解析函数的应用

解析函数的应用

—浅谈在陌生弹性力学中的应用

（杜碧晶，运城学院数学系）

摘要：在数学中，我们知道一个复变函数如果解析，则其实部和虚部均为调和函数，满足调和方程。一个实变的双调和函数，可由共轭复变函数的线形组合得到。在平面弹性力学中，对于平面应力问题和平面应变问题，可以通过假设，转变成求解满足某些边界条件下的双调和方程问题。这样就可以用复变函数中的解析函数进行解决。

关键词：解析函数、应力函数、平面应力问题、平面应变问题。

1、引言：社会十分尊重数学，这可能不是因为这个学科的内在美，而是因为数学是社会极其需要和工程中有广泛应用的一种艺术。以复数作为自变量的函数叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中具有解析（可微）性质的函数。如果一个复变函数解析，那么

它的实部和虚部均为调和函数，满足拉普拉斯调和方程(02222=??+??y

x φ

φ)。在区域D 内满足C —R 方

程即：

x

v

y u y v x u ??-=????=??,的两个调和函数v u ,中，v 称为u 在区域D 内的共轭调和函数。 任何一个弹性体都是空间问题，一般的外力都是空间系，因此严格的说，任何一个实际的弹性力学问题，都是空间问题。但是所考察的弹性体具有某种特殊形状，并且承受的是某种特殊的外力，就可把空间问题简化为平面问题。这样处理后，分析和计算的工作量将大大的减少，而所得的结果仍满足工程上对精度的要求，因此具有广泛的实用价值。

弹性力学的平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。其中平面应力问题是指很薄的等厚度薄板

只在板边上受有平行平板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化；平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作用都不沿长度而变。 2基础内容介绍

如果采用应力作为基本未知量求解弹性力学平面问题，在常体力的条件下基本方程归结为在给定的边界条件下求平衡微分方程,

和应力表示的变形协调方程

对于平衡微分方程的解，可以分解为其齐次方程的通解与任一特解之和。齐次方程就是体力为零的平衡微分方程，

显然，平衡微分方程的特解是容易寻找的，下列应力分量均为齐次方程的特解，

根据微分方程理论，必有函数f（x，y），令

则齐次方程的第一式恒满足。同理必有函数g（x，y），如果,

则齐次方程的第二式恒满足，所以

引入任意函数(x，y)，使得

将上式分别回代，可得应力分量表达式

上述应力分量即为齐次平衡微分方程的通解。对于体力为零的弹性力学平面问题，只要函数是四阶连续可导的，总是满足齐次微分方程的。

将平衡微分方程特解代入应力表达式，则

自然满足平衡微分方程。

应力分量不仅需要满足平衡微分方程，而且还需要满足变形协调方程，将上述应力分量代入变形协调方程，可得

上式说明函数(x，y)应满足双调和方程。

根据应力函数计算的应力分量满足平衡微分方程，而双调和函数表达的应力函数自然满足变形协调方程。因此双调和方程就成为平面问题应力解法的基本方程。 因此，研究弹性力学的平面问题，当体力为常量时，可归结为求解满足双调和方程022=??φ的应力函数φ，并且使其在边界上满足所以的边界条件。在实变函数中，难以用应力函数表示位移分量和位移边界条 件。同时若将应力边界条件和位移边界条件相比，我们发现它们除)(z ψ项的系 数不同外，其未知函数的表达式是相同的。这说明平面问题的两种边界条件问题，从数学观点来看，其求解方法基本相同。也可以说，复变函数解法把求应力和位移的方法统一起来了。就是说可以不必区分按应力求解或按应变求解，而是把两者统一起来，这是复变函数解法的方便之处。在弹性力学的平面问题中，孔口问题最能显示复变函数解法的优越性。下面我们一起来分析看复变中的解析函数如何将弹性力学的平面问题解决的最容易。

3正文：在弹性力学的平面问题中，当体力为常量时，应力函数，),(y x φ为双调和函数，即应满足

0),(22=??y x φ。为了将双调和方程转化为用复变函数表示，需进行变量代换。因为：

,iy x z += iy x z -=___

所以： ),(21___z z x += )(2

1

___z z y --=；

这样，),(y x φ可以通过中间变量z 和___

z 看成一个复合函数，因此有：

φφφφφφ)(_______

__z

z

z z x z z x z z x ??

