平面向量单元复习

平面向量

【知识梳理】

（1）平面向量基本定理：如果21,e e

是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（主要应用于线性表示）

（2

),(y x 的单位向量为 a 或 ),(122y x y

x 。

（3）证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：

a ∥

b ? a ＝λb (b ≠0) ? x 1y 2－x 2y 1＝0.

(4) 证明垂直问题，常用数量积的运算性质

a ⊥

b ? a ·b ＝0 ? x 1x 2＋y 1y 2＝0.

（5

）向量数量积： cos =1212x x y y （6）求夹角问题，利用夹角公式

cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2

x 21＋y 21 x 22＋y 2

(θ为a 与b 的夹角)．知识网络

平面向量单元复习

题型一: 向量的加、减法运算及相关运算律 1.平面向量坐标的求法

已知),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB 2．平面向量的坐标运算已知),(11y x a ，),(22y x b

（1）向量的加法：b a ),(2121y y x x ，（2）向量的减法：b a ),(2121y y x x （3）向量的数乘： ),(y x a .

例1．平面内有三个已知点A(1，－2)，B(7，0)，C(－5，6)，求，，＋，

－，2 ＋，－3 ．

变式练习1：若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ，则 2= . 变式练习2：化简)()(BD AC CD AB

变式练习3：平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →

)＝0，则△

ABC 的形状是______．

定比分点问题

例2．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 2

MP MN ，求P 点的坐标

变式练习1：已知A （-2，4）、B （3,-1）、C （-3,-4）且=3,=2,求点M 、N 及的

坐标.

变式练习2：已知点A （-1，2），B （2，8）以及=

，=-

，求点C 、D 的坐标

和向量的坐标.

题型二：利用一组基底表示平面内的任一向量（平面向量基本定理）

例3．在△OAB 中，OB OD OA OC 2

,41 ，AD 与BC 交于点M ，设OA =a r ，OB =b r ，用

a r ,

b r

表示OM .

变式练习1：若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )

A ．1e 与—2e

B ．31e 与22e

C ．1e ＋2e 与1e —2e

D ．1e 与21e

变式练习2：在△ABC 中，AE =5

AB ,EF ∥BC,EF 交AC 于F,设,AB a ,,AC b ,则BF

用a 、b

表示的形式是=_________.

题型三: 三点共线（平行）问题

字母运算：向量b 与非零．．向量a 共线当且仅当有唯一．．．．．．．

一个实数，使得 a b 。坐标运算：已知),(11y x a ，),(22y x b ，则a//b

例4．设两个非零向量e 1和e 2不共线.如果AB=e 1-e 2，BC=3e 1+2e 2，CD=-8e 1-2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；

变式练习1:设21,e e 是不共线的向量,已知向量

2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB ,若A,B,D 三点共线,求k 的值

例5．已知O 为原点，A 、B 、C 为平面上的三点，求证

（1）若A 、B 、C 三点共线，则存在实数α，β且1 ，使得OC OA OB u u u r u u u r u u u r

(2) 若存在实数α，β且1 ，使得OC OA OB u u u r u u u r u u u r

，则A 、B 、C 三点共线

变式练习1：已知△A BC 的重心为G,O 为坐标原点,=a

,=b

,=c

, 求

证:=3

1( a +b +c

例6．已知向量(1sin ,1) a ，1(,1sin )2

b ，若a ∥b ，则锐角等于（） A ．30 B ． 45 C ．60 D ．75

变式练习1：

1.若向量a

=(-1,x)与b =(-x, 2)共线且方向相同，则x=_______

2.[2011·北京卷] 已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.

3.[2011·广东卷] 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝_______

变式练习2：已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及AB t OA OP ，求 (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限。

(2)四边形OABP 能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由

题型四：向量的数量积问题

①求数量积：a r b r = x 1x 2 + y 1y 2 cos b a b a

例7. 若)3,2( a ，)2,(x x b ，且43 ，则x 等于（） A 、3 B 、31 C 、3

D 、3 变式练习：

1．（2010广东）若向量a ＝(1，1)，b ＝(2，5)，c =(3,x),满足条件（8a- b ）·c =30,则x=( )

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

2.若),6,5(),3,4( b a 则 b a 4（）

A ．23

B ．57

C ．63

D ．83

3.(2010·重庆南开中学)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则a ·b ＝( )

A.1

B ．1 C.

D. 3

4. [2011·江西卷] 已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π

3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，

则b 1·b 2＝________.

