基于MATLAB的平板折叠桌创意设计——史宝周

基于 MATLAB 的平板折叠桌创意设计
史宝周 （陇东学院 机械工程学院 甘肃庆阳 745000；邮箱 1115107973@https://www.360docs.net/doc/3c1701746.html,）
摘要：随着人们社会生活水平的不断提高，生活的艺术水平也有所发展。在 整个大的国际和国内的环境下发展的产品行业中，以及到我们生活中到处可以见 到的产品，都会体现一个国家在设计上的实力和发展，它们会给我们的生活带来 方便。
折叠桌就是其中之一，方便折叠，节省空间，通过更加灵活的设计，让原本 狭小的空间变得宽敞起来，让原本一成不变的家具灵动起来。使折叠桌的使用更 加便利生活。然而竞争激烈，人与产品的交流中家具等产品的设计，要想争强他 们对产品的拥有欲望，一定要在实用性的基础上注意外形的创新，因而人性化、 个性化的设计理念作为一种强大的设计语言和创新途径，会在未来的家居设计领 域中得到更广泛的应用。本文将对平板折叠桌作一研究创新。
问题一，根据给定的数据建立模型描述折叠桌的动态变化过程，并在此基础 计算出折叠桌计算参数。其中我们用图像模拟实体变化过程，用 MATLAB，并通 过建立函数及几何关系计算各种参数。
问题二，折叠桌的设计要做到产品稳固性好，加工方便，用材最少。我们通 过分析及实体模拟，根据折叠桌在要求高度范围内重心最低时确定其稳定性参 数，改变木板形状，并就其稳定性分析以最优解的方式得出加工方便与用材最少 时的参数。
问题三，根据客户任意设定的折叠桌高度，桌面边缘线形状和大小及桌角边 缘线的大致形状，我们将通过建模设计不同的折叠桌样式，并计算其参数，使折 叠桌样式及实用性争取满足人们的期望。
最后，对本文建立模型与求解发的不足给出了改进和推广，并结合实际情况 提出了建议。是折叠桌以最美的姿态走向实际生活。 关键词 ： 折叠 空间 移动 MATLAB 建模 创新设计 人性化
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一、问题重述
折叠桌无论是折叠、扁平化还是模块化设计，其宗旨是一样的：通过更加灵 活的设计，让原本狭小的空间变得宽敞起来，让原本一成不变的家具灵动起来。 然而平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等众多参数影响着产品的稳固性、加工工艺、 用材节约性。
由题给的已知图形及其视频演示，折叠桌折叠成型过程，从它的桌角曲面变 化及钢筋的移动，和桌角边缘线的变化等引起的一些参数变化来研究以下问题：
1、给定长方形平板尺寸已知，且连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿外侧的木 条的中心位置。试建立模型描述该折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出折叠 桌的设计参数，和桌角边缘线的数学描述。
2、折叠桌的设计应做到产品的稳固性好，加工方便，用材少，推广到任意 给定的折叠桌高度和圆形桌面的设计要求，讨论长方形把平板材料你和折叠桌的 最优加工参数（如：平板尺寸，钢筋位置，开槽长度），并验证。
3、从生活实际出发，根据客户任意给定的折叠桌参数和形状样式，发挥想 象讨论长方形平板材料和折叠桌的最有设计参数及具有艺术特色的样式，使产品 尽可能能接近客户的期望。并根据所设计样式，建立模型，求出相应设计加工参 数，绘制动态变化图。
二、问题分析
2.1 问题背景分析 在所有工业产品中，大部分要通过一定的方式来实现产品的正常使用，这些
连接方式大概有一下几种：折叠，旋转，滑动，卡扣，弹性等等。而其中最重要、 最常见的一种方式是折叠。折叠的方式很多，而且用途非常广泛，对折叠的灵活 合理运用的水平可以体现出一个地区与国家的工业发展水平。
