Matlab作业题

Matlab作业题：

1、作出函数y=x4-4x3+3x+5 （x [0,6]）的图形，用小红点标出其在[0,6]之间的最小值点，并在最小值点附近标出该最小值点的坐标值；

程序：

function f=myfun(x)

f=x.^4-4*x.^3+3*x+5;

x=linspace(0,6,100);

y=x.^4-4*x.^3+3*x+5;

x1=fminbnd(@myfun,0,6)

y1=myfun(x1)

结果：

x1 =

2.9115

y1 =

-13.1300

plot(x,y,x1,y1,'r*')

text(x1,y1,'2.9115,-13.1300');

0123456

2、某公司有一批以每桶2元购进的彩漆，为了获得较高的利润，希望以较高的价格卖出，但价格越高，售出量就越少，二者之间的关系由表一给出。于是打算增加广告投入来促销。而广告费与销售量的关系可由销售增长因子来描述。例如，投入3万元的广告费，销售因子为1.85，意味着做广告后的销售量将是未做广告销售量的1.85倍。根据经验，广告费与销售因子的关系如表2，现请你作出决策：投入多少广告费和售价为多少时所获得的利润最大?

表1 表2

彩漆的销售量

摘要

在经济学中，某种产品的销售量与产品自身的价格存在着负相关关系，即产品价格上升会导致产品的销售量减少，产品价格下降会导致产品的销售量增加。与此同时，广告宣传对产品的销售量也是影响深远的。对一个企业而言，广告费既不是越少越好，也不是多多益善。广告活动的规模和广告费用的大小，应与企业的生产和流通规模相适应，在发展中求节约。

为研究产品销售量与售价和广告费用的关系，我们收集了某售价与预期销售量和广告费与销售增长因子的一些数据（见附录一），并建立了预期销售量1y 与售价1x 的线性模型：

11^

1333.54222

.50x y -=

销售增长因子2y 与广告费2x 的二次函数模型：

22^

0409.00188

.1x y +=—2

2

0004.0x

利润p 与售价1x 和销售增长因子2x 的模型：

2

2

2211)0004.00409.00188

.1)(1333.54222

.50)(2(x x x x x p --+--=

关键字：预期销售量 广告费 销售增长因子 线性回归

一、问题重述

随着经济全球化和市场经济的迅速发展，广告营销在企业营销战略中广告营销活动发挥着越来越重要的作用，是企业营销组合中的一个重要组成部分。为了在竞争激烈的市场中获得优势，我们试图确定一种商品的售价以及广告费投入，使得可以得到最大利润：

1、对数据进行初步整理，利用数据拟合手段，画出散点图以及拟合曲线，找出各个变量之间大致关系；

2、在初步分析之后，再进行拟合数据、拟合曲线等的分析，挖掘数据之间的内在联系，初步建立模型，应用MATLAB高级软件进行优化处理，得到所需结果；

3、分析模型。

二、问题分析

人们购买商品，考虑得比较多的是商品的价格和品牌，一个公司如何在竞争激烈的市场中站稳脚步，靠的是顾客的青睐，而顾客的青睐度与产品的销售量是成正比的。因此，制定合理的能让大众接受的产品价格，至关重要。同时，打造一个良好的品牌信誉也是一个企业生存的必备条件。由于广告促进了商品销售，也就促使生产成本和销售成本降低，也包括单位广告成本的降低，因此，广告宣传费用的投入是有其利益产生的。但是从经济学的角度来考察，任何现实投入都存在着边际产出的问题。也就是说，广告的费用投入同样应该适度，过度的投入不但不会使投入产出比增加，相反会引起投入产出的降低，使产品的生产和流通成本增加。因此，广告宣传也必须掌握适度原则。在得出销售价格和广告费用投入对销售量有重要影响的结论后，研究销售量与销售价格和广告费用之间的关系就很有意义了。

三、符号说明

y：彩漆预期销售量

1

y：彩漆销售增长因子

2

x：彩漆售价

1

x：彩漆广告费用

2

p：彩漆销售利润

四、模型的建立与求解

模型建立：

记彩漆预期销售量为

y，销售增长因子为2y，售价为1x, 广告费用为2x

1

为了大致分析彩漆预期销售量

y与售价1x和销售增长因子2y广告费用2x的关

1

系，首先利用表（1）的数据分别作出

y对1x和2y对2x的散点图（见图1和图2

1

中的圆点）（程序见附录二）

2

345

6

图（1）

y1对x1的散点图

图（2）

y2对x2的散点图

从图（1）可以发现，随着1x 的增加，1y 的值有比较明显的线性递减趋势，图中的直线式用线性模型：

ε

ββ++=1101x y （1）

拟合的(其中ε是随机误差)。而在图（2）中，当2x 增大时，2y 有向上弯曲增加随后又向下弯曲减少的趋势，图中的曲线是用二次函数模型

εβββ+++=2

222102x x y （2）

拟合的。

模型求解：直接利用matlab 统计工具箱中的命令regress 求解，使用格式为： [b,bint,rint,stats]=regress(y,x,alpha)

模型（1）: [b,bint,rint,stats]=regress(Y1,X1,alpha) （程序见附录三） 其中输入Y1为模型（1）中y1的数据的转置,X1为对应于回归系数)

,(10βββ

=的数据矩阵],1[1x ，alpha 为置信水平α；输出b 为β的估计值，常记作β^

，bint

为b 的置信区间，r 为残差向量β^

x

y

-，rint 为r 的置信区间，stats 为回归模型

的检验统计量，有3个值，第一个是回归方程决定系数2R （R 是相关系数），第

2个是F 统计量值，第3个是与F 统计量对应的概率值P.

