平行四边形经典例题

平行四边形

平行四边形 矩形 菱形

正方形

等腰梯形

疋

义 有两组对边分别平行的四边 形是平行四边形。

有一个角是直角 的平

行四边形是 矩形。

有一组邻边相等的平 行四边形是菱形。

有一组邻边相等且 有一个角是直角的 平行四边形。

两腰相等的梯形是等 腰梯形。

性

质

1、 对边平行且相等。

2、 对角相等，邻角互补。

3、 对角线互相平分 1、 四个角都是直 角。

2、 对角线相等。

1、 四条边都相等。

2、 两条对角线互相垂 直，并且每一条对角线 平分一组对角。

具有平行四边形、矩

形、菱形的所有特 征。

1、 两腰相等两底平行

2、 同一底上的两角相 等

3、 两条对角线相等

判

疋 1、 定义: 2、 判定定理：

(1) 两组对边分别相等的四 边形是平行四边形。

(2) 两组对角分别相等的四 边形是平行四边形。

(3) 一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形。

(4) 对角线互相平分的四边 形

是平行四边形。 1、 定义： 2、 判定定理： (1) 对角线相等 的

平行四边形是 矩形。 (2) 有三个角是 直

角的四边形是 矩形。 1、 定义: 2、 判定定理：

(1 )一组邻边相等的 平

行四边形是菱形。 (2 )对角线互相垂直 的

四边形是菱形。

1、 先证明是矩形再 证明一组邻边相等。

2、 先证明是菱形再 证一个角是直角。

1、 定义：先判断是梯 形在证明两腰相等。

2、 同一底上的两个角 相等的梯形是等腰梯 形。

3、 对角线相等的梯形 是等腰梯形。

对称性

轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形

2、由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、例题

例1、如图1,平行四边形 ABCD 中，AE 丄BD ,CF 丄BD ，垂足分别为E 、F.求证：/ BAE = / DCF.

例2、如图2，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于0点，BE 丄AC 于E, CF 丄BD 于F. 求证：BE = CF.

例3、已知：如图3,在梯形 ABCD 中，AD // BC, AB = DC 点E 、F 分别在 AB 、CD 上,且BE = 2EA CF = 2FD.求证：/ BEC 玄 CFB.

（图2）

A

例4、如图6, E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点，且AE = CF.

(1)求证：△ ABE^A CDF

(2)若：M、N分别是BE DF的中点，连结MF、EN,试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并

证明你的结论.

例5、如图7 ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD, BC分别相交于点E, F.,求证:

（图

6）

例6、如图8，四边形ABCD是平行四边形，0是它的中心，E、F是对角线AC上的点.

(1) _________________ 如果，则△ DEW A BFA (请你填上一个能使结论成立的一

个条件)

(2)证明彳

图7

图8 |

例7、如图9，已知在梯形ABCD中，AD// BC, AB = DC，对角线AC和BD相交于点O, E是BC边上一个动点(点E不与B、C两点重合),EF/ BD交AC于点F, EG// AC交BD于点C.

(1)求证：四边形EF0G的周长等于20B;

(2)请你将上述题目的条件梯形ABCD中，AD / BC, AB = DC'改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，四边形EF0G 的周长等于20B仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明

例8、有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植(即将梯形的面积

两等分)，试设计两种方案(平分方案画在备用图13(1)、(2) 上),并给予合理

的解释.

备用图(1)

标准文案图13

四边形AFCE是菱形.

