初中数学专题-代数与几何综合题练习

初中数学专题-代数与几何综合题练习

解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。 教学建议：

（1）因为代数与几何综合比较难，所以注意层次，由易到难，逐步递进，别使学生畏惧，应该增强学生的信心；

（2）帮助学生分析问题、挖掘条件、展开联想，尽量多角度来分析问题，开阔学生思路；

（3）养成类比、归纳形成方法的习惯。

第一类：与反比例函数相关

1．（北京）如图，点C 为⊙O 直径AB 上一点，过点C 的直线交⊙O 于点D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF AB ⊥于点F ，EG AB ⊥ 于点G ． 当点C 在AB 上运动时，设AF x =，DE y =，下列 图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）

2．如图，在平面直角坐标系中 ,二次函数)0(22≠+=a a

m ax y 的图象经过正方形ABOC 的三个顶点 A 、B 、C ，则m 的值为 ．

3．（延庆）阅读理解：对于任意正实数a b ，，2()0a b -Q ≥，

20a ab b ∴-+≥，2a b ab ∴+≥，只有当a b =时，等号成立．

A B C D

结论：在a b +≥a b ，均为正实数）中，若ab 为定值p

，则a b +≥， 只有当a b =时，a b +

有最小值． 根据上述内容，回答下列问题： （1） 若0m >，只有当m = 时，1

m m

+

有最小值 ． （2） 探索应用：已知(30)A -，，(04)B -，，点P 为双曲线12

(0)y x x

=>上的任意一点，

过点P 作PC x ⊥轴于点C ，轴于y PD ⊥D ． 求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时 四边形ABCD 的形状．

4．（南通）已知双曲线k y x =

与直线1

4

y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线k

y x

=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线k y x

=

于点E ，交BD 于点C ． （1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点

坐标及k 的值． （2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积

为4，求直线CM 的解析式．

（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，

求p －q 的值．

5．（西城）已知：反比例函数2y x =

和8

y x

= 在平面直角坐标系xOy 第一象限中的图象如图所示，点A 在8y x =的图象上，AB ∥y 轴，与2

y x =的图象交于点B ，AC 、BD 与x 轴平行，分别与2y x =

、8

y x

=的图象交于点C 、D . （1）若点A 的横坐标为2，求梯形ACBD 的对角线的交点F 的坐标；

（2）若点A 的横坐标为m ，比较△OBC 与△ABC 的面积的大小；

（3）若△ABC 与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似，请直接写出点A 的坐标.

（第3题）

（第4题）

答案：（1） 点F 的坐标为17

(2,)5

.

（2）OBC ABC S S ??>. （3）点A 的坐标为(2,4)

6．（上海）如图，在直角坐标平面内，函数m

y x

=

（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，

连结AD ，DC ，CB ．

（1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标； （2）求证：DC AB ∥；

（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式． 答案：

（1）点B 的坐标为 433?? ???

，； （2）DC AB ∴∥． （3）所求直线AB 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+

二、与三角形相关

7．（北京）在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线 y = mx 2 + 23mx + n 经过P (3, 5), A (0, 2)两点. (1) 求此抛物线的解析式;

(2) 设抛物线的顶点为B , 将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l , 直线l 与抛物线的对称轴交于C 点, 求直线l 的解析式;

(3) 在(2)的条件下, 求到直线OB , OC , BC 距离相等的点的坐标． 答案：(1)抛物线的解析式为: y =x x 3

32312++ 2

(2)直线 l 的解析式为 y =

3

3x (3) 到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标分别为: M 1(-

3

3

2, 0)、 M 2 (0, 2)、 M 3(0, -2)、M 4 (-23, 0).

x

C

O D B

A

y

8． (北京)平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = x 2 + bx + c 与x 轴交于A , B 两点(点A 在点B 的左侧), 与y 轴交于点C , 点B 的坐标为(3, 0), 将直线 y = kx 沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B , C 两点. (1) 求直线BC 及抛物线的解析式;

(2) 设抛物线的顶点为D , 点P 在抛物线的对称轴上, 且∠APD =∠ACB , 求点P 的坐标; (3) 连结CD , 求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数.

