点D ， 在Rt ABC △和Rt ADB △中，

BAC DAB =∠∠ Rt Rt ABC ADB ∴△∽△，

D ∴点为所求 ················· 4分

又4

tan tan 3

ADB ABC ==∠∠，

49

tan 334

CD BC ADB ∴=÷=÷=∠ ····················· 5分 134OD OC CD ∴=+=

，1304D ??∴ ???

， ···················· 6分 （3）这样的m 存在 ···························· 7分 A B C D Q

O y x P

在Rt ABC △中，由勾股定理得5AB = 如图1，当PQ BD ∥时，APQ ABD △∽△

则

1334135

34

m

m

+

-=+，解得259m = ········ 8分

如图2，当PQ AD ⊥时，APQ ADB △∽△

则

1334135

34

m

m

+

-=+

，解得12536m = ···················· 9分

5.（10分）如图所示，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，直线BD 的函数表达式为333y x =-+，抛物线的对称轴l 与直线BD 交于点C 、与x 轴交于点E ．

⑴求A 、B 、C 三个点的坐标．

⑵点P 为线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），以点A 为圆心、以AP 为半径的圆弧与线段AC 交于点M ，以点B 为圆心、以BP 为半径的圆弧与线段BC 交于点N ，分别连接AN 、BM 、MN ．

①求证：AN =BM ．

②在点P 运动的过程中，四边形AMNB 的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.

5.解：⑴令2230x x -++=，

解得：121,3x x =-=， ∴A (－1，0)，B (3，0) ······· 2分 ∵223y x x =-++=2(1)4x --+， ∴抛物线的对称轴为直线x =1，

将x =1代入333y x =-+，得y =23， ∴C （1，23）. ········ 3分 ⑵①在Rt △ACE 中，tan ∠CAE =

3CE

AE

=， ∴∠CAE =60o，

由抛物线的对称性可知l 是线段AB 的垂直平分线， ∴AC=BC ，

∴△ABC 为等边三角形， ················· 4分 ∴AB = BC =AC = 4，∠ABC=∠ACB = 60o， 又∵AM=AP ，BN=BP ， ∴BN = CM ，

A

B C D Q

O y x

P

∴△ABN ≌△BCM ，

∴AN =BM . ························ 5分 ②四边形AMNB 的面积有最小值． ············· 6分 设AP=m ，四边形AMNB 的面积为S ，

由①可知AB = BC= 4，BN = CM=BP ，S △ABC =

34

×42

=43， ∴CM=BN= BP=4－m ，CN=m ， 过M 作MF ⊥BC ,垂足为F ,

则MF =MC ?sin60o=

3

(4)2

m -， ∴S △CMN =1

2

CN MF =12m ?3(4)2m -=2334m m -+，

······· 7分 ∴S =S △ABC －S △CMN

=43－（2

334

m m -+） ·················· 8分 =

23

(2)334

m -+ ····················· 9分

初中数学试卷

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