四、练习 一、选择题 1. 下列命题正确的是( ) (A)、一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 (C)、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 (D) 2. 已知平行四边形ABC 啲周长32, 5AB=3BC,则AC 的取值范围为

(B)

、对角线相等的四边形一定是矩形

在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形

A. 6

B. 6

C. 10

D. 4

若/ DAB= 120° , / CFE= 135° ,AB= 1 ,_则AC 的长为

)(A ) 1 (B ) 1.2 (D ) 1.5

5. AE 垂直平分BC 于E ，AE = 1cm ，则BD 勺长是( ) (B ) 2cm ( C ) 3cm 若菱形ABCDh (A ) 1cm

6. 若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线 (A )互相垂直

(B )相等 (C )互相平分 (D ) 7. 如图，等腰△ ABC 中，D 是BC 边上的一点，DE// AC, (D) 4cm 互相垂直且相等 DF// AB, AB=5那么四边形AFDE 的周长是 (C ) 15 (D ) 20

■ >1. ■■■■ I

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—

1

IV

\ ____ 」 亠 B C 10 8.如图，将边长为 (A ) 3cm (第8题) 8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点 (B ) 4cm (C ) 5cm (第9题) □落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN _则线段CN 勺长是( ). (D ) 6cm

(第10

题)

9.如图，在直角梯形 梯形的中位线的长是( ABCD 中,

AD// BC / B=90 , AC 将梯形分成两个三角形，其中△ ACD 是周长为18 cm 的等边三角形，则该 9

cm (D)18 cm 2 10.如图，在周长为20cm 的口ABC 中, AB^AD AC BD 相交于点O, OELBD 交AD 于己，则厶ABE 的周长为( (A)9 cm (B)12cm (c) (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm 11.如图2,四边形ABC 为矩形纸片.把纸片ABC 折叠，使点B 恰好落在CD i 的中点E 处，折痕为AF.若CD= 6,则AF 等于( D (A ) 4 3 (B ) 3.3 (C ) 4 2 (D )8 12.如图，已知四边形 ABCDK R 、P 分别是BC CDk 的点，E 、F 分别是 AP RP 勺中点，当点P 在CD!从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论 成立的是 () A 、线段EF 的长逐渐增大 B 、线段EF 的长逐渐减小 图

第12题图 C 线段EF 的长不变

D

、线段EF 的长与点P

13.在梯形ABCD 中, AD//BC ，对角线AC 丄BD,且AC 5cm , BD=12c m,则梯形中位线的长等于( )

A. 7.5cm

B. 7 cm

C. 6.5cm

D. 6cm

14.

国家级历史文化名城一一金华，风

光秀丽，花木葱茏?某广场上一个形状是 平行四边形的花坛(如图)，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫 6种颜色的花.

如果有AB // EF // DC , BC // GH // AD ，那么下列说法中错误的是( A.红花、绿花种植面积一定相等

B .紫花、橙花种植面积一定相等 C.红花、蓝花种植面积一定相等 D

.蓝花、黄花种植面积

一定相等 二、填空题

1.如果四边形四个内角之比1 : 2: 3: 4，则这四边形为 ________ 形 形的面积为 _____ 。

3. 若矩形一个内角的平分线，把另一边分为 4cm,5cm 两部分，则这个矩形周长是 _____

4. 已知：平行四边形ABC 的周长是30cm,对角线AC, BD 相交于点O, △ AO 啲周长比△ BOC 勺周长

长5cm ，则这个平行四边形的各边

长为 _________ 。

3

E , A

F 丄CD 交 CD 的延长线于点 F , AB +BC + CD+ DA= 32cm, BC^- AB ,

5

如图，在四边形 ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E , F 分别是AB, CD 的中点，AD BC , PEF 18 ,

则 PFE 的度数是 ____________ .

10?如图，菱形 ABCD 勺两条对角线分别长 6和8,点P 是对角线AC 上的一个动点，点 M N 分别是边AB BC 的中点，贝U PM +PN 的最小值是 ____________________ .