许多世纪以来折叠桌椅一直被认为是重要的家具之一，是社会地位的象征。 在古文明中折叠桌椅不只是为了供人日常就座，还用在各种正式的场合和仪式
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中。 在古埃及的家具中，折叠桌椅被认为是最重要的家具之一。折叠桌椅的发展
开始于约公元前 2000~1500 年，起初的折叠桌椅是战场上军队指挥官的专用品， 同时也是权势与威望的象征。随着时间的不断地推移，如今折叠椅是家具中很普 遍的一种家具，在家里、办公室、公共场所都能看到折叠椅的身影，他们以不同 的种类、结构、材料等形式分布于社会的各个角落，给人们出行、旅游、办公带 来了方便。因此，其广泛的前景给人以无限的瞎想。
随着社会的进步，人类的物质需求越来越追求与理想与完美。折叠桌椅的设 计也越来越科学，多种多样的折叠椅出现在人类面前，因此多种多样的设计方式 也为人所知，为人所用。
关键在其稳定性好，加工方便，用材节约，符合绿色生活理念，对人们生活 用具不断创新发展具有重大意义。
2.2 对问题一的分析 针对问题一，问题要求建立模型描述折叠桌的动态变化过程，在此基础上求 出设计参数。我们通过所有工业产品中，大部分要通过一定的方式来实现产品的 正常使用，这些连接方式大概有一下几种：折叠，旋转，滑动，卡扣，弹性等等。 而其中最重要、最常见的一种方式是折叠。折叠的方式很多，而且用途非常广泛， 对折叠的灵活合理运用的水平可以体现出一个地区与国家的工业发展水平。 创意平板折叠桌的设计代表了人们的生活艺术，桌子的外形由直纹曲面构 成，造型美观、及实体模拟与观察，圆形桌面通过铰链与桌腿连接成一张平板， 桌子在折叠过程中，由于每组桌腿都用一根钢筋将木条连接，且钢筋两端分别固 定在桌腿各组外侧的两根木条上，则若动其中一根木条，整组桌腿都成联动状态， 且桌腿板面将随着弯折角度的不同而呈不同的曲面。结合桌子构造的对称性，只 需取四分之一进行研究，然后由几何关系列方程，计算出桌腿最外边一条木条的 长度及其弯折角度，进而推出其余各条长度和弯折角度，用 MATLAB 绘图、计算 数据，并绘制相关的图像，根据桌腿角度和桌子高度的变化描述折叠中桌子的动 态变化过程，继续建立三维坐标，构造桌角边缘线函数表达式，以此计算开槽长 度。 2.3 对问题二的分析
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折叠桌无论是折叠、扁平化还是模块化设计，其宗旨是一样的：通过更加 灵活的设计，让原本狭小的空间变得宽敞起来，让原本一成不变的家具灵动起来。 然而平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等众多参数影响着产品的稳固性、加工工艺、 用材节约性。
稳固性不仅决定于桌子的重心高度而且也受桌腿跨度的影响。以此根据几何 关系及受力分析求解出各种符合人性化的稳定参数，从而确定桌子稳固的最佳模 型。
加工方便，用材最少，我们根据加工材料，加工工艺，确保桌板及桌腿易加 工（例如，可以分开加工）尽可能使材料合理应用。
综合稳固性，加工方便，用材最少等要求，建立最优的函数关系式，然后确 定加工参数，并以满足客户的任意数值要求进行验证。
2.4 对问题三的分析 为了满足客户的需要，保证人性化设计方案，对于问题三我们将在问题一、
二的基础上进行模型转换创新，已然建立三维坐标将曲面问题平面化，找出模型 的参数关系，并进行模拟仿真验证了若客户任意设定折叠桌高度，桌面边缘线的 样式大小最优化的满足了生活实际要求。
三、模型假设与约定
3.1 基本假设 1.假设每根木条的材料均匀，各部分参数一致。 2.假设材料的强度符合要求。 3.在必要之时将木条看做一根直线来研究。 4.将木条所能够形成的曲面假设成一个整体无缝的曲面。 5.假设木条所组成的各条曲线均为平滑连续过渡的曲线。 6.在人性化设计木桌前提下，以大多数人的基本肢体尺寸为参数。
