斐波那契数列

摘要

本论文主要研究斐波那契数列的性质及其应用，从“兔子繁殖”问题建立数学模型，引出斐波那契数列的定义；运用二阶常系数齐次线性递归方程的特征根解法推导出了斐波那契数列的通项公式。论述并证明了有关斐波那契数列的恒等式和相关结论，涉及斐波那契数列相邻两项之比（即黄金分割比率）在广泛的应用，以及运用斐波那契数列解决一些实际数学问题。

Abstract

In this thesis?Fibonacci number sequences and its application?from the “rabbit breeding “in the mathematical model leads to Fibonacci sequence definition;the use of second-order constant coefficient linear recursive equation is derived eigenvalue solution out of the Fibonacci series of general formulas .Discussed and demonstrated on Fibonacci Identities series relation and relevant conclusions?involving the Fibonacci ratio of the two adjacent columns( the golden ratio)in a wide range of applications?and the use of Fibonacci series to solve some practical mathematical problems.

绪论 (3)

论文提出的背景和价值及国内外研究动态 (3)

一斐波那契数列的提出 (3)

1.1 问题的引出 (3)

1.2 斐波那契额数列的定义迭代表示 (4)

二斐波那契数列通项公式的推导 (5)

2.1 线性递归数列线性递归方程及其特征方程的解法 (5)

2.2 斐波那契数列通项公式的特征方程方法的推导 (5)

三斐波那契数列的部分相关性质 (6)

3.1 有关斐波那契数列的等式关系性质 (6)

3.2 有关斐波那契数列的结论 (13)

四斐波那契数列的有关应用 (14)

4.1 斐波那契数列前项与后项比例极限和黄金分割比例 (14)

4.2 运用斐波那契数列解决实际问题 (15)

绪论

论文提出的背景和价值及国内外研究动态

斐波那契数列十三世纪初叶就已经提出了，但是现如今我们学习工作生活中仍然对它有所触及。随着它的一些奇妙属性慢慢被世人所发现：从埃及金字塔到准晶体结构，从艾略特波浪理论到华罗庚的优选法（0.618），从达芬?奇的《蒙娜丽莎的微笑》到生物学的“鲁德维格定律”……吸引了国内外许多学者去研究它。斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学、生物、金融﹑美术等领域都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波那契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。

我在这片论文中主要研究了有关斐波那契数列的关系式和结论，通过观察斐波那契数列前几项，猜测推算提出结论，验证、论证命题，采用了数学建模的思想，数学归纳法，线性递归等方法论述论文。

一斐波那契数列的提出

1.1 问题的引出

斐波那契数列是由13世纪的意大利数学家列昂纳多·斐波那契提出的。在1202年他所撰写的《珠算原理》（由于翻译差别，有多种中文译名）以兔子繁殖问题为例而引人，故称“兔子数列”。下面引述该问题：

一般的，兔子在出生一个月后就有繁殖能力。假设一对兔子（一雌一雄）每个月可繁殖出一对小兔子来，并且所有的兔子都不死，这样在笼中圈养一对有繁殖能力的兔子，那么一年后可以繁殖多少对兔子。

分析：

经过一个月，原来的大兔子繁殖了一对小兔子，小兔子没繁殖能力，大兔子一对，小兔子一对；

经过二个月，原来的大兔子继续繁殖了一对小兔子，上个月的小兔子长成了大兔子，现在大兔子有两对，小兔子一对

经过三个月，上个月大兔子繁殖了一共两对小兔子，上个月的小兔子长成了大兔子，

现在大兔子有三对，小兔子两对； ……

依次类推列下表：

经过月数123456789101112小兔子对数1123581321345589144大兔子对数123581321345589144233兔子总对数

23581324345589144233

377

其中系列数字：1,1,2,3,5,8,13……构成了一个数列。这个数列有个明显的特点：前面两项之和等于第三项，即构成了后一项。

这个特点也说明了：每月的大兔子对数为上月的兔子总对数；每月的小兔子对数为上月的大兔子对数，即上上月的兔子总对数。

1.2 斐波那契额数列的定义迭代表示

如果用n F 表示第n 个月后繁殖兔子的总对数，那么能够成一个一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,……这个数列满足如下递推关系：

()??

