第四章图形的相似

图形的相似

比例线段及其性质 1、定义：

对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比相等，如果a c b d

=，那么就说这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。

注意：（1）在做比之前单位要统一 （2）要有一定的顺序

例题：如四条线段的长度分别是4cm 、8cm 、3cm 、6cm 判断这四条线段是否成比例？

解：43

86

= ∴这四条线段是成比例线段

练习题：

1、如图所示：（1）求线段比AB BC 、CD DE 、AC

BE 、AC CD

（2）试指出图中成比例线段

2、线段a 、b 、c 、d 的长度分别是30mm 、2cm 、0.8cm 、12mm 判断这四条线段是否成比例？

3、线段a 、b 、c 、d 的长度分别是2、3、2、6判断这四条线段是否成比例？

4、已知A 、B 两地的实际距离是250m 若画在图上的距离是5cm ，则图上距离与实际距离的比是___________

5、已知线段a=12、 b =23+、c=23-、若a c

b x

=，则x =_________若()0b y y y c =>，则y =__________

2、比例性质：

比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下：

（1） 基本性质：如果a c

b d

=，那么ad bc =（两边同乘bd ，0bd ≠） 在0abcd ≠的情况下，还有以下几种变形 b d a c =、a b c d =、c d

a b

=

（2） 合比性质：如果a c b d =，那么a b c d

b d

±±=

（3） 等比性质：如果a c e m

b d f

n

====

()0b d f n ++++≠，那么

a c e m a

b d f n b

++++=++++

例题 填空： 如果2

3

a b =，则a =

23b 、 2a =3b 、 a b b +=53、 a b b -=13- 练习题：

1、已知

35a b =，求

a b

a b +- 2、若234

a b c ==，则23a b c a ++=_________

3、已知mx ny =，则下列各式中不正确的是（ ）

A

m x n y

= B

m n y x

= C

y m x n

= D

x y n m

= 4、已知570x y -=，则

x

y

=_______ 5、已知

345

x y z

==，求

x y z x y z +++-=________ 比例线段阶段测试：（满分20分）

一、填空题（每空1分，共6分）

1、 已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且a=3,c=4,则b=________

2、 已知两地的实际距离是400m ，画在地图上的距离（图距）为8cm 则图距：实距＝_______

3、 在ABC ?中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则a:b:c=_________

4、 在相同时刻的物高与影长成正比，如果在某时，旗杆在地上的影长为10m ，此时身高1.8m 的小明的影长是1.5m ，

则旗杆的高度为___________

5、 如图：已知菱形ADEF ，AC ＝15，AB ＝10，则CF ＝_________ 二、选择题（每题1分，共4分）

1、下列四组线段中，不成比例的是 （ ） A a=3 b=6 c=2 d=4 B a=1 b=2 c=3 d=6

C a=4 b=6 c=5 d=10

D a=2 b=3 c=2 d=6

2、在直角三角形中，若有一个锐角为30?，则这个直角三角形三边的比为 （ ） A 1：2：3

B 1：3：2

C1：3:2

D 以上答案都不对

3、如图：在梯形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，则下列不成立的是 （ ）

A

AO BO

CO DO =

B

AO DO

CO BO =

C AO BO DO CO

=

D AO DO AC BD

= 4、已知线段AB 的长为15，点C 在AB 上，且AC ：BC ＝3：2，则BC 的长为 （ ）

A 2

B 3

C 6

D 8 三、解答题（每题5分，共10分）

1、在ABC ?中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE //BC ，如果2

3

AD DB =，且AC ＝10，求AE 及EC 的长。 2、在ABC ?中，DE //BC ，EF //DC ，求证2

AD AB AF =

较难题

1、已知d c b a ++=d c a b ++=d a b c ++=a

c b d

++=k ,求k 的值；

3、已知（a+b ）：（b+c ）：（c+a ）=7：14：9

求：①a ：b ：c

4

平行线分线段成比例

1、平行线分三角形两边成比例线段

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所截得的对应线段成比例 例题:如图在ABC ?中,90C ∠=?，,3,2,5DE BC BD cm DC cm BE cm ⊥===求EA 的长 解：90C ∠=? DE BC ⊥ AC ∴//DE

