激光原理第二章答案

第二章开放式光腔与高斯光束

1.证明如图

2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为

1 0

。

证明：设入射光线坐标参数为

,rθ，出射光线坐标参数为

,rθ，根据几何关系可知211122

,sin sin

r rηθηθ

==傍轴光线sinθθ则

1122

ηθηθ

=，写成矩阵形式

1 0

r r

θθ

????

得证

2.证明光线通过图2.2所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为

0 1

。

证明：设入射光线坐标参数为

,rθ，出射光线坐标参数为

,rθ，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d，最后经界面2折射后出射。根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得

1 0 1 0

0 0

0 1

r r

θθ

ηη

????

化简后21

0 1

r r

θθ

????

得证。

3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。

证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：

其往返矩阵为：

由于是共焦腔，则有

12R R L ==

将上式代入计算得往返矩阵

()

()()1

101

0110101n n

n n n r L r L ??????===-=-????????????

A B C D T T T T T 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。

4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。解：共轴球面腔稳定性条件1201g g <<其中1212

11,1L L

g g R R =--

=- 对平凹共轴球面镜腔有12,0R R =∞>。则122

1,1L

g g R ==-

，再根据稳定性条件 1201g g <<可得2

2011L

R R L <-

<>?。对双凹共轴球面腔有，120,0R R >>则1212

1,1L L

g g R R =-

=-,根据稳定性条件1201g g << 可得11221

212010 01 1R L

R L R L R L R R L L R R L

<??

<????<-- ?????? 或。

对凹凸共轴球面镜腔有，120,0R R ><则1212

1,1,0L L

g g R R =-

=>-根据稳定性条件1201g g << 可得121120111R L R R R L L R L ????

<--

???。

121

01122

110101A B L L T C D R

R ????

??????????==??????????--??????????????

1001T -??

=??

-??

5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m 的凸面镜和曲率半径为2m 的凹面镜组成，工作物质长0.5m ，其折射率为1.52，求腔长L 在什么范围内是稳定腔。

解：设两腔镜1M 和2M 的曲率半径分别为1R 和2R ，121m,2m R R =-= 工作物质长0.5m l =，折射率 1.52η=

当腔内放入工作物质时,稳定性条件中的腔长应做等效,设工作物质长为l ,工作物质左右两边剩余的腔长分别为1l 和2l ，则12l l l L ++=。设此时的等效腔长为L '，则光在腔先经历自由传播横向距离1l ，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离l ，再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离2l ，则

所以等效腔长等于 21()l

L l l L l η

'=+

+=-+

再利用稳定性条件

由(1)解出 2m 1m L '>> 则所以得到：

1.17m<

2.17m L <

6. 图2.3所示三镜环形腔，已知l ，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R 在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的(cos )/2F R θ=，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，/(2cos )F R θ=，θ为光轴与球面镜法线的夹角。

011 1 (1)

21L L ''?

???<-+< ????

???1

0.5(1)0.171.52

L L L ''=+?-

=+212

11011101110010100101101L l l l l l l ηηη??

'????????????

=??????????????????????

????

++?

?=??

????

图2.1

解：

2222

2101

011211

010111442132221A B l l C D F F l l l l F F F l l F l F ????

??????????=??????

????--??????????

??-+-??

??=??--????

()2

21312l l A D F F

+=-+ 稳定条件 223111l l

F F

-<-+<

左边有 22320

210l l

F F

l l F F -+>????

--> ???????

所以有21l l F F ><或

对子午线：对弧矢线：对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得子午光线弧矢光线

任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得

cos 2

R F θ=子午2cos R F θ

弧矢R R <<

或923

R R <<>

或R R <<>或

7. 有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L =30cm ，方形孔边长20.12cm d a ==，λ=632.8nm ，镜的反射率为121,0.96r r ==，其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择00TEM 模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。氦氖增益由公式

估算（l 为放电管长度，假设l L ≈）

解：01TEM 模为第一高阶横模，并且假定00TEM 和01TEM 模的小信号增益系数相同，用

0g 表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式

根据已知条件求出腔的菲涅耳数

由图2.5.5可查得00TEM 和01TEM 模的单程衍射损耗为

氦氖增益由公式

计算。代入已知条件有0e

1.075g l

=。将0

e g l 、00δ、01δ、1r 和2r 的值代入I 、II 式，两式

的左端均近似等于1.05，由此可见式II 的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。

为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足II 式的条件，则要求

010.047δ>

根据图2.5.5可以查出对应于01δ的腔菲涅耳数 '0.90N < 由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长

220.83mm a ==

同理利满足I 式的条件可得20.7mm a >

e 1310g l l d

-=+

00001e 0.003) 1 I e

0.003) 1 II

g g δδ-->--<22

0.06 1.930632.810

a N L λ-===??8.37006

011010δδ--≈≈0

e 1310g l L d

-=+?