?≥===+=--为正整数n n F F F F F F n n n ,2,1

,02102

1 满足上式的数列就叫做斐波那契数列。

列昂纳多·斐波那契当时只提出了这样一个特殊的数列，并没有给出它的通项公式。在这个数列诞生三百年之后，16世纪由法国数学家比内用第二数学归纳法推出的：

????

???????? ??--???? ??+=n n n F 25121551。

这一结果揭示了一个有趣的事实：一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

以下介绍推导斐波那契额数列通项公式的方法。

二斐波那契数列通项公式的推导

2.1 线性递归数列线性递归方程及其特征方程的解法

递归数列的定义：对任何自然数n ，由递推关系()n k n k n k n a a a a ,,,21 -+-++=φ确定的数列{}n a 叫做递归数列。

k 阶常系数线性递归方程定义：对数列{} ,2,1,0=n F n

，如果存在常数

n k k Q a a a a ,0,,,,21≠ 为定义在自然数集上的函数，使得 n n k k n k n k n Q F a F a F a F ++++=-+-++ 2211，（1）式

则称{}n F 为k 阶常系数线性递归数列，（1）式叫做{}n F 的k 阶常系数线性递归方程。当0=n Q 时，则称（1）式为{}n F 的k 阶常系数齐次线性递归方程。特别地，当k =2时，（1）式所对应的线性递归方程为 n n n F a F a F 2112+=++，（2）式

相应地，（2）式的特征方程为0212=++a x a x ，其解为特征根。

有通解定理：设21,x x 是方程0212=++a x a x 的两个根，那么方程的通解可以表示为：

（1）当21x x ≠时，n

n n x C x C F 2211+=；

（2）当x x x ==21时，()n n nx C C F 21+=。其中的21,C C 是由初始值10,F F 所唯一确

定的常数。

2.2 斐波那契数列通项公式的特征方程方法的推导

斐波那契数列()???≥==+=--为正整数n n F F F F F n n n ,2,1,0102

1，

显然是一个2阶常系数齐次线性递归数列。

利用特征方程：斐波那契数列的特征方程为12+=x x 。解得特征根为：

1,25121-=

x x 。则n

n x C x C F 2211+=

将初始条件1,110==F F 代入上式，可以解得： 5

1,5121-

C C 。

则???

???????? ??--???? ??+=n n n F 25125151， ,3,2,1,0=n .

三斐波那契数列的部分相关性质

3.1 有关斐波那契数列的等式关系性质

等式1，()()()()()()()1213210-+=+-++++n F n F n F F F F F ， ,3,2,1,0=n 证明：由于()00=F ，那么考虑()()()()()()121321-+=+-+++n F n F n F F F F ，

,3,2,1,0=n 即可。

()()()()()n F n F F F F +-++++1321 ； ,3,2,1,0=n ()()()()()n F n F n F F F +-+-+++1221 ， ,3,2,1,0=n 两式错位相加得：

()()()()()()()()()()n F F F n F n F n F F F F ++=+++++++2121431， ,3,2,1,0=n

整理：()()()()()()2121F n F n F n F F F -++=++ ， ,3,2,1,0=n 即()()()()()()()221321F n F n F n F F F F -+=+-+++ ， ,3,2,1,0=n

又()12=F

即证()()()()()()121321-+=+-+++n F n F n F F F F ,3,2,1,0=n 有关等式1的推论有：

1-1，()()()122--+=n F n F n F ； 1-2，()()()212-++=n F n F n F 。

证明推论1-1：由于()()()()()12112F n F n F n F n F ++-+-+=-+

()()()()14311F n F n F n F ++-+-=--

上面两式相减()()()()()()n F n F n F n F n F n F 22112=-+-+=--+ 故()()()122--+=n F n F n F 。