四、符号定义和说明
L 每根木条长度； a 每根木条宽度； h 木条厚度；
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D 圆桌直径； Hi 为桌子高度； di 为桌腿长度； d10 为桌腿最边一根木条的长度； bi 为各个木条所切桌面圆弦长的一半； ci 为中心点到每跟木条中线的距离； i 木条数目； θ 桌腿木条弯折角度； k 一般人的身高； k1 人大腿长度为； k2 小腿长度（膝盖到脚跟）；由于椅子的设计高度一般与人小腿长度相当， 故椅子高度为 k2，也是大腿跟与地面距离为 k2； e 人坐在椅子上时腹部距离桌边的距离； g 人大腿的宽度； s 为弯折过程中桌腿上个木条下脚距离地面高度； dH 为桌角边缘线上各点到坐标原点的距离； ? 为空间直线与 xy 平面所构成的锐角； ? 为 dH 到 xy 平面的投影与 x 轴的夹角；
五、模型的建立与求解
5.1 问题一的模型建立与求解 5.1.1 数据的预处理 根据桌子整体的对称性，取桌子的四分之一为研究对象，并且把木条简化成 一根直线，通过几何关系来得出桌腿上每根木条的长度。用 MATLAB 作图及数据 处理。研究对象如（图一），数据如（表一 ），程序见（附件一）。
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25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-60 -50 -40 -30 -20 -10
0
10
20
30
（图 1）
1-5 号） b
d
24.9687 35.0313
6-10 号） s 20.8791
24.7171 35.2829 18.9984
24.2061 3507939 16.5359
23.4187 36.5813 13.1696
22.3257 37.6743 7.8062
d
39.1209
41.006
43.4641
46.8304
52.193
（表 1） (表 1.中 bi=x,为各个木条所切桌面圆弦长的一半;di 为对应 bi 长度下桌脚上各条对应木板的 长度)
5.1.2 建立模型并求解 由于桌腿每组用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组外侧木 条的中心位置，并且沿木条有孔槽以保证滑动的自由度。根据桌腿上木条的弯折 程度不同，则桌子的高度在动态变化过程中，桌角边缘线的曲率也在动态变化中。 以此通过建立几何模型，三角形的边角关系;建立三维坐标，以桌腿投影建立投 影比例模型，化三维为二维，由木条相对长度差计算开槽长度，从二维投影中的
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参数计算得出桌角边缘线的数学表达式。 设每根木条长度为 L，宽度为 a，厚度为 h,圆桌直径为 D；已知 L=120cm ，
a=2.5cm，h=3cm，D=50cm。 设 Hi 为桌子高度，di 为桌腿长度， 设 bi 为各个木条所切桌面圆弦长的一半,ci 为中心点到每跟木条中线的距
离。
1
2
3 4 5 6
7 8 9 10
图2
图 2`（程序见附件二）
6

则由（图 1）（图 2）及（表 1）有关系式
bi ? 252 ? ci2 , bi=z(i), (1? i ?10 ), d(i)=60-z(i) , 设?i 为桌腿上每根木条弯折的角度。如下图 3，最边上一根木条与靠近中间 的木条桌腿偏角。
可得函数关系式：
（图 3）
50 ? s
Cos (?i - 90 )= di ，
解得?