因此，只要选择小孔阑的边长满足0.720.83mm mm a <<即可实现00TEM 模单模振荡。

8．试求出方形镜共焦腔面上30TEM 模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？解：在厄米-高斯近似下，共焦腔面上的30TEM 模的场分布可以写成

令X =，则I 式可以写成

()22

(/)

30303(,)H e

x y L v x y C X λπ+-

式中()3H X 为厄米多项式，其值为

()33H 8-12X X X =

由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令()3H 0X =，得

1230;X X X ===

考虑到0s ω=

所以，30TEM 模在腔面上有三条节线，其x 坐标位置分别在0

和0s /2处，节线之间

0s /2；而沿y 方向没有节线分布。 9. 求圆形镜共焦腔20TEM 和02TEM 模在镜面上光斑的节线位置。

解：在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式

()??

?????

???

??=-

ωω?υωm m e

r L r C r s

r s n m m

s mn mn sin cos 22,2

202

0 对于mn TEM ，两个三角函数因子可以任意选择，但是当m 为零时，只能选余弦，否则无意义

对于20TEM ：()??

?????

??=-

ωω?υω2sin 2cos 22,2

202

02020s

r s s e

r L r C r 并且1220220

=???

? ??s r L ω，代入上式，得到

(/)

30303(,)H e I x y

L v x y C λπ+-?=??

120s 30s 0;;22

x x x ==

()??

????

??=-

ω?υω2sin 2cos 2,202

02020s

r s e r C r ，取余弦项，根据题中所要求的结果，我们取()02cos 2,202

02020=???

??=-?ω?υωs

r s e r C r ，就

能求出镜面上节线的位置。即

3,4

02cos 21π

?π

??=

同理，对于02TEM ，

()202

202

0202202

020

00202222,s

r s

r s s e r

L C e

r L r C r ωωωωω?υ-

???

? ??=???

??????

??=

404

20220202

2412s s s r r r L ωωω+-=???

? ??，代入上式并使光波场为零，得到

()02412,2

404

2020

00202=???? ?

?+-???

??=-

r s s s e

r r r C r ωωωω?υ

显然，只要02412404

20220202

=+-=???

? ??s s s r r r L ωωω即满足上式

镜面上节线圆的半径分别为：

s s r r 02012

1,221ωω-=+

= 10. 今有一球面腔，1 1.5m R =，21m R =-，80cm L =。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。

解：该球面腔的g 参数为

由此，120.85g g =，满足谐振腔的稳定性条件1201g g <<，因此，该腔为稳定腔。由稳定腔与共焦腔等价条件

117

115

L g R =-

=22

1 1.8L

g R =-

2111222221()

()f R z z f R z z L z z ?=-+??

=++??

?=-???

和120111L L R R ????<--< ??????? 可得两反射镜距离等效共焦腔中心O 点的距离和等价共焦腔的焦距分别为

根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。

16．某高斯光束腰斑大小为0ω=1.14mm ，=10.6μm λ。求与束腰相距30cm 、10m 、1000m 远处的光斑半径ω及波前曲率半径R 。

解：入射高斯光束的共焦参数

根据求得：

121.31m 0.51m 0.50m

z z f =-=-=等价共焦腔

00.385m

f πωλ

==2

(z)=()f R z z z

ωω=+

17．若已知某高斯光束之0ω=0.3mm ，=632.8nm λ。求束腰处的q 参数值，与束腰相距30cm 处的q 参数值，以及在与束腰相距无限远处的q 值。

解：入射高斯光束的共焦参数

根据0()q z z q z if =+=+，可得束腰处的q 参数为：(0)44.7cm q i =

与束腰相距30cm 处的q 参数为：(30)(3044.7)cm q i =+ 与束腰相距无穷远处的q 参数为：e m R (),I ()44.7cm q q →∞=

21．某高斯光束0ω=1.2mm ，=10.6μm λ。今用F =2cm 的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m 、1m 、10cm 、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。

解：入射高斯光束的共焦参数

设入射高斯光束的q 参数为1q ，像高斯光束的q 参数为2q ，根据ABCD 法则可知

12111q q F

-= 其中 1q l if

l f 和分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数；

2q l if ''

=-+

l f ''和分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数

。

2200

f f πωπωλλ

''==

Fq q F q =

- 利用以上关系可得

从上面的结果可以看出，由于f 远大于F ，所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。

2044.7cm

f πωλ

==200.427m

f πωλ

22．2CO 激光器输出光=10.6μm λ，0ω=3mm ，用一F =2cm 的凸透镜距角，求欲得到'

0μm ω=20及μm 2.5时透镜应放在什么位置。

解：入射高斯光束的共焦参数

设入射高斯光束的q 参数为1q ，像高斯光束的q 参数为2q ，根据ABCD 法则可知

12111q q F

-= 其中 1q l if

l f 和分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数；

2q l if ''