证明推论1-2，由于

()()()()()()()()2111122-++=--++=--+=n F n F n F n F n F n F n F n F 故()()()212--+=n F n F n F 。

等式2，()()()()()n F n F F F F 212531=-+++ , ,3,2,1=n 证明：由于()()()N n n n F n F n F ∈≥-+-=,2,21 那么,()()()()12531-++++n F F F F

()()()()()()()()()()223243211-+-+++++=n F n F F F F F F ()()()()()223211-+++++=n F F F F F

运用等式1

()()()()()122222321-+-=-++++n F n F F F F ()()()()()223211-+++++n F F F F F =()()121-+n F F 由于()11=F

故()()()()()n F n F F F F 212531=-+++ ， ,3,2,1=n

等式3，()()()()()()11226420-+=++++n F n F F F F F , ,3,2,1,0=n 证明：由于()()()N n n n F n F n F ∈≥-+-=,2,21 那么，()()()()()n F F F F F 26420 ++++

()()()()()()()()()()()()()

12225432100-+-++++++++=n F n F F F F F F F F ，

,3,2,1,0=n

由等式1知

()()()()()()()()()()()()()12225432100-+-++++++++n F n F F F F F F F F ()1212-+-=n F

()112-+=n F ， ,3,2,1,0=n

得证

也可以用等式1和等式2推导等式3 由于()()()()()n F F F F F 23210+++++

=()()()()12531-+++n F F F F +()()()()()n F F F F F 26420 ++++ =()122-+n F

而()()()()()n F n F F F F 212531=-+++ 那么

()()()()()n F F F F F 26420 ++++=()()()1122122-+=--+n F n F n F ， ,3,2,1,0=n

等式4，()()()1121222-+?-=n F n F n F ， ,3,2,1=n 证明：用数学归纳法当n=1时，

等式左边为()11222==F ；

等式右边为()()1121131=-?=-?F F 。命题成立

假设当+∈=N k k n ,时命题成立()()()1121222-+?-=k F k F k F 。那么当1+=k n 时，+∈N k

等式左边为()222+k F

()()[]2

212k F k F ++=

()()()()122212222+?+++=k F k F k F k F

()()()()()[]k F k F k F k F k F 22121211212++++-+?-= ()()()()()[]112221212--++++?+=k F k F k F k F k F ()()()[]1122212-+++?+=k F k F k F

()()13212-+?+=k F k F

等于等式右边()()()()132121122122-+?+=-++?-+k F k F k F k F +∈N k 上所述，命题成立。

即()()()1121222-+?-=n F n F n F ， ,3,2,1=n

等式5，()()()1222122++?=+n F n F n F , ,3,2,1,0=n

证明：用数学归纳法当n=1时，

等式左边为()11122==F

等式右边为()()1110120=+?=+?F F 命题成立

假设当N k k k n ∈≥=,0,时命题成立()()()1222122++?=+k F k F k F , 那么当1+=k n 时，N k k ∈≥,0 等式左边为()2

232+n F

()()[]1222+++=n F n F

()()()()22122221222+?+++++=n F n F n F n F

()()()()()[]12222221222+++?++++?=n F n F n F n F n F ()()()()()[]1212122222+++++++?+=n F n F n F n F n F

()()14222++?+=n F n F

等于等式右边()()()()14222122222++?+=+++?+n F n F n F n F ，N k k ∈≥,0 综上所述，命题成立。

即()()()1222122++?=+n F n F n F , ,3,2,1,0=n

等式6，()()()()()()13212222+?=++++n F n F n F F F F 3,2,1,0=n 证明：由于()()121==F F ，且()()()12-+-=n F n F n F 3,2,1,0=n 将等式左边变形为：

()()()()n F F F F 2222321++++ ()()()()()n F F F F F 2223221++++?= ()()()()n F F F F 22332+++?= ()()()()n F F F F 22443+++?=

