2000~2001年上海高考数学试题

2001年上海高考数学试题

一、填空题

1.(理)设函数f(x)=，则满足41)(=x f 的x 值为 . (文) 设函数x x f 9log )(=, 则满足21)(=x f 的x 值为 .

2.(理)设数列

的通项为a n =2n －7(n ∈N*)，则|a 1|＋|a 2|……＋|a 15|= . (文) 设数列

的首项,且满足,则a 1＋a 2……＋

a 17= . 3.设P 为双曲线

－y 2=1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨

迹方程为 . 4.设集合A={x|2lgx=lg(8x —15)，x ∈R}B={x|cos

＞0，x ∈R}，则A∩B 的元素个数为 个. 5.抛物线x 2－4y －3=0的焦点坐标为 .

6.设数列是公比q ＞0的等比数列，S n 是它的前n 项和.S n ＝7，则此数列的首项a 1的取值范围是 .

7.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需要准备不同的素菜品种 种.（结果用数值表示）

8.(理)在代数式(4x 2－2x －5)(1+)5的展开式中，常数项为 .

(文) 在代数式62)1(x x -

的展开式中，常数项为 .

9.设x=sinα，α∈［－，］，则arccosx 的取值范围为 .

10.(理)直线y=2x －与曲线（φ为参数）的交点坐标为 .

11.已知两个圆：x 2+y 2=1①与x 2+(y －3)2=1②，则又①式减去②式可得上述两圆的对称轴

方程.将上述命题在曲线的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为.

12. 据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一.下左图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况.由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在下右图中图示为.

二、选择题

13.a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的（）

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

14.如图在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝、

＝、＝，则下列向量中与相等的向量是（）

A.－＋＋

B.＋＋

C.－＋

D.－－＋

15.已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是

（）

A. 若a∥b，则α∥β

B.若α⊥β，则a⊥b

C.若a、b相交，则α、β相交

D.若α、β相交，则a、b相交

16. 用计算器验算函数y=（x＞1）的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（）

A. y=在（1，+∞）上是单调减函数

B. y=，x∈（1，+∞）的至于为（0，

C. y=，x∈（1，+∞）有最小值

D.=0 ，n∈N

三、解答题

17.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，S=5，求c的长度.

18.设F1、F2为椭圆＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|,求的值.

19.在棱长为a的正方体OABC－O'A'B'C'中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF. （1）求证：A'F⊥C'E；

（2）当三棱锥B'－BEF的体积取得最大值时，求二面角B'－EF－B的大小.（结果用反三角函数表示）

20.(理)对任意一个非零复数z，定义集合M z={ω|ω=z2n-1，n∈N*}.

（1）设a是方程x+＝的一个根，试用列举法表示集合M a.若在M a中任取两个数，

求其和为零的概率P；

（2）设复数ω∈M z，求证MωM z .

(文) 对任意一个非零复数z，定义集合M z={ω|ω=z n，n∈N*}.

（1）设a是方程

1

=

+

x

x

的一个根，试用列举法表示集合M a.若在M a中任取两个数，

求其和为零的概率P；

（2）设集合M z中只有3个元素,试写出满足条件的一个z的值,并说明理由 .

21. 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1

个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药用量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有

农药残留在蔬菜上.设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药与本次清洗前残留有农药量之比为函数f（x）.

（1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；

（2）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；

（3）设f（x）=，现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均

分成2份后清洗两次.试问用哪种方案清洗后蔬菜上的农药量比较少？说明理由

22. 对任意函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：

①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f（x0）；

②x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f（x1），并

依此规律继续下去.现定义f（x）=.

（1）若输出x0=，则由数列发生器产生数列{x n}.请写出数列{x n}的所有项；

（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输出的初始数据x0的值；

（3）(理)若输出x0时，产生的无穷数列{x n}满足：对任意正整数n均有

x n＜x n+1，求x0的取值范围.

(文)是否存在x0,,在输入数据x0时, 该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.

