单位脉冲函数

在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除了连续分布的量以外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。单位脉冲函数，又称狄拉克（Dirac ）函数，简记为δ一函数，便是用来描述这种集中量分布的密度函数.

下面我们通过两个具体的例子，说明这种函数引入的必要性.

1在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为0=t )进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流)(t i , 以)(t q 表示上述电路中的电荷函数, 则

)(t q =?

?

?=≠,0,1,

0,0t t 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即

)(t i =

dt t dq )(=0lim →?t t

t q t t q ?-?+)()(, 所以, 当0≠t 时, )(t i =0;当0=t 时,由于)(t q 不连续, 从而在普通导数意义下, )(t q 在这 一点是不能求导数的. 如果我们形式地计算这个导数, 得

)0(i =0

lim

→?t t

q t q ?-?+)

0()0(=0lim →?t (t ?-1).∞=, 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为此, 引进

一称为狄拉克(Dirac)的函数. 有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷点源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决.

1 单位脉冲函数的定义

定义1 如果函数)(t δ称满足

)i )(t δ0=,（当0≠t 时） )ii

()1=?∞

∞

-dt t δ，或者()?=I

dt t 1δ，其中I 是含有0=t 的任何一个区间，则称)

(t δ为δ一函数.

. 更一般的情况下,如果函数满足

)i )(a t -δ0=,（当a t ≠时） )ii

()1=-?∞

∞

-dt a t δ，或者()?=-I

dt a t 1δ，其中I 是含有a t =的任何一个区间，

则称为)(a t -δ函数.

在现实生活中,这种函数并不存在,它只是如下特殊规律的数学抽象;在某定点非常狭小的区域内，所讨论的问题取非常的值；在这个领域之外，函数值处处为0.如函数

?????+><+<<=-,

,,0;

,1

)(h a t a t h a t a h

a t h δ 则脉冲函数)(a t h -δ的极限为

lim →h )(a t h -δ=)(a t -δ,

而把)(a t -δ的积分理解为

lim

→h dt a t h ?

∞

∞

--)(δ=dt a t h

a a

h h ?

+→-)(lim 0

δ=11

=?

+dt h

h

a a

. 特殊情况下,0=a 时有

?????><<<=,

,0,0;

0,1

)(h t t h t h

t h δ 于是

lim →h )(t h δ=)(t δ

lim

→h dt t h ?

∞

∞

-)(δ=dt t h h h ?→00

)(lim δ=11

0=?dt h

h

.

一般工程上都称δ一函数为单位脉冲函数,将δ一函数用一个长度等于1的有向线段来表示,这线段的长度表示δ一函数的积分值,称为δ一函数的强度.

下面我们推出δ一函数的一个重要结果,称为δ一函数的筛选性质:

若()t f 为连续函数,则有

()dt t f t ?

∞

∞

-)(δ=()0f . (1)

更一般情况,有

()dt t f a t ?

∞∞

--)(δ=()a f (2)

其中()t f 在a t =处连续.

由(1)可以求出单位脉冲函数的傅氏变换. )(a t -δ)(a t -δ

()=ωF F (){}t δ=()?∞

∞

--dt e t t i ωδ=1|0==-t t i e ω

可见, 单位脉冲函数)(t δ与常数1构成了一傅氏变换对；同理, )(a t -δ和t

i e ω-亦构成了一

个傅氏变换对.

同时，若()()ωπδω2=F 时，则由傅氏逆变换得

()()ωωπωd e F t f t

i ?∞

∞

-=

21=()ωωπδπ

ωd e t i ?

∞

∞

-221

=1|0==t t i e ω

故1和()ωπδ2也构成了一个傅氏变换对。同理，)(20ωωπδ-和t

i e

0ω亦构成了一个傅氏变

换对.

需要指出的是，此处的广义积分是按(1)式计算的，不是普通意义下的积分值，我们称这种傅氏变换为广义的傅氏变换.

根据傅氏积分公式，函数()t f 能取傅里叶积分变换的前提条件是它首先应绝对可积即

()+∞

+∞

∞

-dt t f ，

实际上这个条件非常强，它要求()t f 条件较高，因而一些常见的函数都不满足这一点.如常数、符号函数、单位阶跃函数及正余弦函数等都不满足绝对可积的条件! 如此一来，较强的条件使得傅里叶变换的应用受到限制. 为克服这一缺陷，我们把单位脉冲函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换中，得到它们的广义傅氏变换.

例1 证明单位跃阶函数()??

?><=0

,10,0t t t u 的傅氏变换为()ωπδω+i 1

. 证明：首先注意，这里的变换显然指的是广义变换. 我们用考察逆变换的方法证明. 事实上，若()()ωπδω

ω+=

i F 1

,则 ()()ωωπωd e F t f t i ?∞∞-=

21 ()ωωπδω

πωd e i t

i ]1[21?∞∞-+= ωωπωd e i t i ?∞∞-=121+

()ωωπδπωd e t

i ?∞∞-21 2

1sin 10+=?∞ωωωπd t 为了说明()()t u t f =，就必须计算积分ωωωd t ?∞0sin ，由积分2

sin 0π

ωωω=?∞d ，有 ????

???>=<-=?∞,,0,2

;0,0;

0,2sin 0t t t d t ππ

ωω

ω 将此结果代入()t f 的表达式，当0≠t 时，可得

()=t f 21sin 10+?∞ωωωπd t ???????>+<+-=,0,2

1

1)2(;

0,2

1

1)2(t t ππππ

这就表明

()ωπδω+i 1的傅氏变换为()()t u t f =，因此，()t u 和()ωπδω

+i 1构成了一个傅氏变换对。所以单位跃阶函数()t u 的积分表达式可以写成

()t u 2

1

sin 1

+

=

?

∞

ωω

ωπ

d t

， ()0≠t 例2 求正弦函数 ()t t f 0sin ω=的傅氏变换. 解：()dt e

t F t

i ωωω-+∞

∞

-?

=0sin =?∞

∞----dt e i

e e t

i t i t i ωωω200 ()()[]

d t

e e i t

i t i ?∞∞-+----=

0021ωωωω ()()[]002221

ωωπδωωπδ+--=i

=π

i ()()[]00ωωδωωδ--+.

即F{t 0sin ω}=π

i ()()[]00ωωδωωδ--+.同理，可得

F{t 0cos ω}=π

i ()()[].00ωωδωωδ-++

注：我们介绍δ一函数，主要是提供一个应用工具，而不去追求数学上的严谨性.