()()()n F n F n F 21+?-=

()()1+?=n F n F 3,2,1,0=n

证毕。

等式7，()()()()()()()112531F k n F n F n F n F n F +--++-+-+-=

k n 2=时，()()()()()1331F F n F n F n F +++-+-=

12-=k n 时，()()()()()1231F F n F n F n F +++-+-= ，其中 ,3,2,1=n ，+∈N k

由于：

()()()21-+-=n F n F n F

()()()431-+-+-=n F n F n F ()()()()6531-+-+-+-=n F n F n F n F

像这样地不断地迭代下去，最终得到上述等式。

等式8，

()()()()()()()()()()()[]1111312111321--+-=?-++?-+?-+?-n F n F n F F F F n n

证明：由等式7 当k n 2=时，+∈N k

()()()()()()()()()[]13123111F F k n F n F n F n F n n +++--++-+-?-=?- 即()()()()()1331F F n F n F n F ++-+-=

命题等式左边整理为：

()()()()2642-++++n F F F F

又因为()()()()()1221F F n F n F n F +++-+=+ 故()()()()()()11242--+=-+++++n F n F n F F F F 满足命题等式

当12-=k n 时，+∈N k

()()()()()()()()()[]12123111F F k n F n F n F n F n n +++--++-+-?-=?- ()()()()()1231F F n F n F n F -------=-

命题等式左边整理为：

()()()()25312------n F F F F

又因为()()()()()()()135421F F F n F n F n F n F ++++-+-+=+ 则()()()()()()13421F F n F n F n F n F -------=+- 那么等式左边为

()()[]()()()[]1111--+-=--+-n F n F F n F n F 综上所述，命题等式8成立。

等式9，()()()()()11+?+?-=+n F m F n F m F n m F ，其中+∈N n m , 下面给其证明：

由斐波那契数列的通项公式()???

???????? ??--???? ??+=

n n F 25125151， ,3,2,1,0=n 则原命题转换证明：

???

????????? ??--????

??+????????????? ??--???? ??++????

???????? ??--???? ??+????????????? ??--???? ??+=???????????? ??--???? ??+++--++1

1112512515125125151251251512512515125125151n n m m n

n m m n

m n m 那么现在换算等式右边的式子：

???????

????? ??--???? ??+=???? ??--???? ??+=???

???????? ??-????? ??++-??????

?????? ??-????? ??+--???

???????? ??-????? ??+--??????

?????? ??-????? ??++-???

????????? ??-+-????? ??-+???????????? ??+++????? ??+=???

???????? ??-?????

??+-???????

??-?????

??+-???

????????? ??-????? ??+-???????????? ??-?????

??+-???????????? ??-+????

??++???????????? ??-+???? ??+=++++++++--++++-+-+n

m n m n m n m m

n n m m

n n m n

m n m m n n m

m n n m n m n m n m n m 2512515125151251512512512515125125125151251251512512512515125125151225151251512251512512515125125

15125

12515125125151251251512512515111

11111 即原命题成立，

()()()()()11+?+?-=+n F m F n F m F n m F ，+∈N n m ,

有关等式9的推论有

9-1，()()()()()n F m F n F m F n m F ?--+?=+22 其中+∈N n m ,，且2,≥n m 9-2，()()()11222--+=n F n F n F ，1≥n ，+∈N n 9-3，()()()11222-+=-n F n F n F ，1≥n ，+∈N n

证明推论9-1 由于：

()()()()()11+?+?-=+n F m F n F m F n m F ()()()()()()12+?+?--=n F m F n F m F m F ()()()()()()n F m F n F n F m F ?--++?=21