/ EAF = 2/ C, _则 BE 长为 ____ ，则/ C ______ . 6.在平面直角坐标系中， 点A B 、C 的坐标分别是A( — 2, 是平行四边形，那么点 D 的坐标是 . 5) , B( — 3,— 1), C(1, — 1),在第一象限内找一点 D,使四边形 ABCD

6个这样的等腰梯形恰好可以拼岀如图

8. 若 AE = 4cm , DF = 3cm,且 OEL

OF,

则EF

C

第10题图

如图9 (1)是一个等腰梯形，由

请写岀它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论: 10(2)所示的一个菱形.对于图 10(1)中的等腰梯形,

2.若正方形的对角线长为2错误！未找到引用源。cm,则正方

5.已知：平行四边形 ABCD 中, AE 丄BC 交CB 的延长线于点 11.如图，在四边形 ABC ［中, E 、F 、G H 分别是AB BD CD AC 的中点，要使四边形 EFGH

是菱形，四边形 ABCDS 应满足的一个条件是 ____________________ 。

笫1極图

(14题)

(12题)

如图所示，O 为矩形ABC 的对角线交点，DF 平分/ AD (交AC 于 E , BC 于F ,Z BDF=15 , 13.如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点0,过点0的直线分别交AD 和BC 于点E 、F , AB 2, BC 3, 则图中阴影部分的面积为

(13 题)

则/ COF= 12、

14、如图，矩形A1B1C1D1的面积为4,顺次连结各边中点得到四边形A2B2Cp 2，再顺次连结四边形A2B2Cp 2四边中点得

到四边形A3E3C3D3, 依此类推，求四边形A n B n C n D n的面积是

15、如图⑴已知0是口ABCD的对角线交点，AC= 24, BD= 38, AD= 14,那么△ OBC的周长等于____________

16、在平行四边形ABCD中，/ C=Z B+Z D,则/ A =

17、一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm,则平行四边形各边长为__________ cm

18、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2,则这个菱形的另一条对角线长为_______________ cm。

19、菱形ABCD中，Z A= 60°，对角线BD长为7cm，则此菱形周长____________ cm

20、如果一个正方形的对角线长为J2，那么它的面积______________

21、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,Z AOB= 60o,AB= 8,则矩形对角线的长 _______

22、如图3,等腰梯形ABCD中，AD// BC, AB// DE, BC= 8, AB= 6, AD = 5 则厶CDE周长_____ 。

21、正方形的对称轴有 ___ 条

22、如图4, BD是口ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是____________

23、要从一张长为40cm,宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片，最多能剪出____________ 张。

三、解答题

1.如图，在四边形ABCD中, Z A=60° , Z B=Z D=90° ,BC=2,CD=3,求AB的长

2.如图，在等腰梯形

3?将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D'处，折痕为EF.

(1) 求证：△ ABE^A AD F;

(2) 连接CF,判断四边形AECI是什么特殊四边形？证明你的结论

4.已知：如图，在梯形ABCD中, AD// BC, AB=CD对角线AC BD相交于点E,

Z ADB=60 , BD=10, BE： ED=4： 1，求梯形ABCD的腰长.

8. 如图所示，在△ ABC中，/ BAC=90 ,AD L B,BE平分/ ABC,EF// BC,那么AE=CF吗？证明你的结论

5. 如图，菱形ABCD E, F分别是BC, CD上的点，/ B=Z EAF= 60

/ BAE= 18° 求/ CEF的度数。

D

6.已知：如图，在△ ABC中, ABAC ADLBC垂足为点D,人“是厶ABC外角/ CAM勺平分线，CE1AN垂足为点E,

(1)求证：四边形ADC助矩形；

(2)当厶ABC满足什么条件时，四边

形

(第6题)

7. 如图，四边形ABCD中，一组对边AB=DC=4另一组对边A》BC,对角线BD与边DC互相垂直，M N、H分别是AD BG BD的中点，且/ ABD=30求：(1) MH的长(2) MN的长。

9. 如图，ABCD是正方形，CE// BD, BE= BD, BE交DC于点F, 求证：(1 )Z BEC= 30°(2) DE= DF

B C

10. 如图，在正方形ABCD中, P为对角线BD上一点,

PE1BC垂足为E, PF丄CD垂足为F,

求证：EF= AP

11. 如图，四边形ABCD勺对角线AC BD交于点P,过点P作直线交AD于点E,交BC于点F。若PE=PF且AP+AE=CP+CF

(1)求证：PA=PC;

(2 )若AD=12,AB=15,/ DAB=60 ,求四边形ABCD勺面积.

