2-3综合测试卷含答案

综合检测

(时间：120分钟满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，甲到丙地再无其他路可走，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有( )

A．5种B．6种C．7种D．8种

答案 B

解析第一步：从甲地去乙地共有3种走法；

第二步：从乙地去丙地共有2种走法．

由分步乘法计数原理知N＝3×2＝6(种)．

2.设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的回归直线(如图所示)，以下结论中正确的是( )

A．x和y的相关系数为直线l的斜率

B．x和y的相关系数在0到1之间

C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

D．直线l过点(x，y)

答案 D

解析因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A，B错误．C中n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以C错误．根据回归直线方程一定经过样本点的中心可知D正确．3．袋中装有编号分别为1,2,3,4的4个白球和4个黑球，从中取出3个球，则取出球的编号互不相同的取法种数为( )

A．32 B．40 C．24 D．56

答案 A

解析装有编号分别为1,2,3,4的4个白球和4个黑球，从中任取3个球，则取出球的编号互不相同，只是分别从有两个球的4个号中选3个球，可以先从4个号中选3个号，再在选

出的三个号中二选一，共有C 34C 12C 12C 1

2＝32(种)取法．

4．设随机变量X 服从二项分布X ～B (n ，p )，则(D (X ))2(E (X ))2等于( )

A ．p 2

B ．(1－p )2

C ．1－p

D ．以上都不对

答案 B

解析 由题意知，D (X )＝np (1－p )，E (X )＝np ， 则(D (X ))2(E (X ))2＝n 2p 2(1－p )2n 2p

2

＝(1－p )2. 5．有三对师徒共6人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有( ) A ．72种 B ．54种 C ．48种 D ．8种 答案 C

解析 用捆绑法．A 33A 22A 22A 22＝48(种)．

6．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 答案 A

解析 由题意知含x 3的项为x C 26x 2＝C 26x 3＝15x 3.

7．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X 服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X 位于区间(51,69]的人数大约是( )

A ．997

B ．954

C ．800

D ．683

答案 D

解析 由题图知，X ～N (μ，σ2)， 其中，μ＝60，σ＝9，

∴P (μ－σ≤x ≤μ＋σ)＝P (51

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 ；

③在线性回归方程y ^

＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ^

平均增加0.2个单位；

④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．

A ．②③

B ．①②

C ．③④

D ．②④ 答案 A

解析 ①是系统抽样；对于④，随机变量K 2的观测值k 越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小．

9．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A.y ^

＝0.4x ＋2.3 B.y ^

＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^

＝－0.3x ＋4.4

答案 A

解析 因为变量x 和y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C 和D.

因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A 和B 中的直线方程进行检验，可以排除B ，故选A.

10．甲、乙两队进行排球比赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢2局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率是( ) A.12 B.35 C.23 D.3

4 答案 D

解析 甲获得冠军有两种情况．一是第1场就取胜，这种情况的概率是1

2，二是第1场失败，

第2场取胜，这种情况的概率是12×12＝1

4，

则甲获冠军的概率是12＋14＝3

4

.

11．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和是偶数”，事件B ：“取出的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( ) A.14 B.25 C.12 D.35 答案 A

解析 由题意知事件A 包含的基本事件有(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，共4个，∴P (A )＝4C 25

＝

2

5

. 事件B 含有(2,4)，共1个基本事件， ∴P (AB )＝1

10，

∴P (B |A )＝

P (AB )P (A )＝1

4

. 12．任意选择四个日期，设X 表示取到的四个日期中星期天的个数，则D (X )等于( ) A.67 B.2449 C.3649 D.4849 答案 B

解析 由题意得X ～B (4，17)，所以D (X )＝2449

.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13．(x y －y x )4的展开式中x 3y 3的系数为________． 答案 6

解析 T k ＋1＝C k 4(x y )4－k (－y x )k ＝C k

4·x 4－k 2·y 2＋k

2

·(－1)k ， 由已知4－k 2＝3,2＋k

2

＝3，∴k ＝2.

∴x 3y 3的系数为C 24(－1)2

＝6.

14．已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)＝________. 答案 0.1

解析 由已知P (0≤X ≤2)＝P (－2≤X ≤0)＝0.4， ∴P (X >2)＝1

2

×(1－0.4－0.4)＝0.1.

15．已知随机变量ξ～B (n ，p )，若E (ξ)＝4，η＝2ξ＋3，D (η)＝3.2，则P (ξ＝2)＝________. 答案

32625

解析 由已知np ＝4,4np (1－p )＝3.2， ∴n ＝5，p ＝0.8，

∴P (ξ＝2)＝C 25

p 2(1－p )3

＝32625

. 16．已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若E (X )＝0，D (X )＝1，则a ＝________，b ＝________.