i
=
arccos
50 ? di
s
+ 90 ，
而折叠过程中桌子的高度 H 是随着 d10 的变化而变化， 由几何关系可得：
Hi= d10 ·sin?10
则根据角度?i 及的变化 Hi 的变化即可出折叠桌的动态变化过程： ?i = arccos 50 ? s + 90 ； di Hi= d10 ·sin?10
折叠桌的圆形桌面通过铰链与桌腿连接成一张平板，桌子在折叠过程中，由 于每组桌腿都用一根钢筋将木条连接，且钢筋两端分别固定在桌腿各组外侧的两
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根木条上，则若动其中一根木条，整组桌腿都成联动状态，且桌腿板面将随着弯 折角度?i 的不同而呈不同的曲面且高度 Hi 也随之变化。
以其中的一条桌脚为基点建立空间坐标系如下图 4： 由几何关系可得空间曲线 1 各坐标表达式： x=1.25+2.5i , ( 0 ? i ? 20,i ? N ? ),
y= di *cos?i , ( 0 ? i ? 20,i ? N ? ),
z=50- di *sin?i , ( 0 ? i ? 20,i ? N ? ),
得桌角边缘线的函数表达式为： f (x, y, z) ? [x, y, z] ；
其中曲线 1 为桌角边缘曲线， 曲线 2 为曲线 1 在 xy 平面的投影，
曲线1
(1.25,0,0)
y 最高点z=34.657
最大y=33.011
曲线2
48.75x
图4
由几何关系知曲线 2 的 y 坐标即为桌腿各对应木条的开槽长度，钢筋两端分 别固定在桌腿各组外侧的两根木条上，由边缘向中间长度以此增大，中间的两根 木条开槽长度相对最大。
开槽长度为： y= di *cos?i , ( 0 ? i ? 20,i ? N ? )。
5.2 问题二的模型建立与求解 5.2.1 稳固性的确定 稳固性不仅决定于桌子的重心高度而且也受桌腿跨度的影响。以此根据几何
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关系及受力分析求解出各种符合人性化的稳定参数，从而确定桌子稳固的最佳模 型结构。稳定性的各个因素也是相互关联的，要综合考虑各种因素来讨论结构的 稳定性。
由于桌腿每组用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组外侧木 条的中心位置，并且沿木条有孔槽以保证滑动的自由度。从而保证弯折后形成曲 面桌腿，且弯着曲面两桌腿之间的跨度不变。
要是桌子稳固，则其桌腿受力比平衡，现取一边上的桌腿为研究对象来受力 分析如下图：
mg/2 Fx
Fy
?
Ff
2Fn
图6
2Fn*cos ? -Fx= Ff ;
2Fnsin ? +Fy=mg/2;
我们将桌腿模型选一部分简化，曲面直面化，从三维简化成二维图 5，图 6，
则直二维平面上如图中 PQ 线比为折叠好后钢筋所穿过的最佳位置。
9

（图 7）
图 8 (cad 绘制)
要是桌子能稳定站立，则桌子弯折角度必须受到一定的限制，当中间那根木 条的弯折程度刚好与桌面垂直时为其能稳固站立的最小条件，当两边桌腿中间那 根木条弯折接触时，其弯折角度为 α，此时为桌子稳固站立的最大条件。
即桌子稳固站立的必要条件之一是其中间那根木条的弯折角度 θ， 90 ≤ θ ≤ α ，如下图 8 所示
10

图9
而且无论怎样，两条钢筋所构成的水平面的几何中心为桌子的中心所在位 置。如下图 10
图 10
长方形木板长度 L，宽度 D，由 i 条木条成组，板厚为 h，折叠后 bi 为各个
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木条所切桌面圆弦长的一半,ci 为中心点到每跟木条中线的距离，di 为对应 bi 长 度下桌脚上各条对应木板的长度，桌面高度 Hi。
图 11
再由几何关系可得下列关系式：
?1.617(L ? 80) ? 80 ? 70 ? s ? h ? 1600 ? [ a ? (a ?1) *i]2