∴BD BE

DC EA

=

3

,2,5BD cm DC cm

BE cm ===

∴352BD BE DC EA EA ===

∴EA =10

3

练习题：

1、 如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，如果DE =5，AE =12， AC =28.求AB 的长

2、在ABC ?中，DE //BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，F 为BC 上一点，DE 交AF 于G ，已知AD=2BD ，AE =5，求（1）

AG AF

；（2）AC 的长 3、如图：在ABC ?中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，已知AD =3，AB =5，A E=2，EC =4

3

，由此判断DE 与BC 的关系是___________,理由是____________________________ 4、 如图：AM ：MB=AN ：NC=1：3，则MN ：BC=__________

5、 如图：在ABC ?中，90C ∠=?，四边形EDFC 为内接正方形，AC =5，BC =3，求：AE ：DF 的比值。

2、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边反向延长线）所构成的三角形与原三角形相似 例题：如图：DE //BC ，交AB 于D 、交AC 于E ，若AD ：DB ＝2：3，BC ＝15，求DE 的长 解： DE //BC

∴△ADE ∽△ABC AD ：DB ＝2：３ ∴DE ：BC ＝2：5

BC ＝15 ∴DE ＝6

练习题：

1、如图：DE //BC ，则图中________∽__________,理由是__________

2、如图：AB //EF //DC ，则图中相似三角形有_______对，它们分别是________

3、如图：在ABC ?中，DE //BC ，AD ＝EC 、BD ＝1cm ，AE ＝4cm 、BC ＝5cm,求DE 的长

4、如图：AB //CD ，OA ：OD ＝1：2，AB ＝4cm ，则CD 的长为 （ ）

A 2cm

B 6cm

C 8cm

D 10cm 5、如图：AB//CD ，则图中有_______对相似三角形 第1题图

第1题图

较难题

1、己知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD ，∠BAF=∠DAE ，AE 与BD 交于点G ． （1）求证：BE=DF ； （2）当

FC DF =DF

AD

时，求证：四边形BEFG 是平行四边形．

2、已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC ，CD 上的点，且EF ∥BD ，AE 、AF 分别交BD 与点G 和点H ，BD=12，EF=8．求： （1）

AB

DF

的值； （2）线段GH 的长．

3、如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠DAB=90°，AC ⊥BC ，AC=BC ，∠ABC 的平分线分别交AD 、AC 于点E ，F ，则

EF

BF 的值是（ ）

A ．

2?1

B ．2+

2

C ．

2+1

D ．

2

4、如图，已知梯形ABCD 中，AB∥DC，△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，AB=7，求CD的长．

5、如图，在矩形ABCD中，E是边CB延长线上的点，且EB=AB，DE与AB相交于点F，AD=2，CD=1，求AE及DF的长．

6、如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（）

A．2 B．3 C．3D．3+ 1

相似多边形

1、相似形定义：具有相同形状的图形称为相似形

2、相似多边形：对应角相等，对应边成比例的多边形叫相似多边形

3、相似多边形的性质：

○1相似多边形的对应角相等，对应边的比相等

反过来，如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。

例题：如图：已知，四边形ABCD与四边形A B C D

''''相似，求B C''，C D''长和D

∠的大小

解：四边形ABCD四边形A B C D

''''

∴150

A A'

∠=∠=?

()

360150607575

D

∴∠=?-?+?+?=?