答案：(1) 直线BC 的解析式为 y = -x + 3. 抛物线的解析式为 y = x 2 - 4x + 3.

(2)点P 的坐标为 (2, 2) 或 (2, -2).

(3) ∠OCA 与∠OCD 两角和的度数为45?. 9．（密云） 已知：如图，抛物线2

2

2(0)y x mx m m =-++>与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，C 是抛物线 上一动点（点C 与点A 、B 不重合），D 是OC 中点，连结BD 并延长，交AC 于点E ．

（1）求A 、B 两点的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）求

CE

AE

的值； （3）当C 、A 两点到y 轴的距离相等，且8

5

CED S =V 时， 求抛物线和直线BE 的解析式．

答案：（1）A （m -，0），B （2m ，0）． （2）

2

3

CE AE =． （3）抛物线的解析式为 2

28y x x =-++．直线BE 的解析式为 41633

y x =-

+ 10．（崇文）如图，抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32

-+=，与y 轴交于点C ，且OA OC OB 3==．（I ）求抛物线的解析式； （II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P 点坐标，若

不存在，请说明理由； （III ）直线13

1

+-

=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶

点．若α=∠DBC ，βαβ-=∠求,CBE 的值． 答案： （I ）322--=∴x x y

（II ）)3

1,0(1P )0,9(2P ，)0,0(3P

（III ）?=∠=∠-∠=∠-∠45OBC DBO αβα．

11. (11.6东城) 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的

正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ．

（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长； （3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q

两点的坐标．

答案：（1）224

233y x x =-++． （2）由224233y x x =-++＝228

(1)33

x --+． CF ＝FM ＋

CM ＝73

．

（3）点P 的坐标为（1，2

3

）

三、与面积有相关

12．（11.6通县）已知如图，ABC ?中，AC BC =，BC 与x 轴平行，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，抛物线2

54y ax ax =-+经过ABC ?的三个顶点， （1）求出该抛物线的解析式；

（2）若直线7+=kx y 将四边形ACBD 面积平分，求此直线的解析式.

（3）若直线b kx y +=将四边形ACBD 的周长和面积同时分成相等的两部分，请你确

定b kx y +=中k 的取值范围.

13．（11.6顺义）已知，如图，抛物线2

4(0)y ax bx a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A B ，，点A 的坐标为(40)-，，对称轴是1x =-． （1）求该抛物线的解析式；

（2）点M 是线段AB 上的动点，过点M 作MN ∥AC ，分别交y 轴、BC 于点P 、N ，连接CM ．当CMN △的面积最大时，求点M 的坐标； （3）在（2）的条件下，求

CPN

ABC

S S ??的值. 四、与最值相关

14．（石景山）平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC ，O 为坐标原点，A 点坐标为（10，0），C 点坐标为（0，6），D 是BC 边上的动点（与点B 、C 不重合）．如图②,将△COD 沿OD 翻折，得到△FOD ；再在AB 边上选取适当的点E ，将△BDE 沿DE 翻折，得到△GDE ，并使直线DG ，DF 重合．