+??=??+??=?????+?????=??； φφφφφφ)(______

__z

z

i i z i z y z z y z z y ??-??=??-??=?????+?????=??； 从而： ,__z

z

x ??

+??=?? );(___z z i y ??-??=??由此可得： ,2)(__z

y

i x ??

=??+?? ;2)(z

y i x ??

=??-?? （1）

由（1）式可得：.4

___2

2

z

z ???=?于是双调和方程

022

=??φ变换为

016

2

__24=???z

z φ积分四次得出通解为：

);()()()(__

43__

__

21),(z zF z F z z F z F y x +++=φ（2）； 因为),(y x φ是实函数，

所以（2）式应为两两共轭函数，即：

,)()(______

1___2z F z F = ;)()(______

3__4z F z F =于是用复变函数表示双

调和函数的一般形式为： ______

33_______11)

,()()()()(z F z z F z z F z F y x +++=φ （3）；

将（3）式中的)(1z F 及)(3z F 分别用)(2

1

z χ及)(21z ψ代替，即得有名的古莎公式：

][2

1

____)()(______)()()

,(z z z z y x z z ψψχχφ+++= 或)(__)(),(}Re[z z y x z ψχφ+= （4） （4）式就是用复变函数表达的应力函数。式中的)(z χ和)

(z ψ

都是z 的解

析函数。于是求解弹性力学的平面问题就成为寻找满足边界条件的两个复 变函数)()(,z z ψχ的工作了。

弹性力学在的平面问题中，孔口问题最能显示复变函数解决问题的优越性。

例：图为一具有小圆孔（半径为a ）的无限大平板，在无限远处沿轴向承受均匀的拉力，求其应力分量和位移分量？

解：作用在弹性体上的外力，称为面力。由于孔口不受面力。所以在孔口边界处有：

Fy Fx =0= Ry Rx =0=

上式中的

Fx

、Fy 代表弹性体在X ，y 轴上的面力分量，

Rx ，Ry 代表m 个内边界分别在X ，

y 方向上的面力之和。

故应力函数的表达式（1）为： )(z ψ =

n

n n z a

-∞

=∑1

+AZ-π

μ81+（R X +iR Y ）LnZ

)(/

Z χ=n n n z b -∞

=∑1

+（B+)/iB Z+(83π

μ-R X -iR Y ）LnZ

变形为（2）式：)(z ψ=n n n z a -∞

=∑1

+AZ )(/

z χ =

n

n n z b -∞

=∑1

+（B+/iB ）Z 上式中的一次幂A 和（)/

iB B +具有力学意义，它们代表无限远处的应力状态。（在某一点处某一截面上的应力是指该截面上的附加分布内力在该点处的集度。）

作用在弹性体内部各点上的外力，称为体积力，简称体力。 在不计体力时，应力分量和应力函数之间的关系为：

x σ=22

y

??φ

x σ=

22x ??φ xy τ=

y x ???-

φ

2

应力表达式： ??

????+=+______/

)(/)(2z z y x ψψσσ ??????+=+-)(//__)(/22z z xy x y z i ψχτσσ

由应力函数的表达式求出的)

(/

z χ

、)(//__

Z Z ψ和)(//z χ代入应力表达式。因为无限远处为均匀应力场，

应力分量记为∞

∞

∞

xy y x τσσ,,当z ∞→时，除一次幂对应的应力存在外，其余项均消失。所以

,4A y x =+∞

∞

σσ ()/

22iB B i xy x y +=+-∞

∞∞τσσ

则有：A=)(4

1∞

∞+x y σσ B=)(21∞∞-x y σσ ∞

=xy

B τ/

计算解得：A=

σ4

1

B+

σ2

1

/=iB 。（3）

将（3）式代入应力函数表达式（2），则有（4）式：n i n n z z a z -∞

=∑+=

4

)(σ

ψ

n n n z z b z -∞

=∑+-

=1

)

(/

2

σ

χ

积分形式的复应力边界条件：dS iF F i z y x z z z )(______)

(/)(_____)

(/+=++?ψ

ψχ

将0==

y x

F F 代入可得：0______)

(/)(_______

)