11.已知：如图，E为口ABC［中DC边的延长线上的一点，且CE^ DC连结AE

分别交BC BD于点F、G,连结AC交BD于Q 连结OF求证：AB= 2OF.

12. 如图，在矩形ABC中, AD=8cm AB=6cm点A处有一动点E以1cm/ s的速度由点A向点B运动，同时点C处也有一动点F以2cm/ s 的速度由点C向点D运动，设运动的时间为x (s),四边形EBFD勺面积为y (cm i),求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。

O 「

F

B

标准文案 C

(1) 试说明线段 CD 与FA 相等的理由； (2) 若使/ F =/ BCF, □ ABCD 的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并说明你的理 由(不要再增添辅助线).

23, (08上海市)如图，已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC , BD 交于点0 , E 是BD 延长线上的点，且

△ ACE 是等边三角形.

(1) 求证：四边形 ABCD 是菱形；

AED 2 EAD ，求证：四边形 ABCD 是正方形.

24, 已知：如图19,四边形ABCD 是菱形，E 是BD 延长线上一点，F 是DB 延长线上一点，且 DE = BF ?请你 以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等 (只须证明一组线段相等即可)

.

(1)连结 ______________ ； (2)猜想： ________ = _____ ; ( 3)证明：

25, 如图20,已知正方形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O, E 是AC 上一点，连结 EB,过点A 作AM 丄 BE ,垂足为 M , AM 交BD 于点F.

(1)试说明0E = OF ;

⑵如图21,若点E 在AC 的延长线上，AM 丄BE 于点M ,交DB 的延长线于点F ,其它条件不变，则结论“0E =0F ”还成立吗？如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由

21, AB 于

G.

(1) 如图16,已知四边形 ABCD 是平行四边形，/ BCD 的平分线CF 交边AB 于F ,/ ADC 的平分线DG 交边 (2)若

线段AF 与GB 相等吗?

E

.

图20

zc

13. 如图在直角梯形 ABCD 中,AD // BC, / B=90° AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm 动点P 从A 开始沿 AD 边向D 以1cm/s 的速度运动，动 点

Q 从C 开始沿CB 向B 以3cm/s 的速度运动,P,Q 分别从点A,C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设 运动的时间t,t 分别为何值时，四边形PQCD 为平行四边形，等腰梯形？

14已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，/ B = 90o ,AD // BC, AD = 24cm , BC = 26cm ，动点P 从A 点开始沿 AD 边向

D 以1cm/秒的速度运动，动点 Q 从C 点开始沿CB 边向B 以3cm/秒的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒，t 分别为何值时，四边形 PQCD

是平行四边形？等腰梯形？

.在厶ABC 中，借助作图工具可以作出中位线 EF ,沿着中位线EF 一刀剪切后，用得到的△ AEF 和四边形EBCF 可以拼接成平行四边

形EBCP 接切线与拼图过程如图所示，依照上述方法，安要求完成下列操作设计，并画出图形说明 （1 ）在厶ABC 中，增加条件 __________ ，沿着 _________ 一刀剪切后可以拼成矩形 （2） 在厶ABC 中，增加条件 _________ ，沿着 _________ 一刀剪切后可以拼 （3） 在厶ABC 中，增加条件 _________ ，沿着 _________ 一刀剪切后可以拼 形。

（4） 在厶ABC （ A 盼AC ）中，一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形，画出切线与 意图。