0.44
2
木条数目: i= D , a
折叠后为各个木条所切桌面圆弦长的一半为：
bi ? ( D)2 ? ci2 ，( 0 ? i ? 20,i ? N ? ) 2
桌腿上各根木条长度：di= L -bi , 2
桌腿弯折角度：?i = arccos H ? s + 90 ，
di 桌子高度：Hi= d10 ·sin?10 ；
5.2.2 加工方便，用材最少的确定
在用材最少上可以使桌面直径尽可能接近木板的宽度，使材尽其用，并切满 足生活要求。
加工方便上可以将桌腿的木条中除两边木条外，其余木条的开槽长度均取中 间木条开槽长度，最大化的统一加工同尺寸大小的槽，这样便方便加工。
5.2.3 木桌的最优设计 基于生活实际，木桌的稳定性及人性化的考虑，设计木桌必须符合人们的生
活要求。
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首先从高度上而言要符合大多数人的标准。同时也需要保证人坐在桌旁时不 要碰到人的双腿，由于坐下后人的人的大腿和小腿都是直的，所以只需保证腹部、 膝盖和脚不要接触桌腿上的木条，这样便人的生活标准，舒服而且美观，具有艺 术色彩。
如下图 10 椅子的中轴线与桌子的中轴线对齐，假设一个人的高度为 k，人 大腿长度为 k1，小腿长度（膝盖到脚跟）为 k2，由于椅子的设计高度一般与人 小腿长度相当，故椅子高度为 k2，也是大腿跟与地面距离为 k2，
建立空间坐标系，以桌边中轴线在地面的投影为坐标原点，在人面对桌子坐 着时右侧为 X 轴，前方为 Y 轴，正上方为 Z 轴。若设人坐在椅子上时腹部距离 桌边为 e，则腹部中心坐标为（0，-e，k2），设人的大腿宽度为 g，则，人左右大 腿根外部的坐标分别为：
（-g，-e，k2），（g，-e，k2）。 又设人的左脚坐标为（-x，y，0），右脚坐标为（x，y，0），右膝盖坐标（x`， y`，z`），左膝盖坐标（-x`，y`，z`）， 则有下列关系：
（x-x`)2+(y-y`)2+(z-z`)2=k22， ( y-x`)2+(-e-y`)2+(k2-z`)2=k12，
?i = z` = k2
y`? y e ? y`
图 12
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故，可以根据以上两式及大腿长度，小腿长度和人坐在椅子上时腹部到桌边 的距离等参数可以算出（-x，y，0），（x，y，0），（x`，y`，z`），（-x`，y`，z`） 的外侧极限，进而得出桌子支起来后木条必须离开的区域，也就确定了桌腿的弯 折度。
经查阅资料的人体相关数据： 人体的平均身高 k 为 168.70 cm； 人的大腿长度 k1 计算表达式为：身高 x 0.341； 人的小腿长度 k2 计算表达式为：身高 x 0.21 ； 人坐在椅子上时腹部距离桌边的距离 e 为 32cm； 人体大腿宽度 e 为 16cm ； 将上数据代入下面式子 （x-x`)2+(y-y`)2+(z-z`)2=k22，
( y-x`)2+(-e-y`)2+(k2-z`)2=k12，
?i = z` = k2
y`? y e ? y`
得（x-x`)2+(y-y`)2+(0-z`)2=（168.70*0.21）2， ( y-x`)2+(-32-y`)2+(168.70*0.21-z`)2=（168.70*0.341）2，
?i = z` = k2 = 168.70*0.21 ；
y`? y e ? y` 32 ? y`
解得最中间木条的弯折角度?i ?118.5
又由几何关系得：
?i = arccos H ? s ? h + 90 ；
di y ? L ? D sin? ；
2
y t a n? ? s? H；
2y t a?n ? D? L;
H= d10 ·sin?10 ；
bi ? ( D)2 ? ci2 ； 2
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Ci= a ? (a ?1)*i ； 2
d10
?
L 2
?