=-+

l f ''和分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数

。

2200

f f πωπωλλ

''==

Fq q F q =

- 利用以上关系可得 020μm ω'=时， 1.39m l =，即将透镜放在距束腰1.39m 处； 0 2.5μm ω'=时，23.87m l =，即将透镜放在距束腰23.87m 处。

23．如图2.6光学系统，如射光=10.6μm λ，求"

0ω及3l 。

图2.2

解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置

20 2.67m

f πωλ

=cm

2=ωcm

F 2=cm

F 52=

由于11l F =，所以

11l F '==2cm

所以对第二个透镜，有

213cm l l l '=-=

已知20.05m F =，根据

12111

q q F

-= 其中 1q l if =+ l f 和分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数；2q l if ''=-+

l f ''和分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数。2200

f f πωπωλλ

''== 得

014.06μm ω''=，38.12cm l =

24．某高斯光束0ω=1.2mm ，=10.6μm λ。今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射镜R =1m ，口径为20cm ；副镜为一锗透镜，1F =2.5cm ，口径为1.5cm ；高斯束腰与透镜相距l =1m ，如图2.7所示。求该望远系统对高斯光束的准直倍率。

图2.3

解：入射高斯光束的共焦参数为

22.49μm F λ

ωπω'=

=240 1.49910m

f πωλ

-'==

00.427m

f πωλ

2ln(

)P a A P P πλ

-由于1F 远远的小于l ，所以高斯光束经过锗透镜后将聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半径为

这样可以得到在主镜上面的光斑半径为

即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不需要考虑主镜孔径的衍射效应。这个时候该望远系统对高斯光束的准直倍率为

25．激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为λ的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a 的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束公焦参数f 的实验原理及步骤。

解：一、实验原理

通过放在离光腰的距离为z 的小孔(半径为a )的基模光功率为

(I)

式中，0P 为总的光功率，()P z 为通过小孔的光功率。记1()P P z =，则有

(II)

注意到对基模高斯光束有

在(II)式的两端同时乘以/πλ，则有

令

(III)

0.028mm

ωω'==0

()6cm 10cm R R λ

ωπω'≈

'50.9

M ==2

22()

0()(1e

)

a z P z P ω-

=-2

001

2()ln()a z P P P ω=

-222

0(),z z f f f πωπωλλ=+=22001

2ln()

z P a f P P f πλ+=-

则

解此关于f 的二次方程，得

因为a 、0P 、1P 、z 都可以通过实验测得，所以由(III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束的共焦参数f 。

二、实验步骤

1．如上图所示，在高斯光束的轴线上某一点B 处放入于光轴垂直的光阑(其孔半径为a )，用卷尺测量出B 到光腰O(此题中即为谐振腔的中心)的距离z ；

2．用激光功率计测出通过小孔光阑的光功率1P ； 3．移走光阑，量出高斯光束的总功率0P ；

4．将所得到的数据代入(III)及(IV)式即可求出f (根据实际情况决定(IV)式根号前正负号的取舍)。

28. 试用自变换公式的定义式()0q l l q c c ==（2.12.2），利用q 参数来推导出自变换条件

式???

????????? ??+=220

121l l F λπω 证明：

设高斯光束腰斑的q 参数为λ

πω2

00i if q ==，腰斑到透镜的距离为l ，透镜前表面和

后表面的q 参数分别为1q 、2q ，经过透镜后的焦斑处q 参数用c q 表示，焦斑到透镜的距离是c l =l ，透镜的焦距为F 。

根据q 参数变换，可以求出前表面、后表面、及焦斑处的q 参数，分别是：

z f A

+=2A f =

透镜前表面：l q q +=01 透镜后表面：

q q 11112-= 焦斑的位置：c c l q q +=2 把经过变换的1

2q F Fq q -=代入到焦斑位置的q 参数公式，并根据自再现的条件，得

到：

?????

???

+=====+-=

+=l q q i if q q l l l q F Fq l q q c c c c c 012

001

12λ

πω可得 ???????????? ??+=220121

l l F λπω 31.试计算11R m =，0.25L m =，1 2.5a cm =，21a cm =的虚共焦腔的单程ξ和

往返

ξ.

若想保持1a 不变并从凹面镜1M 端单端输出，应如何选择2a ？反之，若想保持2a 不变并从凸面镜2M 输出，1a 如何选择？在这两种单端输出条件下，单程ξ和往返ξ各为多大？题中1a 为镜1M 的横截面半径，1R 为其曲率半径。解：（1）镜1M 的单程放大率为1

1a m a '=

= 镜2M 的单程放大率为21122220.520.50.25

a R F m a R F '=====- 所以12M m m = 1112单程M ξ=-= 21314

往返M ξ=-=

（2）要从镜1M 单端输出，则要求镜1M 反射的光全部被镜2M 反射，由于镜1M 反射的光

为平行光，所以要求21

1 2.5a a a cm '>== （3）要从镜2M 单端输出，则要求镜2M 反射的光全部被镜1M 反射，所以要求

222a a m a cm '>== （4）单程ξ和往返ξ不变