数系的扩充(教案及教学设计说明)

课题：数系的扩充

授课教师：吴晶

教材：苏教版选修1-2第三章第一节

【教材分析】

教材地位和作用：

数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.

教材处理办法：

精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.

重点：

数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.

难点：

数系扩充的过程和方法，虚数的引入.

【教学目标】

知识目标：

了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.

能力目标：

发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识.

情感目标：

初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观.

【教学方法】

教学方法：

开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价.

学习方法：

自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结.

教学手段：

结合多媒体网络教学环境，构建学生自主探究的教学平台.

【教学程序】

以问题为载体，以学生活动为主线.

创设情境→建构数学→知识运用→归纳总结→巩固作业

创设情境：

用心智的全部力量，来选择我们应遵循的道路-------笛卡尔.

名人名言引入，投影出为数系扩充作出贡献的一些数学家的照片和名字.让学生把自己所了解的一些数学家作简要介绍，教师适时总结：他们都是科学巨匠，他们都曾为人类文明的进步做出过巨大贡献，同时，他们也为数的概念的发展做出过巨大贡献.回忆学过的数的类型.

建构数学：

数的概念来源于生活，为了计数的需要产生了自然数；为了表示相反意义的量，有了负数；为了解决测量、分配中的等分问题，有了分数；为了度量（例如边长为1km 的正方形田地的对角线长度）的需要，产生了无理数.

数的概念的发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学科学本身发展的需要.矛盾是事物发展的根本动力.看以下几个方程：

1x 2x 1201x 22

=+===+x

规定：

（1）i 2=-1 虚数单位：i

（2）实数可以与i 进行四则运算，且进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.

找到了方程012=+x 的解.

试一试：依据规定，写出实数3与i 进行四则运算后得到的数.

设计意图：适当了解一些与数系扩充有关的数学伟人和数学史，激发学生学习兴趣，引入新课.

设计意图：认识到数系扩充的必要性. 发展学生求知、求实、勇于探索的情感和态度，体会数学体系的系统性和严密性.

复数),(i R ∈+=b a b a z ，复数集：C 实部：a 虚部： b

复数),(i R ∈+b a b a ???

=≠=)0)(0()0(时是纯虚数虚数实数a b b .

练习 用文氏图表示N 、Z 、Q 、R 、C 的关系

N →Z →Q →R →C ,这就是近代数学在总结数的历史发展的基础上，用代数结构的观点和比较严格的公理系统加以整理而得到的数系的一般扩充过程.

知识运用： 例1 写出复数6i ,

i 25,

i ,

πsin i ,

0,

i 322+-的实部与虚部，并指出哪

些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.

例2 实数m 是什么值时，复数)1()1(-+-=m m m z i 是 (1) 实数? （2）虚数? （3）纯虚数? （4）6+2i? 解：(1) 当m-1=0即m=1时，复数z 是实数.

(2) 当m-1≠0即m ≠1时，复数z 是虚数.

(3) 当m （m-1）=0 且m-1≠0即m=0时，复数z 是纯虚数. (4) 如何解决，请同学们讨论后给出解决方案.

两复数相等的充要条件

),,,(.,

i i R ∈?

??==?+=+d c b a d b c a d c b a .

例3 已知)2()(y x y x -++i=)3()52(y x x ++-i .求实数y x ,的值.

解：根据两复数相等的充要条件，可得???+=--=+y x y x x y x 32522，解得???-==23

y x .

评述：把复数问题转化为实数问题. 试一试：仿照例3自编题目，并求解.

复数相等的内涵：复数b a +i ),(R ∈b a 可用有序实数对),(b a 表示. 练习：1、说出下列复数中，哪些是实数，哪些是虚数.

).,(i )(,π,i ),31(i ,i 72223R ∈+-+b a b a

2、实数m 是什么值时，复数)1()1(2-++=m m m z i 是

(1) 实数? （2）虚数? （3）纯虚数?

3、已知)()(y x y x -++i=42-i.求实数y x ,的值.

归纳总结： 1、数系的扩充 2、复数的基本概念 3、复数相等的充要条件

挑选好一个确定的研究对象，锲而不舍，你可能永远达不到终点，但是一路上准可以发现一些有趣的东西------克莱因.

设计意图：巩固本节课所学的知识，反馈课堂教学信息． 设计意图：学生发现自己的方案与课本中的结论完全一致，自信心大增且记忆更牢固.

设计意图：及时巩固概念，让学生体会到互动式学习的快乐，理解转化的思想在解题中的应用，并为复数的几何意义的理解打好基础.

巩固作业:

1.搜集与本节课有关的数学史知识，感受知识的发生、发展.

2.完成习题

3.1 1-

4.

【板书设计】

数系的扩充

）

规定：（1）

（2)

,,,(i i )0)(0()0(),,(i R C R ∈???==?+=+??

?

=≠=∈+=d c b a d

b c

a d c

b a a b b b

a b a b a z 时是纯虚数虚数实数复数；虚部：实部：复数集：复数3

例.

2

3,

325

2???-==???+=--=+y x y x y x x y x 解得条件，可得要解：由两复数相等的充

教学设计说明

一 确定教学目标的主要依据

(1)依据教学大纲和教材内容的特点，确定第一个教学目标； (2)数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，有利于发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识，由此确定第二个教学目标；

(3)数系扩充的过程体现了数学发生发展的客观需求和背景，学生将在学习过程中认识数学的应用价值.

重点：

数系扩充的过程和方法，复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念.

难点：

数系扩充的过程和方法，虚数的引入. 二 教学的过程设计说明 1 情境引入

激发学生学习兴趣，引入新课.

指出“矛盾是事物发展的根本动力”，以此为契机，自然顺畅地展开研究.设

计了从N 到R 的三次扩充历程的回顾，在面对求解方程012

=+x 的问题时，为解

决矛盾创造一个新数，自然成了学生的一种心理预期，是学生提出了解决问题的想法.

2 新课推进

从简单而又深刻的问题出发，到引出虚数单位、复数的有关概念，再到复数相等的充要条件，构成了一条稳妥、科学的理论构建的知识线.

3 例题讲解及练习

掌握基本解题方法，巩固本节课所学的知识，反馈课堂教学信息.

精心设计了环环相扣、步步深入、层层渐进的练习题，既巩固了知识，又构成了思维训练问题链.知识线与问题链巧妙交叉、搭配组合，使学生的认知水平、理解能力、思维品质、解决问题的操作能力、数学思想的树立与意志品质的优化，均得到长足的发展提高.

4 课堂小结与作业 对前面研究的问题，进行总结、反思、交流，使学生体会数学解决问题的方法，深入体会复数扩充的思想和应用价值.

三 板书设计说明

合理布局，重点突出.将主要概念一一呈现，与课件交相辉映.

本节课将数系扩充的知识与复数知识有机地结合起来，通过教学，让学生了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学科学中的科学价值、人文价值，开阔视野，寻求数学科学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，提高自身的文化素养和创新意识.