答案

512 1

4

解析 由题意知，a ＋b ＋c ＝1112，－a ＋c ＋1

6＝0，

(－1)2×a ＋12×c ＋22×1

12＝1，

解得，a ＝512，b ＝1

4

.

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n (m ，n ∈N *)展开式中x 的系数为19，求f (x )的展开式中x 2的系数的最小值．

解 f (x )＝1＋C 1m x ＋C 2m x 2＋…＋C m m x m ＋1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n

.

由题意知m ＋n ＝19，m ，n ∈N *，

故x 2

项的系数为C 2

m ＋C 2

n ＝m (m －1)2＋n (n －1)2

＝? ??

??m －192

2＋19×174

.

由m ，n ∈N *，根据二次函数的知识知， 当m ＝9或10时，上式有最小值，

也就是当m ＝9，n ＝10或m ＝10，n ＝9时，x 2项的系数取得最小值，最小值为81. 18．(12分)抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6)． (1)连续抛掷2次，求向上的数不同的概率； (2)连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；

(3)连续抛掷5次，求恰好出现3次向上的数为奇数的概率． 解 (1)设事件A 表示事件“抛掷2次，向上的数不同”， 则P (A )＝6×56×6＝56

.

(2)设事件B 表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”．

∵向上的数之和为6的结果有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5种， ∴P (B )＝56×6＝536

.

(3)设事件C 表示事件“抛掷5次，恰好出现3次向上的数为奇数”，

∴P (C )＝C 35? ????362? ???

?363＝516

. 19．(12分)生产工艺工程中产品的尺寸偏差X (mm)～N (0,22)，如果产品的尺寸与现实的尺

寸偏差的绝对值不超过4 mm的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率．(精确到0.001)

解由题意X～N(0,22)，求得

P(|x|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝0.954 4.

设Y表示5件产品中合格品个数，则Y～B(5,0.954 4)．

∴P(Y≥5×0.8)＝P(Y≥4)

＝C45×(0.954 4)4×0.045 6＋C55×(0.954 4)5

≈0.189 2＋0.791 9≈0.981.

故生产5件产品的合格率不小于80%的概率为0.981.

20．(12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：

x 24568

y 3040605070

(1)画出散点图；

(2)求线性回归方程；

(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？

解(1)根据表中所列数据可得散点图如下：

(2)列出下表，并计算：

i 1234 5

x i24568

y i3040605070

x i y i60160300300560

因此，x＝

25

5

＝5，y＝

250

5

＝50，

∑

i＝1

5

x2i＝145，∑

i＝1

5

y2i＝13 500，∑

i＝1

5

x i y i＝1 380.

于是求得：

b ^

＝

∑i ＝1

5

x i y i －5x ·y

∑i ＝1

5

x 2

i ·5x 2＝1 380－5×5×50145－5×5×5

＝6.5；

a ^

＝y －b ^

x ＝50－6.5×5＝17.5.

因此，所求线性回归方程为y ^

＝6.5x ＋17.5.

(3)根据上面求得的线性回归方程，当广告费支出为10百万元时，y ^

＝6.5×10＋17.5＝82.5，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元．

21．(12分)某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力． (1)求X 的分布列； (2)求此员工月工资的均值．

解 (1)依题意知X 所有可能取值为0,1,2,3,4，

P (X ＝0)＝C 04C 44

C 48＝170，

P (X ＝1)＝C 14C 34

C 48＝835，

P (X ＝2)＝C 24C 24

C 48＝1835，

P (X ＝3)＝C 34C 14

C 48＝835，

P (X ＝4)＝C 44C 04

C 48＝170

.

所以X 的分布列为

(2)令Y 表示此员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2 100，2 800,3 500，则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝1

70

，

P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝8

35

， P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝

1835＋835＋170＝5370

. 所以E (Y )＝170×3 500＋835×2 800＋53

70×2 100＝2 280.所以此员工月工资的均值为2 280

元．

22．(12分)随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在20：00～22：00时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：

(1)3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和均值；

(2)根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00～22：00时间段的休闲方式与性别有关系”？

参考公式：K 2

＝n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .

参考数据：

解 (1)依题意，随机变量X 的取值为0,1,2,3，且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率P ＝56

.

方法一 P (X ＝0)＝C 03? ???

?163＝1216

，

P (X ＝1)＝C 13

? ????162? ????56＝572

， P (X ＝2)＝C 23? ????16? ????

56

2

＝2572

， P (X ＝3)＝C 33? ??

??56

3

＝125

216

. 故X 的分布列为