得到模型（1）的回归系数估计值及其置信区间（置信水平α=0.05）、检验统计量2R ，F ，P 的结果见表（1）

结果分析：表（3）显示，2R =0.9909指因变量1y （销售量）的99.09%可由模型(1)确定，F 值远远超过F 检验的临界值，P 远小于α，因而模型（1）从整体来看是可用的。

表（3）的回归系数给出了模型（1）中0β,1β的估计值，即0^

β=50.4222，2

^

β=-5.1333.

销售量预测：将回归系数的估计值代入模型（1），即可预测公司未来的彩漆销售量y,预测值记作1^

y ，得到模型（1）的预测方程：

11

^

^1^

x y β

β

+=

（3）

只需知道售价1x ，就可以计算预测值1^

y

模型（2）：[b,bint,rint,stats]=regress(Y2,X2,alpha) （程序见附录四） 其中输入Y2为模型（2）中2y 的数据的转置,X2为对应于回归系数)

,,(210ββββ=的数据矩阵],,1[2

2

2x x ，得到模型（2）的回归系数估计值及其置信区间（置信水

平α=0.05）、检验统计量2R ，F ，P 的结果见表（4）

结果分析：表（4）显示，2R =0.9970指因变量1y （销售量）的99.70%可由模型 (2)确定，F 值远远超过F 检验的临界值，P 远小于α，因而模型（2）从整体来看是可用的。

表（4）的回归系数给出了模型（2）中0β,1β，2β的估计值，即0^

β=1.0188，

1

^

β

=-0.0409，0004

.02

^

-=β

.

销售量预测：将回归系数的估计值代入模型（2），即可预测公司未来的彩漆销售增长因子2y ,预测值记作21^

y ，得到模型（2）的预测方程：

21

^0

^2^

x y β

β

+=+2

22

^

x β

（4）

只需知道售价2x ，就可以计算预测值2^

y

某公司销售彩漆的利润可由以下公式算出：

广告费用

成本销售收入

利润--=p

即：2

2^

1^

1)2(x y y x p

--=

代入模型（1）、（2）的预测方程（3）、（4）可得：

2

2

2211)0004.00409.00188

.1)(1333.54222

.50)(2(x x x x x p --+--= （5）

利用MATLAB 工具对利润方程（5）求解(程序见附录五)得到：

1x = 5.9113

=

2x 35.2074 -118.943

7=p 可知，当售价为5.9113元，广告投入为35207元时，利润最大，最大利润

为118943.7元。

模型改进：在利润模型中我们可以看到，这个模型是以产品售价和广告费为自变量的，而在实际操作中，顾客购买同类产品会更多地注意不同品牌之间价格的差异，而不是它们的价格本身，产品的销售量或者说利润，不仅与售价有关，更多的还与同时期、同种产品的价格有关，这就需要引入价格差的概念，即与同时期市场上其他商家的该产品的售价差，因此，在研究最优营销策略时，用价格差代替售价将更为合适。

五、模型总结

销售利润模型中有交互项21x x ，考虑到了售价1x 和广告费用2x 的交互作用，

说明该利润模型还是比较可信的。从模型（2）的系数来看，

2

2x 的系数2^

β=-0.0004，

趋近于零，对整个模型最终的结果影响不会太大，可以考虑用其他多项式组合模型来表述本问题。

六、参考文献

[1] 岳朝龙，黄永兴，《SAS与现代经济统计分析》，合肥：中国科学技术大学

出版社，2009年。

[2] 姜启源，谢金星，叶俊，《数学模型》，北京：高等教育出版社，2003年。

[3] 易丹辉，《数据分析与Eviews应用》，北京：中国统计出版社，2002年。

[4] 张志涌，杨祖樱，《MATLAB教程》，北京：北京航空航天大学出版社，2006

年。

[5] 汪远征，徐雅静，《SAS软件与统计应用教程》，北京：机械工业出版社，

2007年。

[6] 张尧庭，方开泰，《多元统计分析引论》，背北京：科学出版社，2006年。附录一

附录二

x1=[2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00];

y1=[41 38 34 32 29 28 25 22 20];

p=polyfit(x1,y1,1);

x3=linspace(2,6,100);

y3=polyval(p,x3);

subplot(1,2,1)

plot(x1,y1,'o',x3,y3)

title('图（1）')

xlabel('y1对x1的散点图')

x2=0:10:70;

y2=[1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80];

q=polyfit(x2,y2,2);

x4=linspace(0,70,100);

y4=polyval(q,x4);

subplot(1,2,2)

plot(x2,y2,'o',x4,y4)

title('图（2）')

xlabel('y2对x2的散点图')

附录三

Y1=[41 38 34 32 29 28 25 22 20]'

X1=[ones(9,1) [2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00]']

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y1,X1,0.05)

附录四

Y2=[1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80]';

X2=[ones(8,1) [0:10:70]' [0:10:70]'.^2];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y2,X2,0.05)

附录五

function p=myfun(x)

p=-(x(1)-2).*(50.4222-5.1333*x(1)).*(1.0188+0.0409*x(2)-0.0004*x(2).^2)+x(2); x0=[1,10];

[x,p]=fminunc('myfun',x0)