B C A B C D

BC AB CD

''''''

==

即

5

845

B C C D

''''

==

∴10

B C''=

5

练习题：

1、下列说法正确的是 （ ） A 任意两个菱形一定相似

B 任意两个矩形一定相似

C 有一个角是30?的两个等腰三角形相似

D 任意两个等腰直角三角形一定相似 2、已知26AOB ∠=?，在放大镜里看到的AOB ∠的度数是___________

3、在ABC ?中，BC ＝15cm ，AC ＝45cm,AB ＝54ｃｍ，另一个与它相似的三角形最短边是5ｃｍ，则最长一边是＿＿＿＿＿＿＿

4、用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若该四边形的边长放大10倍后，下列说法正确的是（ ） A A ∠是原来的10倍 B 周长是原来的10倍 C 每个内角都发生了变化 D 以上说法都不对

5、四边形ABCD 与四边形A B C D ''''相似图形，且A 与A '、B 与B '、C 与C '是对应点，已知AB ＝10、BC ＝8、CD ＝８、AD ＝６、30A B ''=，求四边形A B C D ''''的其余三边的边长及周长。

6、 正五边形ABCDE ∽正五边形A B C D E '''''，且2AB

A B =''

，若6C D ''=，则CD ＝＿＿＿

○

2相似多边形对应边，周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方 例题：如图：在等腰梯形ABCD 中，上底为5，下底为13，腰长为5，等腰梯形A B C D ''''与它相似，相似比为32

，求等腰梯形A B C D ''''的周长及面积。

解：○1由已知得 AB ＝5 、AD ＝BC ＝5、 DC ＝12 ∴等腰梯形ABCD 的周长为5+5+5+12＝27 等腰梯形ABCD ∽等腰梯形A B C D '''' 设等腰梯形A B C D ''''周长为l ，则有

3272l = 812l ∴= 即 等腰梯形A B C D ''''的周长为812

○

2 过A 、B 分别作AE DC ⊥、BF DC ⊥ 则EF ＝AB ＝5 DE ＝CF ＝

()1

13542

-= 在Rt ADE ?中，AD ＝５、DE ＝４ ∴AE ＝３

∴等腰梯形ABCD 的面积为()1

5133272

+??= 等腰梯形ABCD ∽等腰梯形A B C D '''' 设等腰梯形A B C D ''''面积为S ，则有

2

3272S ??

= ???

∴S ＝3604 即等腰梯形A B C D ''''的面积为3604

练习题：

1、已知多边形A 与多边形B 相似，且多边形A 与多边形B 的周长比为1：3，则:B A S S ＝＿＿＿＿＿＿

2、已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，则较大的一个多边形的周长为＿＿＿＿＿，若较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是＿＿＿＿＿

3、两个相似多边形的最长边分别是70和28，它们的周长和为280，则它们的周长分别为＿＿＿＿＿＿＿

cm，求这两个多边形的面积分别是多5、两个相似多边形一组对应边的长分别是3cm和4cm，它们的面积相差282

少？

较难题：

1、如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的相似比为（）

A．16：9 B．4：3 C．2：3 D．256：81

2、下列说法中，错误的是（）

A．等边三角形都相似B．等腰直角三角形都相似

C．矩形都相似D．正方形都相似

3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F两点分别在AB、DC上．若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则AD与BC的长度比为何？（）

A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．4：9

4、在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形图案的一条边由原来的1cm变成2cm，那么这次复印出来的多边形图案面积是原来的（）

A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍

5、如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AD＝2，求AB的长．

6、在一次手工课上，小明把一张长AB=a cm ，宽BC=b cm 的矩形报纸ABCD 沿着过AB 、CD 的中点的直线EF 对折后，发现矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ：b 等于（ ） A ．

2：1

B ．1：

2

C ．

3：1

D ．1：

3

相似三角形

1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

（1）判定方法一 ：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例题：在ABC ?和DEF ?中，点A 、B 、C 分别对应点D 、E 、F ，且70A ∠=?、34B ∠=?、70D ∠=?，则当F ∠=______时，ABC ?∽DEF ?

