中考数学压轴题之新定义经典题型

【01】.在平面直角坐标系xOy 中，C e 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于O e 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P '，满足

2CP CP r '+=，则称P '为点P 关于C e 的反称点，下图为点P 及其关于C e 的反称点P '的示意图。 (1)当O e 的半径为1时。

①分别判断点(2,1)M ，

3(,0)

2N ，(1,3)T 关于O e 的反称点是否存在，若存在？

求其坐标；

②点P 在直线2y x =-+上，若点P 关于O e 的反称点P '存在，且点P '不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围； (2)当C e 的圆心在x 轴上，半径为1，直线

3y x =-

+x 轴，y 轴分别交

于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于C e 的反称点P '在C e 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围。

【02】.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，若,P Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴

垂直，则称该矩形为点P Q ，

的“相关矩形”.下图为点,P Q 的“相关矩形”的示意图.

（1）已知点A 的坐标为()10，

，

①若点B 的坐标为()31，

，求点,A B 的“相关矩形”的面积； ②点C 在直线3x =上，若点,A C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；

（2）

O ⊙的半径为点M 的坐标为(),3m .若在O ⊙上存在一点N ，使得点,M N

的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围.

【03】.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P 的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C的相邻点，直线l为⊙C 关于点P的相邻线.

（1）当⊙O的半径为1时，

○1分别判断在点D（，1

4），E（0，

，F（4，0）中，是⊙O的相邻

点

有__________；

○2请从○1中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程.

○3点P在直线3

y x

=-+上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；

（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1

，直线

y x

=-+与x轴，y轴分别交

于点M，N，若线段

．．MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．

图1 备用图1 备用图2

【04】.定义：y 是一个关于x 的函数，若对于每个实数x ，函数y 的值为三数2+x ，

12+x ，205+-x 中的最小值，则函数y 叫做这三数的最小值函数.

（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A （1， 3）是否为这个最小值

函数图象上的点；

（2）设这个最小值函数图象的最高点为B ，点A （1, 3），动点M （m ，m ）.

①直接写出△ABM 的面积，其面积是； ②若以M 为圆心的圆经过B A ,两点，写出点M 的坐标；

③以②中的点M 为圆心，以2为半径作圆. 在此圆上找一点P ，使

PA PB +

的值最小，直接写出此最小值.

【05】.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形W ,如果线段OP 与图形W 无公共点，则称点P 为关于图形W 的“阳光点”；如果线段OP 与图形W 有公共点，则称点P 为关于图形W 的“阴影点”．（1）如图1，已知点()13A ，，()11B ，，连接AB

①在()11,4P ，()21,2P ，()32,3P ，()42,1P 这四个点中，关于线段AB 的“阳光点”是；

②线段11A B AB P ；11A B 上的所有点都是关于线段AB 的“阴影点”，且当线段11A B 向上或向下平移时，都会有11A B 上的点成为关于线段AB 的“阳光点”．若11A B 的长为4，且点1A 在1B 的上方，则点1A 的坐标为___________________；（2）如图2，已知点()13C ，，C e 与y 轴相切于点D ．若E e 的半径为

，圆心E

在直线l y =+：上，且E e 上的所有点都是关于C e 的“阴影点”，求圆心E 的横坐标的取值范围；

（3）如图3，M e 的半径是3，点M 到原点的距离为5．点N 是M e 上到原点距离最近的点，点Q 和T 是坐标平面内的两个动点，且M e 上的所有点都是关于NQT ?的“阴影点”

，直接写出NQT ?的周长的最小值．

图1 图2 图3

【06】.给出如下规定：在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），以及两个无公共点的图形1W 和2W ，若在图形1W 和2W 上分别存在点M （1x ，1y ）和N （2x ，

2y ），使得P 是线段MN 的中点，则称点M 和N 被点P “关联”，并称点P 为图形1W 和2W 的一个“中位点”，此时P ，M ，N 三个点的坐标满足122x x x +=

，122

y y

y +=．（1）已知点(0,1),(4,1),(3,1),(3,2)A B C D --，连接AB ，CD ．

①对于线段AB 和线段CD ，若点A 和C 被点P “关联”，则点P 的坐标为__________；

②线段AB 和线段CD 的一个“中位点”是1

(2,)2Q -，求这两条线段上被

点Q “关联”的两个点的坐标；

（2）如图1，已知点R （－2,0）和抛物线1W ：22y x x =-，对于抛物线1W 上

的每一个点M ，在抛物线2W 上都存在点N ，使得点N 和M 被点R “关联”，请在图1中画出符合条件的抛物线2W ；

（3）正方形EFGH 的顶点分别是(4,1),(4,1),(2,1),(2,1)E F G H ------，⊙T 的

圆心为(3,0)T ，半径为1．请在图2中画出由正方形EFGH 和⊙T 的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积．

图2

【06】.在平面直角坐标系中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若为直线PC 与⊙C 的一个交点，满足

，则称为点P 关于⊙C 的限距点，右图为点P 及其关于⊙C 的限距

点的示意图．

（1）当⊙O 的半径为1时．

①分别判断点M ，N ，T 关于⊙O 的限距点是否存

在？若存在，求其坐标；

②点D 的坐标为（2,0），DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△

DEF 的边上.若点P 关于⊙O 的限距点存在，求点的横坐标的取值范围；

（2）保持（1）中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E →F →D →E 的方向

运动，⊙C 的圆心C 的坐标为（1,0），半径为r .请从下面两个问题中任选

一个作答.

温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分，两题均答不重

复计分.

问题

问题2

若点P 关于⊙C 的限距点存在，且随点P 的运动所形成的路径长为

，则r 的最小值为__________．

若点P 关于⊙C 的限距点不存在，则r 的取值范围为________.

xOy P '2r PP r '≤≤P 'P '(3,4)5

(,0)2

(1,2)P 'P 'P 'P 'r πP '

【07】.对于某一函数给出如下定义：若存在实数p ，当其自变量的值为p 时，其函数值等于p ，则称p 为这个函数的不变值. 在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q 称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q 为零.例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q 等于1.

（1）分别判断函数1y x =-，1

y x

=，2y x =有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；

（2）函数22y x bx =-.

①若其不变长度为零，求b 的值；

②若13b ≤≤，求其不变长度q 的取值范围；

（3）记函数22()y x x x m =-≥的图象为1G ，将1G 沿x=m 翻折后得到的函数图象记为2G .函数G 的图象由 1G 和2G 两部分组成，若其不变长度q 满足03q ≤≤，则m 的取值范围为 .

【08】.P 是⊙O 内一点，过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ，我们把PA PB ?的值称

为点P 关于⊙O 的“幂值”．（1）⊙O 的半径为5，OP = 3．

①如图1，若点P 恰为弦AB 的中点，则点P 关于⊙O 的“幂值”为________； ②判断当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P 关于⊙O 的“幂值”的取值范围．

（2）若⊙O 的半径为r ，OP = d ，请参考（1）的思路，用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O 的“幂值”或“幂值”的取值范围________；（3）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为4，若在直线3

y x b =

+上存在点P ，使得点P 关于⊙O 的“幂值”为13，请写出b 的取值范围________．

图1

备用图