（1）图①中，若△COD 翻折后点F 落在OA 边上，求直线DE 的解析式．

（2）设（1）中所求直线DE 与x 轴交于点M ，请你猜想过点M 、C 且关于y 轴对称的抛

物线与直线DE 的公共点的个数，在图①的图形中，通过计算验证你的猜想． （3）图②中，设E （10，b ），求b 的最小值．

答案：（1）直线DE 的解析式：y =-x +12

（2）直线DE :y =-x +12与抛物线:2

1624

y x =-+只有一个公共点 （3）b 2111(5)66

m =-+ 11

5,6m b ∴==最小值当

15．已知抛物线22y ax bx =++的图像经过点A 和点B ． （1）求该抛物线的解析式；

(2) 把(1)中的抛物线先向左平移1个单位，再向上或向下

图① 图②

B

y

6

平移多少个单位能使抛物线与直线AB 只有一个交点? 求出此时抛物线的解析式；

（3）将（2）中的抛物线向右平移5

2

个单位，再向下平移t 个单位（t >0），此时，抛物线与x 轴交于M 、N 两点，直线AB 与y 轴交于点P ，当t 为何值时，过M 、N 、P 三点的圆

的面积最小？最小面积是多少？

答案：（1）抛物线的解析式为2

32y x x =-+.(2) 析式为2

1

()2

y x =-

（３）当5t =时，过M 、N 、P 三点的圆的面积最小，最小面积为9π

16．（海淀）如图13，在平面直角坐标系xOy 中，直线23

3

+-

=x y 分别交x 轴、y 轴于C 、A 两点.将射线AM 绕着点A 顺时针旋转45°得到射线AN .点D 为AM 上的动点，点B 为AN 上的动点，点C 在∠MAN 的内部. （1） 求线段AC 的长；

（2） 当AM ∥x 轴，且四边形ABCD 为梯形时，求△BCD 的面积； （3） 求△BCD 周长的最小值；

（4） 当△BCD 的周长取得最小值，且BD =3

时,△BCD 的面积为 . 答案：（1） AC =4.

（2）当AM ∥x 轴，且四边形ABCD 为梯形时，S △BCD = 23-2. （3）∴△BCD 的周长的最小值为42. （4）43

.

五、与四边形及圆相关

17．(12.1年西城)已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy 中，A ，C 两点的坐标分别为

(2,3)A ，(,3)C n -（其中n ＞0）

，点B 在x 轴的正半轴上．动点P 从点O 出发，在四边形OABC 的边上依次沿O —A —B —C 的顺序向点C 移动，当点P 与点C 重合时停止运动．设点P 移动的路径的长为l ，△POC 的面积为S ，S 与l 的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF 是等腰梯形．

（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m = ； （2）求B ，C 两点的坐标及图2中OF 的长；

（3）在图1中，当动点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线W 的顶点时， ① 求此抛物线W 的解析式；

② 若点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上，坐标平面内另有一点R ，满足以B ，

P ，Q ，R 四点为顶点的四边形是菱形，求点Q 的坐标．

答案：（1）中的m =13． （2）221335D OF x DE =+=+． （3）符合题意的点Q 的坐标是1(0,0)Q ，2(2264,42619)Q --．

18.（石景山）如图，矩形'

''O BC A 是矩形ABCO 绕点B 顺时针旋转得到的．其中点C

O ,'在x 轴负半轴上，线段OA 在y 轴正半轴上，B 点的坐标为()3,1-．

（1）如果二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象经过'O O 、两点且图象顶点M 的纵

坐标为1-．求这个二次函数的解析式； （2）求边'

'A O 所在直线的解析式；

（3）在（1）中求出的二次函数图象上是否存在点P ，使得D CO M

PO S S ''3??=,若存在，

请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．

答案：（1）x x y 22

+= （2）3

8

34+=

x y （3）???

? ??-+-217721731

，P ， ???

?

??+-2177217-32，P ．

19．（12.1怀柔）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，

x

1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐

标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ?的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ?的最大面积.

答案：（1）抛物线为2211(4)1244

y x x x =--=-+ (2) 答：l 与⊙C 相交.

（3）PAC ?的面积最大为

27

4. 此时，P 点的坐标为（3，3

4

-）.

20．（11.6朝阳）在△ABC 中，D 为AB 边上一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，以

DE 为折线，将△ADE 翻折，设所得的△A’DE 与梯形DBCE 重叠部分的面积为y. (1)如图(甲)，若∠C=90°，AB=10，BC=6，

3

1

=AB AD ，则y 的值为 ； (2)如图(乙)，若AB=AC=10，BC=12，D 为AB 中点，则y 的值为 ； (3)若∠B=30°，AB=10，BC=12，设AD=x. ①求y 与x 的函数解析式；

②y 是否有最大值，若有，求出y 的最大值；若没有，请说明理由.

A 图(甲) 图(乙) 备用图

答案：（1）

3

8

. （2）12.

（3）

''

DA E MA N

y S S

??

=-

2

920

10

103

x

??

=--+

?

??

．

当

20

3

x=时，y值最大，最大值是10．