2000年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷

一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知向量{}12-=OA 、{}m OB ,3=，若AB OA ⊥，则=m 。

2．函数x

x y --=312log 2的定义域为。 3文．圆锥曲线19

16)1(2

2=--y x 的焦点坐标是。 3理．圆锥曲线???=+=θθtan 31

sec 4y x 的焦点坐标是。

4．若常数t 满足|t|>1,计算：=++++-∞→)...1(lim 1

2n n n t

t t t 。 5．已知b x f x +=2)(的反函数为)(1x f -，

若)(1x f y -=的图象经过点)2,5(Q ，则=b 。 6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP （GDP 是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需年。

（按：1999年本市常住人口总数约1300万）

7．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。

8．设函数)(x f v =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象

为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上，)(x f =。

9．在二项式11

)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数为。（结果用数值表示）

10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码不相同的概率是。

11文．所有满足不等式组 ??

???≥≥≤+≤+0,0625y x y x y x 的点中，使目标函数y x k 86+=取得最大值的点的坐标是。

11理．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点，则=AB 。

12．在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式*),19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++- 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式成立。

二、选择题。

13．函数]2

,2[),2sin(πππ

-∈+=x x y 是 （A ）增函数（B ）减函数（C ）偶函数（D ）奇函数

[答]（） 14．设有不同的直线a 、b 和不同的平面a 、β、γ，给出下列三个命题：

（1）若a a //，a b //，则b a //。（2）若a a //，β//a ，则β//a 。

（3）若γ⊥a ，γβ⊥，则β//a 。

其中正确的个数是

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

[答]（）

15．若集合{}{}T S R x x y y T R x y y S x 则,,1|..3|2∈-==∈==是

（A ）S （B ）T （C ）φ（D ）有限集

[答]（）

16．下列命题中正确的命题是

（A ）若点)0)(2,(≠a a a P 为角a 终边上一点，则5

52sin =a 。 （B ）同时满足2

3cos ,21sin ==a a 的角a 有且只有一个。 （C ）当1|| a 时，)(arcsin a tg 的值恒正。

（D ）三角方程3)3(=+π

x tg 的解集为{}Z k k x x ∈=,|π。

三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤

17．（本题满分12分）

已知椭圆C 的焦点分别为)0,22(1-F 和)0,22(2F ，长轴长为6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

[解]

18．（本题满分12分）

如图所示四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂直，且AB=BC=2，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为10

10arccos

，求四面体ABCD 的体积。

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2小题满分8分。 已知函数],1[,2)(2+∞∈++=x x

a x x x f 。 （1）当2

1=a 时，求函数)(x f 的最小值。 （2）若对任意],1[+∞∈x ，0)( x f 恒成立，试求实数a 的取值范围

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。 根据指令),(θr )180180,0(

≤-≥θr ，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转－θ），再朝其面对的方向沿直线行走距离r 。

（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）。

（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐

标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2

倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？

并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。

21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2

小题满分6分，第3小题满分6分。

在XOY 平面上有一点列,),,(,),,(),,(222111 n n n b a P b a P b a P 对每个自然数n ，点n P

位于函数)100()10

(2000 a a y x =的图象上，且点n P ，点)0,(n 与点)0,1(+n 构成一个以n P 为顶点的等腰三角形

（1）求点n P 的纵坐标n P 的表达式；

（2）若对每个自然数n ，以n b ，1+n b ，2+n b 为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；

（3）设))((1N n b g c n n ∈=，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列{}n c 前多少项的和最大？试说明理由。

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

已知复数yi x z m mi z +=-=),0(10 和w=x '+i y '

，其中y x y x '',,,均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数z ，有z z w ?=0，||2||z w =。

（1）试求m 的值，并分别写出x '和y '用x 、y 表示的关系式：

文（2）将（x 、y ）作为点P 的坐标，(x '、y ')作为点Q 的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q 。

已知点P 经该变换后得到的点Q 的坐标为)2,3(，试求点P 的坐标；

文（3）若直线kx y =上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k 的值。 理（2）将(x 、y )作为点P 的坐标，(x '、y ')作为点Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ，

当点P 在直线1+=x y 上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程； 理（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。