( D)2 ? ( D ? a)2 22
又符合人性化设计，桌子稳固站立的必要条件之一是其中间那根木条的弯折
角度 θ，
90 ≤ θ ≤ α ； 由以上数据及数学关系式的一下（H、D）的关系式：
(L ? D)sin? * tan? ? D ? 2 H ? s ? h ? ( D)2 ?[a ? (a ?1)*i]2 , （?i ?118.5 ）； cos(? ? 90 ) 2 2
当桌子高度 H=70cm， 桌面直径 D=80cm，代入上式可得
?1.617(L ? 80) ? 80 ? 70 ? s ? h ? 1600 ? [ a ? (a ?1) *i]2 ，
0.44
2
上式是关于桌子各种设计参数（桌子的长 L、宽 a 及木板的厚度 h）的关系
式，因此可以根据客户的要求而设计出合理的折叠桌。
与问题一种同理：桌角边缘线的投影到 X 轴的距离即为各开槽长度下图 11.
y 最高点z
曲线1
图 13
最大y
曲线2
x
开槽宽度为： y= di *cos?i , ( 0 ? i ? 20,i ? N ? )。
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5.3 问题三的模型建立与求解 基于对问题一与问题二的建模并求解，以得出初步的圆形折叠桌设计及加工
参数或相应的数学表达式进行数学模型的描述。 由问题一中桌角边缘曲线的各个木条的坐标表达式如下， x=1.25+2.5i , ( 0 ? i ? 20,i ? N ? ),
y= di *cos?i , ( 0 ? i ? 20,i ? N ? ),
z=50- di *sin?i , ( 0 ? i ? 20,i ? N ? ),
得桌角边缘线的函数表达式为： f (x, y, z) ? [x, y, z] ；
由几何关系得到
开槽长度为： y= di *cos?i , ( 0 ? i ? 20,i ? N ? )；
桌腿上各根木条长度：di= L -bi , 2
桌子高度：Hi= d10 ·sin?10 ；
桌腿弯折角度：?i = arccos H ? s + 90 ，
di 由问题二的求解得到关于桌子各种设计参数（桌子的长 L、宽 a 及木板的厚
度 h）的关系式：
?1.617(L ? 80) ? 80 ? 70 ? s ? h ? 1600 ? [ a ? (a ?1) *i]2
0.44
2
可以根据这些数学关系编程绘制圆桌的动态模拟图，如下图 14（程序见附件三）
图 14
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由桌角边缘线的函数表达式为： f (x, y, z) ? [x, y, z] ；
依然如一、二问题中空间坐标系的建立方法分析椭圆桌角边缘线到坐标原点的距 离，可得如下关系式：
dH ? x2 ? y2 ? z2 ，
将 dH 投影到 xy 平面距离为 r= dH cos? sin ? ，
则又再次在 x、y 轴投影 X=r*cos ? ；y=r* sin ? ; 又由正比类函数 f (x) ? kx ；
由以上解得： k ? tan ? ； 则可写出桌角边缘线数学函数为：
M (i) ? {x ? x, y ? x tan ?, z ? x sin ???? tan2 ??} （1） 1? sin ?
桌面边缘线的函数我们可以根据客户的要求运用以上数学表达式关系来作 依次为椭圆、矩形、菱形、双曲线形等多种人性化和个性化要求的折叠桌。
下面以椭圆为主来分析， 椭圆方程 ：
x2 a2
?
y2 b2
? c2 ；
（2）
联系（1）、（2）两式运用 matlab 编程绘制其动态变化图。
通过改变折叠角度来绘制椭圆桌的动态变化过程如下（其 matlab 程序在附件 4
中）
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z z
椭 圆 折 叠 桌 动 态 变 化 过 程 (平 面 )
20
0
0
-20
-40
y
-20
-60
x
60 40 20
椭圆折叠桌动态变化过程2
20
10
50
0
20
0
-20
-50
y
0 x
18

z
椭圆折叠桌动态变化过程3
20
10
50
0
20
0
-20
-50
y
0 x
椭圆折叠桌动态变化过程4
20
10
50
0
20
0
0
-20
-50
x
y
z
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