()()()()n F m F n F m F ?--+?=22

证毕。

证明推论9-2，()()()11222--+=k F k F k F ，1≥k ，+∈N k

不妨取：1,1-=+=k n k m ，代入()()()()()n F m F n F m F n m F ?--+?=+22 右边为

()()()()121211-?-+-+-?+k F k F k F k F

()()1122--+=k F k F

即()()()11222--+=k F k F k F ，1≥k ，+∈N k 。

证明推论9-3，()()()11222-+=-k F k F k F ，1≥k ，+∈N k

不妨取：1,-==k n k m 。代入()()()()()11+?+?-=+n F m F n F m F n m F ，+∈N n m , 右边为

()()()()1111+-?+-?-k F k F k F k F

()()k F k F 221+-=

即()()()11222-+=-n F n F n F ，1≥n ，+∈N n 。

等式10，

()()()()()()()()()()()()()()()()()()

66185511447334223111-+-=--+=-++=--+=-++=--+=n F n F n F n F n F n F n F n F n F n F n F n F n F n F n F n F n F n F

其中+∈N n

证明：因为满足斐波那契数列的条件：()()()11-+=+n F n F n F 显然()()()111--+=n F n F n F 成立。

由于()()()()()()12,12--=-++=+n F n F n F n F n F n F 故()()()223-++=n F n F n F

而()()()()()()213,123---=-+++=+n F n F n F n F n F n F 故()()()334--+=n F n F n F

归纳：如果函数g 满足()()()()()???==-+=+32,1111g g k g k g k g ，+∈N k ，那么斐波那契数列一定

满足下列等式：

()()()()()k n F k n F n F k g k

--++=?1，0,,≥-∈+k n N k n

3.2 有关斐波那契数列的结论

结论1，对任意的+∈N n m ,，若m n F F |，那么n m n F F +|。证明：由于m n F F |，即n m qF F =，+∈N q

应用等式9，()()()()()11+?+?-=+n F m F n F m F n m F ，则n m n F F F ?-1|，1|+?n n n F qF F 故n m n F F +|

结论2，对任意的+∈N n m ,，若m n |，那么m n F F |。证明：由于m n |，不妨设qn m =，+∈N q 现在对q 作数学归纳。

当1=q 时，n m =，显然m n F F | 假设当+∈=N k k q ,时成立，kn n F F |，那么当+∈+=N k k q ,1时根据结论1，

若kn n F F |，则n kn n F F +|，即()n k n F F 1|+ 综上所述，原命题成立。

即对任意的+∈N n m ,，若m n |，那么m n F F |。

结论3，对任意的+∈N n m ,，若()+∈=N d d n m ,,，那么()d n m F F F =,。证明：设{}n d m d d d k k k |,|:max =，由结论2可知：{}

n d m d d d F F F F F F k k k |,|:max = 即()d n m F F F =, 证毕。

结论4，n F |2当且仅当n |3

证明：根据结论2对任意的+∈N n m ,，若m n |，那么m n F F |，在斐波那契数列的前几项里观察到最先出偶数项是()23=F ，那么对任意的n ，只要满足n |3，则n F |2。推广到整除10以内的数：

n F |3当且仅当n |4 n F |4当且仅当n |6 n F |5当且仅当n |5 n F |6当且仅当n |12 n F |7当且仅当n |8 n F |8当且仅当n |18 n F |9当且仅当n |16

四斐波那契数列的有关应用

4.1 斐波那契数列前项与后项比例极限和黄金分割比例

黄金分割指按一定比例将事物一分为二，且较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比，比例为618.0。恰恰，斐波那契数列相邻的前项与后项的比例极限正好为黄金分割比例。由于黄金分割比例具有神奇的数学美感，被运用到许多领域：艺术创作（绘画制图、音乐创作、造型艺术、雕塑、建筑学…），人体美学，生物，医学卫生，化学化工，金融经济等等。而大自然许多现象也与斐波那契数列有着千丝万缕的联系。

下面我们通过斐波那契数列来演算黄金分割比率。我们前面证明了()