解：∵∠A ＝∠D ＝70°，∠B ＝∠E ＝34°

∴△ABC ∽△DEF

∴∠F ＝180°－∠D －∠E ＝76° 答案：76°

练习题：

1、如图：在ABC ?中，90BAC ∠=?，AD 是BC 边上的高，图中相似的三角形共有（ ）

A 4对

B 3对

C 2对

D 1对 2、如图：矩形ABCD ，

E 、

F 分别为CD 、BC 上的点，且90AEF ∠=?，则一定有（ ） A △ADE ∽△ECF B △AEF ∽△ABF C △ECF ∽△AEF D △ADE ∽△AEF 3、如图：已知PQR ?是等边三角形，120APB ∠=?，证明：○1△PAQ ∽△BPR ○22

AQ RB QR = 4、如图：90BAC ∠=?，BD ＝DC 、DE ⊥BC ，交AC 于E 、交BA 的延长线于F ，证明：2

AD DE DF = 5、如图：在正方形ABCD 中，AB ＝2，E 是BC 的中点，DF ⊥AE 垂足为F ，求证：△ABE ∽△DFA

（3）判定方法三：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简单说成：三边对应成比例两三角形相似。

例题：根据下列条件判断ABC ?与A B C '''?是否相似 AB ＝5cm, BC ＝6cm, AC ＝7cm

10A B cm ''=, 12B C cm ''=, 14A C cm ''=

解：

51102AB A B ==''、61122BC B C ==''、71

142AC A C =='' ∴AB BC AC

A B B C A C ==

''''''

∴ABC ?∽A B C '''?

练习题：

1、 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边_______,那么这两个三角形相似

2、 已知，在ABC ?和DEF ?中，AB ＝4、BC ＝5、AC ＝8、DE ＝6、DF ＝12，那么EF ＝_______时，ABC ?∽DEF ?

3、 一个直角三角形的两条直角边分别为3cm 、4cm ，另一个直角三角形的两条直角边分别为6cm 、8cm ，这两

个直角三角形是否相似？为什么？ 4、 已知，ABC ?的三边分别为6cm 、7.5cm 、9cm ，DEF ?的一边长为4cm ,当DEF ?的另外两条边长是下列

哪组时，这两个三角形相似 （ ） A 2cm 、3cm B 4cm 、5cm C 5cm 、6cm D 6cm 、7cm 5、如图：已知

AB BC AC

AD DE CE

==

，证明：△BAD ∽△CAE

（2）判定方法二：如果一个三角形的两条边与另外一个三角形的两条边对应成比例，并且这两条边的夹角相等，那么这两个三角形相似，简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

例题：如图：BC 平分ABD ∠，AB ＝4、BD ＝10、BC ＝210，求证：△ABC ∽△CBD 证明：

BC 平分ABD ∠

∴12∠=∠ AB ＝4、BD ＝10、BC ＝210

∴

10

5

210AB BC ==

、 21010BC BD ==、 10AB BC BC BD == ∴△ABC ∽△CBD

练习题：

1、 判断ABC ?与A B C '''?是否相似并说明理由。

100A ∠=? AB ＝5cm AC=15cm 100A '∠=? 4A B cm ''= 12A C cm ''=

2、 已知线段AC 、BD 相交于O ，如图：OC ：OB ＝1：2，OA ＝6cm 、OD=3cm 、AB=7cm ,则CD ＝____________

3、 如图：在ABC ?中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且1

3

AD AC =、AE ＝BE ，证明：AED ?∽BDC ?

4、在ABC DEF ??和中，30A ∠=?、AB ＝8cm 、AC=10cm 、DE=4cm 、DF=5cm 当______时△ABC ∽△DEF

5、如图：正方形ABCD 中，P 是BC 上一点，且BP ＝3PC 、Q 是CD 的中点，则AQ

PQ

=____

较难题

1、如图，AB ∥FC ，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE=FE ，分别延长FD 和CB 交于点G ． （1）求证：△ADE ≌△CFE ；

（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB 的长．

2、如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上的任一点，连接AM 并将线段AM 绕M 顺时针旋转90°得到线段MN ，在CD 边上取点P 使CP=BM ，连接NP ，BP ． （1）求证：四边形BMNP 是平行四边形；