5.已知a+b=2i 8j,a b=8i+16j a b= r r r r r r r r r r 那么_______（其中i,j r r

为两个相互垂直的单位向

量）

6.a=(4,7);b=(5,2) r r 则a b= r r _______

a =_____ 2a 3

b a+2b = r r r r r

_______

例8.a=(2,3),b=(-3,5)r 则a b r r

在方向上的投影为_________

变式练习1：若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( )

B.65

D.13

思考：已知一个向量，怎么求它所对应的单位向量呢？

例9． 23120o a b a b r r r r

已知，

，与的夹角为，求 2212323a b a b a b a b r r r r r r r r

（）；（）；（）（）（）

；4a b r r （）

变式练习1：1a b a b a a b r r r r r r r

已知，与垂直，求与的夹角。

变式练习2：已知△ABC ，则“0 ”是“△ABC 为钝角三角形”的________(条件) ②求模：22,a a a a a a a a a

常记为这里或

1.[2011·全国卷] 设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－1

2，则|a ＋2b |＝___________

2.[2011·重庆卷] 已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则|2e 1－e 2|＝________.

3.[2011·淄博二模] 设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于_________

4.已知向量)1 , 1( ，) , 2(n ，若 ||，则n （）

A ．3

B ．1

C ．1

D ．3

5.【2012高考新课标文15】已知向量,a b r r 夹角为45

，且1,210a a b r r r ；则_____b r

6.【2012高考江西文12】设单位向量m =（x ，y ），b =（2，-1）。若，则

=_______

③求夹角：cos =

|||b a b

例10．在 ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边；若向量(2,0)m u r 与(sin ,1cos )

n B B r

的夹角为3

，求角B 的大小

变式练习1：

1.已知向量)sin 2,cos 2( a ，)1,0(),,2

(

，则向量a 与b 的夹角为（）

A ．

23 B ． 2

C ．2

D ．

2.[2011·安徽卷] 已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．

3.[2011·湖北卷] 若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于__________

4.[2011·江西卷] 已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．

例11．已知||2||0a b r r ,且关于x 的方程2

||0x a x a b r r r 有实根,则a r 与b r 的夹角的

取值范围是 ( )

A.[0,

6 ] B.[,]3 C.2[,]33 D.[,]6

变式练习1：设非零向量a = x x 2,，b = 2,3x ，且a ，b 的夹角为钝角，求x 的取值范

围

变式练习2：已知)2,(

a ，)2,3(

b ,如果 a 与

b 的夹角为锐角,则的取值范围是

证明向量垂直（从向量内积的定义出发，夹角为90度的情形）

例12．若非零向量 u r 、 u r 满足 u r u r u r u r ，证明: u r u r

变式练习1：

1.[2011·课标全国卷] 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.

2.[2011·江苏卷] 已知e 1，e 2是夹角为2π

3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2, 若a ·b

＝0，则实数k 的值为________．

3.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（） A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件变式练习2：

1.[2011·辽宁卷] 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝________

2.【2012高考辽宁文1】已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x =________

3.【2012高考重庆文6】设x R ，向量(,1),(1,2),a x b r r 且a b r r ，则||a b r r

______

4.【2012高考安徽文11】设向量)2,1(m a ，)1,1( m b ，),2(m c ，若b c a )(，则 ||a ______

5.（江西理11）已知2a b r r ,(2)a b r r ·a b r r （）=-2，则a r 与b r 的夹角为__________

题型五：综合题与函数综合

例13． ,,a b c 为△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，(cos ,sin )22C C m u r ，(cos ,sin )22

C C n r ，

且m u r 与n r 的夹角为3

，求C ；

变式练习1：（湖北理17）．已知向量b a x f t x b x x a )(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围.

变式练习2：已知向量

与向量的对应关系用表示。

（1）设

，求向量

与

的坐标；

（2）求使的向量的坐标；

（3）证明：对任意的向量、及常数m ，n 恒有成立。

与三角函数综合

例14．已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈ π2

，3π2.

(1)若|AC →|＝|BC →

|，求角α的值；

(2)若AC →·BC →

＝－1，求2sin 2

α＋sin 2α1＋tan α的值．

变式练习1：已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；

(2)若|a |＝|b |,0＜θ＜π，求θ的值．

动点问题：

例15．已知)0,1(),0,4(N M ，若动点(,)P x y 满足6||MN MP NP u u u u r u u u r u u u r

，求动点P 的轨迹方

程.