四种命题与充要条件
常用逻辑用语与充要条件
【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下．
1．命题的定义
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)原命题为“若p则q”，则它的逆命题为若q则p ；否命题为若┐p则┐q ；逆否命题为若┐q则┐p .
(2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价．四种命题中原命题与逆否命题同真
同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假．
命题真假判断的方法：
(1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明．若判断其为假命题只需举出一个反例．
(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表．
(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假．
3．充分条件与必要条件的定义
(1)若p?q且q p，则p是q的充分非必要条件．
(2)若q?p且p q，则p是q的必要非充分条件．
(3)若p?q且q?p，则p是q的充要条件．
(4)若p q且q p，则p是q的非充分非必要条件．
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有
(1)若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件；
(2)若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．充分、必要条件的判定方法
(1)定义法，直接判断若p则q、若q则p的真假．
(2)传递法．
(3)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A?B，则p是q的充分条件；②若B?A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q 的充要条件．
(4)等价命题法：利用A?B与┐B?┐A，B?A与┐A?┐B，A?B与┐B?┐A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础．
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．
(2)简单复合命题的真值表：
2.
(1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有
的”等．
3．全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题．
(2)含有存在量词的命题叫特称命题．
4．命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.
注：
1．逻辑联结词“或”的含义
逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同．如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x?B；x?A且x∈B；x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”是指：p
真且q 假；p 假且q 真；p 真且q 真三种情况． 2． 命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论．
命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系． 3． 含一个量词的命题的否定
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
1．(2013·皖南八校)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析 依题意得原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．选B. 2． (2012·)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A ．任意一个有理数，它的平方是有理数
B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C ．存在一个有理数，它的平方是有理数
D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案 B
解析 这是一个特称命题，特称命题的否定不仅仅要否定结论而且要将相应的存在量词“存在一个”改为全称量词“任意一个”，故选B 。
2．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( ) A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3 答案 A
解析 从“否命题”的形式入手，但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别．命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以A 正确．
【省市某重点中学2014届高三9月月考】命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域是减函数，则log 20a <.”的逆否命题是（ ）
A ．若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域不是减函数
B ．若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域不是减函数
C ．若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域是减函数
D ．若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域是减函数
命
题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是 ( )
A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数
B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数
C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数
D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 答案 C
解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.
5．与命题“若a ∈M ，则b ?M ”等价的命题是( ) A ．若a ?M ，则b ?M B ．若b ?M ，则a ∈M C ．若a ?M ，则b ∈M
D ．若b ∈M ，则a ?M
解析：因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．故选D. 答案：D
4． 下列命题中为真命题的是
( )
A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题
B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题
C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题
D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题 答案 A
解析 对于A ，其逆命题：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |＝?
???
?
y (y ≥0)－y (y <0)，必有x >y ；
对于B ，否命题：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，因为x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.
2．已知命题p：?n∈N,2n＞1 000，则┐p为( )．
A．?n∈N,2n≤1 000 B．?n∈N,2n＞1 000
C．?n∈N,2n≤1 000 D．?n∈N,2n＜1 000
解析特称命题的否定是全称命题．即p：?x∈M，p(x)，则┐p：?x∈M，┐p(x)．故选A. 答案 A
4．(2012·改编)命题“存在x0∈?R Q，x30∈Q”的否定是()
A．存在x0D∈/?R Q，x30∈Q B．存在x0∈?R Q，x30D∈/Q
C．任意xD∈/?R Q，x3∈Q D．任意x∈?R Q，x3D∈/Q
答案 D
解析“存在”的否定是“任意”，x3∈Q的否定是x3D∈/Q.
命题“存在x0∈?R Q，x30∈Q”的否定是“任意x∈?R Q，x3D∈/Q”，故应选D.
1．(2011·)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定
．．是()
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
答案 D
解析由于全称命题的否定是特称命题，本题“所有能被2整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为特称命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”．
2．(2012·改编)已知命题p：对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≥0，则┐p是() A．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
答案 C
解析┐p：存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0.
2．(2012·)命题“存在实数x，使x>1”的否定
．．是()
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
答案 C
解析利用特称命题的否定是全称命题求解．
“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.
11．给出以下三个命题： ①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；
②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；
③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A ．①
B ．②
C ．③
D ．②③
答案 (1)A (2)B
解析 (1)不等式2x 2＋x －1>0的解集为????
??x ??
x >12或x <－1，故由x >1
2?2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ?/x >1
2
，故选A.
(2)在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝sin B ?a ＝b ?A ＝B .故选B. 6． 下列结论：
①若命题p ：存在x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：对任意x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p 且┐q ”是假命题；
②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a
b ＝－3；
③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________． 答案 ①③
解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p 且┐q 为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③. 5． 下列命题中正确命题的序号是________． ①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；
③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 答案 ①③④
解析 对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ?/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2?A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ?a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③对；对于④显然对．
6． 已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值围为________． 答案 [3,8)
解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0， 解得m ≥3；又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，
解得m <8.故实数m 的取值围是3≤m <8. 以下命题是真命题的序号是________．
(1)“若f (x )是奇函数，则f (－x )也是奇函数”的逆命题； (2)“若x ，y 是偶数，则x ＋y 也是偶数”的否命题； (3)“正三角形的三个角均为60°”的否命题； (4)“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的逆否命题；
【解析】 对于(4)，只需证明原命题为真，∵a ＋b ＋c ＝3，∴(a ＋b ＋c )2＝9. ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝9，从而3(a 2＋b 2＋c 2)≥9，∴a 2＋b 2＋c 2≥3成立． 【答案】 (1)(3)(4) 2． 下列命题中正确的是
( )
A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题
B ．“sin α＝12”是“α＝π
6
”的充分不必要条件
C ．l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α
D ．命题“?x ∈R,2x >0”的否定是“?x 0∈R,2x 0≤0” 答案 D
解析 对A ，只有当p ，q 全是真命题时，p ∧q 为真；对B ，sin α＝12?α＝2k π＋π6或2k π＋5π
6，
k ∈Z ，故“sin α＝12”是“α＝π
6”的必要不充分条件；对C ，l ⊥β，α⊥β?l ∥α或l ?α；对D ，
全称命题的否定是特称命题，故选D. 15．给出下列四个命题：
①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；
②“?x 0∈R ，使得x 20－x 0
>0”的否定是：“?x ∈R ，均有x 2－x <0”； ③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；
④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }?{a ，b ，c }，p 且q 为真命题． 其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号) 答案 ①④
解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题， 所以其逆否命题亦为真命题，①正确；
对②，命题“?x 0∈R ，使得x 20－x 0
>0”的否定应是： “?x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错； 对③，因由“x 2＝4”得x ＝±2，
所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；