（2）线段MN 与CD 交于点Q ，连接AQ ，若△MCQ ∽△AMQ ，则BM 与MC 存在怎样的数量关系？请说明理由．

3、如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB=∠ACB ． （1）求证：

AE AB =AD

AC ； （2）若AB ⊥AC ，AE ：EC=1：2，F 是BC 中点，求证：四边形ABFD 是菱形．

4、如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 边上有一动点P ，连接PD ，线段PD 绕点P 顺时针旋转90°后，得到线段PE ，且PE 交BC 于F ，连接DF ，过点E 作EQ ⊥AB 的延长线于点Q ． （1）求线段PQ 的长；

（2）问：点P 在何处时，△PFD ∽△BFP ，并说明理由．

5、如图，△ABC 中，D 、E 两点分别在BC 、AD 上，且AD 为∠BAC 的角平分线．若∠ABE=∠C ，AE ：ED=2：1，则△BDE 与△ABC 的面积比为何？（ ） A ．1：6

B ．1：9

C ．2：13

D ．2：15

6、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，若S △B D E ：S △C D E =1：4，则S △B D E ：S △A C D =（ ）

A ．1：16

B ．1：18

C ．1：20

D ．1：24

7、如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABO 的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，∠ABO=90°，OA 与反比例

函数y=

x

k

的图象交于点D ，且OD=2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C ．若S

四边形

A B C D

=10，则k 的值为

___________．

8、如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为___________．

9、如图

，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．

（1）求证：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=63，AF=43，求AE的长．

10、已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接BD，AE⊥BD垂足为E．（1）求证：△ABE∽△DBC；

（2）求线段AE的长

竞赛题

专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用

【例1】如图，DE BC

∥，且DB AE

=,若510

AB AC

==

，，求AE的长。

E

D

C

B

A

例二、 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b

=+.

F

E D

C

B

A

【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和

BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：

111

AB CD EF

+=

. F

E

D

C

B

A

专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例2】 （2007年北师大附中期末试题）

（1）如图（1），在ABC ?中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14

AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则

BC

CD

=_______. （2）如图（2），已知ABC ?中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF

FC FD

+ 的值为（ ）

A.5

2 B.1 C.32

D.2

(1)

M

E

D

C B

A

(2)

F E

D C

B

A

【例3】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ?中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当

1A 2AE C =时，求

AO

AD

的值；

（2）当11A 34AE C =、时，求

AO

AD

的值； （3）试猜想

1A 1

AE C n =

+时AO AD 的值，并证明你的猜想.

【例4】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ?的中线，点E 在AD 上，F

是BE 延长线与AC 的交点.

（1）如果E 是AD 的中点，求证：

1

2

AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，

12AF AE

FC ED

=?

成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.

F E D

C

B

A

【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。求证：AF EF =。

F

E

D

C

B

A

E D C

A

O

专题三、利用平行线转化比例 【例5】 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且 与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P . 求证：PM PN PR PS ?=?

l

S

R P

N

M

O D

C B

A

【巩固】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥， AC 的延长线交EF 于G ．求证：EG GF =．

G F

E

C

D

B

A

【例6】 已知：P 为ABC ?的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对 边AC 、AB 于D 、E ，求证：

1AD AE

DC EB

+= P

N

M

E D C

B

A

【例7】 在ABC ?中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中 线，AE 、AF 分别交BM 于G 、H 两点，求证：::5:3:2BG GH HM =

M

H G F

E

C

B

A

【例8】 如图，M 、N 为ABC ?边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条 平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F . 求证：3EF DE =.

F N

M

E

D C

B

A

【例9】 已知：如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，M 是AB 的中点，分别连 接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F . （1）求证：//EF CD

（2）若AB a =,CD b =，求EF 的长.