112

1-+--+?=n n n n F F F ，将等式两边同时除以21+n F

整理为：

()()21

11211112

111+-+++-+-+-+???? ??-=-+???? ??=???? ??n n n n n n n n n n n F F

F F F F F F F ()21

111+-+-+???? ??-=n n n n F F F

()01121

121=-+-???? ??+???? ??+-++n n n n n n F F F F F 由求根公式：

()2

145121

+-+--

±-=n n n n

F F F ，令∞→n ，取正值

618.025

11≈+-=+n n F F

由于斐波那契数列相邻两项之比可以写成连分数的形式：

,111111135,1

11112

3,11112,1114534232++

+==++==+===F F F F F F F F

111-++=n n n F F Fn F ，令1+=n n F F φ，当∞→n 时，近似地看做n

n n n F F

F F 11-+= 即φφ

+=11

，将φ解得取正值618.02

5≈-=

φ。

4.2 运用斐波那契数列解决实际问题

一段为10级台阶的楼梯，现在规定每一步只能跨1级或者2级台阶，问要登上10

级台阶有几种不同的走法？

解析：登上第1级台阶有1种走法；登上第2级台阶有：第一步跨1级接下来只有一种走法，第一步跨2级只有一种走法，一共有2种走法；登上第3级台阶有：第一步跨1级接下来的2级台阶有2种走法，第一步跨2级接下来的1级台阶只有1种走法，一共有3种走法；登上第4级台阶有：第一步跨1级接下来的3级台阶有3种走法，第一步跨2级接下来的2级台阶有2种走法，一共5种走法……

不难看出该问题满足斐波那契递归初始条件2,121==f f ，那么8910=f 也就是斐波那契数列的第11项数值。

一段长为144㎝的细绳，现在将其截成n 段，每段的长度均不小于1㎝，要使其中任意三小段都不能构成三角形，求n 的最大值。

解析：由于三条线段构成三角形的充要条件是任意两边之和大于第三边，那么不构成三角形的三条线段必须满足：任意两边之和不超过最大边。

用数学语言描述：

将细绳截成n 段，+∈>≥N n n a a a n ,2,1,,,21 ，要使其中任意三段细绳都不能构成三角形，求n 的最大值。

不妨任取{}h j i h h j i a a a a a a a ,,max ,,,=，要使它们不能构成三角形，则h j i a a a ≤+，满足临界条件h j i a a a =+就能使这3段不能构成三角形。为了使n 取到最大值，我们连续将细绳截成h j i a a a =+这样的序列：前后相邻两段之和等于后面一段的长度。又因为每段长度不小于1cm ，为了使n 取到最大值，第一段和第二段均为1cm ，这样形成了一个斐波那契数列：1,1,2,3,5……有关斐波那契额前n 项和：12-=+n n F S ，当10=n 时，

143121010=-=+F S ，不妨取最后一段为56110=+F ，满足条件。

故10max =n 。

参考文献：

[1]宋庭武《用特征方程推导斐波那契数列的通项公式》《科技信息》-2010年17期。

[2]张新娟《斐波那契数列通项公式的求法》《高等数学研究》-2009年4期。

[3]李美玲《趣谈斐波那契数列》《科协论坛（下半月）》-2008年8期

[4]徐长林《关于斐波那契数列及递归数列的若干性质》《陕西教育学院学报》-1995年02期

[5]Richard A. Brualdi 著冯舜玺罗平裴伟东译《组合数学》（原书第4版）机械工业出版社

[6]闵嗣鹤严士健编《初等数论》（第三版）高等教育出版社

[7]吴振奎著《斐波那契数列》沈阳辽宁教育出版社1987

[8]周持中，斐波那契-卢卡斯序列及其应用，长沙湖南科学技术出版社，1993

[9]瓦罗别耶夫著周春荔译，斐波那契数列，哈尔滨哈尔滨工业大学出版社，2010

[10]斐波那契数列百度百科https://www.360docs.net/doc/3c491652.html,/view/816.htm

致谢

感谢江汉大学图书馆提供藏书参考，对江汉大学数学与计算机科学学院许璐老师谆谆指导表示由衷的感激！