(/=++z z z z ψ

ψχ

其共轭式为：

0)(/___

_____

)()

(/

=++z z z z ψψχ

（其中Z=θi ae ）其中a 为小圆半径，将上面由

（4）式所求得的)(z ψ、)(/z χ代入复应力边界条件的共轭式可得：

0224)(4)(2)2(111)1(11=-+++-=-++++-+-∞=∞=-∞=-+-------∞=∑∑∑∑∑∑θθθθθθθθθθθθσσσσσn i n n n in n n n in n n n i i n i n n i i n

i n n i n i n n i e a

na e a a e a b ae ae e a a ae ae e a a ae ae b ae

比较等式两边e

+

-

θ

in （n=1、2、、、、、∞）项的系数：

θ

i e 项的系数为：02

1=+

-

a a a σ

所以：2

12

a a σ= θ

in e

项的系数为：)2(0≥=n a

a n n

所以：)2(0≥=n a n

θ

i e -项的系数为：

02

1=+

a b a σ

所以：212

a b σ

-= θ

2i e

-项的系数为：022

=a

b 所以：02

=b

θ

3i e -项的系数为：0133=-

a a a

b 所以：412

32.a a a b σ== θ

in e

-项的系数为：)4(0)2(2

2

≥=----n a

a n a

b n n n n 所以：)4(0≥=n b n

将上面所求得的系数代入（4）式，使的复应力函数成为（5）式：

)2

(4

22

)(z

a z Z +=

σ

ψ

)1(244

22)(/

z

a z a z z -+-=σ

χ

因为（6）式：)(/_______

)

(/)(/__

22

Re 4][24z z z x y

z

z ψψ

ψφφσσ=+=???=?=+

φφφφτσσ2

2222

2)()(22y i x y x i y

x xy i x y ??-??=???-+??-??=+-； 又因为：z

y i x ??

=??-??2 所以：（2224)z y i x ??=??-?? 所以：][242)(//__

)(//

22z z xy

x y

z z

i ψχφτσσ+=??=+-（7）

利用应力分量的坐标变换式：θτθσσσσσ2sin 2cos 2

2

xy y

x x

y r

+-+

+=

；

θτθσσσσσθ2sin 2cos 22xy y x x y ---+= ； θτθσστ2c o s 2s in 2

xy y

x xy +--= .

将已得到的直角坐标中的复应力公式转化为极坐标的形式，则有（8）式：

y x r σσσσθ+=+ θθθτσστσσi xy x y r r e i i )2(2+-=+-

将（6）、（7）代入（8）式有： )(/

Re 4z r

ψσσθ=+ θθθψχτσσ2)(//__

)(//][22i z z r r e z i +=+-

将（4）式代入（8）式，则有（9）式：

);

2cos 21()

24Re(4)24Re(4)24Re(4)]2(4Re[422

22222/2/22θσσσσσσσσσσθ

θr

a e r a z a z a z z

a z i r -=-=-=+=+=+-

θ

θθθθσσσσσψχτσσ224

232__44222)(//__

)(//1()2322(2][22i i i z z r r e

r a

e z a z z a z a e z i +-=+-+-=+=+-

);32()23244

222222332444θθθθθθθσi i i i i i i e r

a

e r a e r a e e r a re e r a ----+-=+- 将（9）式中的第二式的实部和虚部分开，并和（9）式中的第一式联立求解。则：

θσθθθσθθ

θθθθστσσθθ2sin )213()2cos 32cos 22cos ()2sin 32cos 32sin 22cos 22sin 2cos (222

444222224242

222222r

a r a i r a r a r a r a i r

a r a i r a i r a i r r --+-+-=+--+--=+- 解

得

：

]2c

)31(1[244

22θσ

σθr

a r a +++=

θστθ

2s in )213(222

44r

a r a r --=

θσσ2cos )341(1[244

2222r

a r a r a r +-+-=

在孔的边缘

a r =，所以有0==θτσr r ， )2c o s 21(θσσθ

-=。

②：直角坐标的位移表示法：α

i e

f iv u

→

=+ 其中（),((x f ∧

→=α）；

极坐标的位移表示法：β

θi r

e

f iv u →

=+ 其中（),((r f ∧

→=β

）；

而 θβα+=， 所以 ： θ

θθβi r i e iv u e f iv u )()(+==++→

；

由此可得：θ

θ

i r e iv u iv u -+=+)(； 于是可得极坐标的复位移公式：θ

θψχψμi z z z r e z K E

iv u ---+=+][1______

)(/______)(/)