15如图把一个正方形割去四分之一，将余下的部分分成 3个全等的图形（图甲）；将余下的部分分成 4个全等的图形（图已）仿

照示例，请你将一个正三角形割去四分之一后余下的部分。 （1）分成3个全等的图形（在图一中画岀示意图）；

（2） 分成四个全等的图形（在图二中画出示意图） ；

（3）

你还能利用所得的 4个全等的图形拼成一个平行四边形吗？若能，画出大致的示意图。 成菱形。 成正方

拼图示

16.如图是 王大爷的一块四边形菜地，在 A 处有一口井，王大爷要想从 A 处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分 成面积相等的两部分.请你为王大爷设计一条引水渠的方案，画岀图形 ，并简要写岀作图的主要步骤.

解：作图步骤：

1

17. (1) 如图 25-1，在四边形 ABCD 中，AB =AD, / B =Z D = 90°，E 、F 分别是边 BC CD 上的点，且/ EAF — / BAD 求证:EF =

2

BE+ FD;

1

(2)

如图25-2在四边形 ABCD 中, AB= AD ，/ B+Z D = 180 °，E 、F 分别是边 BC CD 上的点，且/ EAF= / BAD, (1)中的结论

2

是否仍然成立？不用证明. (3)

如图 25-3 在四边形 ABCD 中, AB= AD,

1

Z B+Z ADC= 180°，E 、F 分别是边BC CD 延长线上的点，且Z EAF=J_ Z BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若

2

不成立，请写岀它们之间的数量关系，并证明

.

F 与点C 不重合时，过点D 作DG// y 轴交EF 于点T ，交0C 于点G

.

18.将边长 OA =8 oc=10勺矩形OABC 放在平面直角坐标系中, 顶点 O 为原点，顶点

C A 分别在

x 轴和y 轴上?在0A 、

OC 边上选取适当的点 E 、F ,连接

EF,将厶EOF 沿 EF 折叠，使点0落在AB 边上的点D 处

.

(1)如图①，当点

F 与点C 重合时, OE 的长度为

(2)如图②，当点

求证：EO=DT

（3） 在（2）的条件下，设T （x y ），写出y 与x 之间的函数关系式为 _______ ，自变量x 的取值范围是 ________ ；

（4） 如图③，将矩形 OABC 变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且

OC=10 oc 边上的高等于8，点F 与点C 不重合，过 点D

作DG / y 轴交EF 于点T ，交OC 于点G ，求出这时T （x ，y ）的坐标y 与x 之间的函数关系式（不求自变量 x 的取 值范围）.

19. （1）如图10- 1所示，BD, CE 分别是△ ABC 的外角平分线，过点 A 作AF 丄BD, AGL CE,垂足分别为F ，G 连结FG 延长AF, AG 与直线BC 分别交于点M N,那么线段 尸6与厶ABC 的周长之间存在的数量关系是什么？即： FG= _____ （AB+ BC+AC

（直接写

出结果即可）

（2） 如图10-2，若BD, CE 分别是△ ABC 的内角平分线；其他条件不变，线段

FG 与

△ ABC 三边之间又有怎样的数量关系？请写岀你的猜想，并给予证明. （3）

如图10-3，若BD %A ABC 的内角平分线，

量关系？

直接写岀你的猜想即可?不需要证明。

20.

已知正方形ABC 刖等腰R^BEF , EF BE, BEF 90°,按图1放置，使点F 在BC 上，取DF 的

中点G 连EG 、CG. （1）探 索EG CG 勺数量关系，并说明理由； （2）将图1中￡BEF 绕B 点顺时针旋转45°得图2，连结DF,取D 啲中

点G 问（1）中的

结论是否成立，并说明理由；

（3）将图1中IBEF 绕B 点转动任意角度（旋转角在 0到90°之间）得图3，连结DF,取DF 的中点G ，问（1）中的结论是 否成立，请说

明理由；

ABC 勺外角平分线，其他条件不变，线段 FG 与厶ABC 三边又有怎样的数