F

E

M

D

C

B

A

【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，

396AD BC AB ===，，,4CD =，若EF BC ∥，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相

等，求EF 的长。

F E D

A

黄金分割

如图,在线段AB上截取这条线段的0.618倍得到点C，则点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果AC BC

那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做AB的黄金分割点,AC与BC的比(或BC与AC的比) 叫做AB AC

黄金比

1、美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为（）

A．6cm B．10cm C．4cm D．8cm

2、在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）

A．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm

3、乐器上的一根琴弦AB=60厘米，两个端点A，B固定在乐器版面上，支撑点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为（）

A．90-305B．30+305C．305-30D．305-60

4、已知P是线段AB的黄金分割点，AB=6cm，那么AP=____________________cm．

5．如图，在直线L 上依次取三点A 、B 、C ，BC ＞AB 且BC=a ，在直线L 的同侧作两个黄金矩形ABDE 和BCGF ，即AE ：AB=FB ：BC=（

5-1）：2，连接EF ，EC ，FC ，则△CEF 的面积等于___________．

6、阅读理解：

如图1，点C 将线段AB 分成两部分，若

AB AC =AC

BC

，则点C 为线段AB 的黄金分割点．

某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，而给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1、S 2，如果S

S 1=

1

2

S S ，那么称直线l 为该图形的黄金分割线． 问题解决：

如图2，在△ABC 中，若点D 是AB 的黄金分割点．

（1）研究小组猜想：直线CD 是△ABC 的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ （2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

（3）研究小组探究发现：过点C 作直线交AB 于E ，过D 作DF ∥CE ，交AC 于F ，连接EF （如图3），则直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．

相似三角形的性质：

相似三角形的性质（1）相似三角形的周长比等于相似比

例题：ABC ?与ADE ?相似， CE ＝15、AE ＝30、D E ＝40、AD ＝20、DE //BC ，求ABC ?的周长 解： DE //BC

∴△ADE ∽△ABC

CE ＝15、AE ＝30

∴

302

453

AE AC == AE ＝30、DE ＝40、AD ＝20

∴ADE ?的周长为20+40+30＝90 设ABC ?周长为l 则有

902

3

l = ∴l ＝135 即ABC ?的周长为135 练习题：

1、两个相似三角形的相似比为3：5，则周长比为__________

2、两个相似三角形的相似比的平方等于2，周长之比为k ,则

1

1

k -=__________ 3、两个相似三角形一对对应边的长分别为35cm 和15cm ，它们的周长差为60cm ，则这两个三角形的周长分别是_____________

4、如图：在ABC ?中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，若ABC ?的周长为20cm ,则DEF ?的周长为 （ ） A 5cm B 10cm C 12cm D 15cm

5、如图：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 与BD 相交于O ，若AOD ?与COB ?的周长之比为1：4，且BD ＝12cm ，则BO 的长为__________ cm

相似三角形的性质（2）：相似三角形的面积比等于相似比的平方 例题：两个相似三角形一组对应边的长分别是3cm 和4.5cm ，若它们的面积和是782cm ，则较大的三角形的面积是 （ ） A 422cm

B 522cm

C 542cm

D 562cm

练习题：

1、 相似三角形的周长比等于________面积比等于___________

2、 已知两个相似三角形的对应边的比为1：2则它们的周长比为______面积比为________

3、已知△ABC ∽△A`B`C`，它们的周长分别为56c 、72 cm ，则它们的面积比为_________

4、在比例尺为1：1000的地图上有一块周长为6cm ，面积为1.2 cm 的区域，这块区域的实际周长为___________面积为__________

5、如图：在ABC ?中，DE //FG //BC 、且AD ＝DF ＝FB ，则::ADE DEGF FGCB S S S 四边形四边形＝_______

相似三角形的性质（3）：相似三角形对应边上的高、对应边上的中线对应边上的角平分线的比等于相似比 例题：如图：在边长为2的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，BM ⊥CE 、MN ⊥BE ，求BM ：MN

解：四边形ABCD 正方形，边长为2，E 是AB 的中点 ∴BE ＝1

在Rt BCE ?中，BC ＝2、BE ＝1 ∴CE ＝5

过点M 作MN ⊥BE

EBC EMB ∠=∠ E E ∠=∠

∴Rt BCE ?∽Rt MBE ?