( 将（5）代入极坐标的复位移表达式有：

)

24([12z

a z K E iv u r σσμθ

++=+=---++-θσσσσσi e z

a z z a z a z )]24()222(

_____

22

___

_____34

______

2

__

___

θ

θσσμi i e r

a K re K E -++24[12 θθθθθθθσσσσσi i i i i i i e e r

a re re e r a e r a re --+--++]2422222

2

3342

)2422224(122

2342222θθθθσσσσσσσμi i i i e r

a r e r a r a re e r a K r K E +--++++=---

θσθσθσθσσσμ2sin 2

2cos 22sin 22cos 22)1(4[1222r i r r a K i r a K r a K r E -+-++-+=μ

μσμθσθσθσθσ+-+=+++-1)1(24[12sin 22cos 22sin 22cos 2223434r E r a i r a r a i r a ]2cos 22cos 22cos 22cos )1(2)3(223422θσθσθσθμσμσr a r

a r r a r a +-++-++θ

σσμσμσμ2sin )22)1(2)3(2(13422r

a r r a r a E i +-+--++.

将上式中的实部和虚部分开，就可得所求的：

]2cos )141(11[2)1(44

2

222θμμμσμr

a r a r a r E u r -+++++-+=

θμμσμθ2sin ]1)1(21[2)1(44

2

2r

a r a r E v ++-++-=。

总结：弹性力学是固体力学的一个分支。求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和应力共15个函数。从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才能解决。但在实际问题中，起主要作用的常常只有其中几个函数，有时甚至只是某些部位的某几个函数。所以常常用实验和数学想结合的方法就可求解。通过上述分析可知如果将复变函数中的解析函数应用于求解弹性力学的平面问题，可使弹性问题简化。因为研究弹性力学的平面问题，当体力为常量时，可归结为求解满足双调和方程022=??φ的应力函数φ，并且使其在边界上满足所以的边界条件。可见任何学课之间没有必然的分界线。在弹性力学的基础上发展起来的弹性数学理论使麻烦的物理解析简化。数学文化是中国最先发展起来的而且是中国人最擅长的。由此就可得出。

致谢：在论文的写作过程中，由于我的水平有限，经验不足，加之时间仓促，文章中难免有些欠缺和不足，我要谢谢刘俊俏老师，他不辞辛劳的为我找资料、修改不足之处。同时也要感谢数学系领导的关心和支持。

参考文献：[1]王惠德、冯家聪、范家齐。《弹性力学》（解析法与数值法）上册。哈尔滨工业大学出版社。1987年。

[2]A.M.卡兹编著，王知民译，《弹性力学》，人民教育出版社。1982年。

[3]徐芝纶，《弹性力学》，第二版，上册，高等教育版社，1984。

[4]A.H.England，《Complex Variable Methods in Elasticity》，1971年

[5]https://www.360docs.net/doc/3c5339387.html,ne-Tomson，《Plane Elastic Systems》，1971年。

[6]森口繁一著，刘一珩译，王开福校，《平面弹性理论》，上海科学技术出版社，1962年。

[7]IVO BABU∨S KA-KARL REKTORYS，FRANTI∨S EK，VY∨C ICHLO，《MATEMATICK∨A THEORIE ROVINNE PRU∨Z NOSTI》，NAKLADA-TELSVI∨C ESKOSLOVENSKE AKADEMIE VED，PRAH，1955年。

The Applications of Analytic Function

-----Simply discussion of the elasticity theory

Du Bijing,

( Department of Applied Mathematics, Yuncheng University)

Abstract: We know if a complex variable function analyzes, its real and the imaginary component are the harmonic functions, and satisfy the harmonic equation. A real variable double harmonic function can obtain by the conjugate complex variable function linear combination. In the plane elasticity theory, plane-stress and the plane strain may transform the solution to satisfy under certain boundary conditions the

double harmonic equation question. This may use in the complex variable function the analytic function to carry on the solution 。

Key word: Analytic function, Stress function, Plane-stress, Plane strain.