第34届全国中学生物理竞赛预赛试卷(解析版)

第34届全国中学生物理竞赛预赛试卷解析版

一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．

1．下述实验或现象中，能够说明光具有粒子性的是( )

A ．光的双缝干涉实验

B ．黑体辐射

C ．光电效应

D ．康普顿效应

2．系统l 和系统2质量相等，比热容分别为C 1和C 2，两系统接触后达到共同温度T ；整个过程中与外界(两系统之外)无热交换。两系统初始温度T 1和T 2的关系为( )

A ．T 1=C 2C 1(T －T 2) －T

B ．T 1=

C 1C 2(T －T 2) －T C ．T 1=C 1C 2(T －T 2) +T

D ．T 1=C 2

C 1

(T －T 2) +T

3．假设原子核可视为均匀球体。质量数为A 的中重原子核的半径R 可近似地用公式R =R 0A 1/3表示，其中

R 0为一常量。对于核子数相同的原子核，下列说法正确的是( )

A ．质量密度是基本相同的

B ．电荷密度是基本相同的

C ．表面积是基本相同的

D ．体积是基本相同的 4．一颗人造地球通讯卫星(同步卫星)对地球的张角能覆盖赤道上空东经θ0－Δθ到东经θ0+Δθ之间的区域。已知地球半径为R 0，地球表面处的重力加速度大小为g ，地球自转周期为T . Δθ的值等于( )

A ．arcsin( 4π2R 0T 2g )1/3

B ．2 arcsin( 4π2R 0T 2g )1/3

C ．arccos ( 4π2R 0T 2g )1/3

D ．2arccos ( 4π2R 0T 2g )1/3

5．有3种不同波长的光，每种光同时发出、同时中断，

且光强都相同，总的光强为I ，脉冲宽度(发光持续时间)为τ，光脉冲的光强I 随时间t 的变化如图所示。该光脉冲正入射到一长为L 的透明玻璃棒，不考虑光在玻璃棒中的传输损失和端面的反射损失。在通过玻璃棒后光脉冲的光强I 随时间

t 的变化最可能的图示是(虚线部分为入射前的总光强随时间变化示意图)( )

二、填空题．把答案填在题中的横

线上．只要给出结果，不需写出求得结果的过程．

6．(10分)如图，一个球冠形光滑凹槽深度h =0.050m ，球半径为20m ．现将一质量为0.10kg 的小球放在凹槽边缘从静止释放。重力加速度大小为9.8m/s ．小球由凹槽最高点滑到最低点所用时间为__________s ．

7．(10分)先用波长为λ1的单色可见光照射杨氏双缝干涉实验装置；再加上波长为λ2(λ2>λ1)的单色可见光照射同一个杨氏双缝干涉实验装置。观察到波长为λ1的光的干涉条纹的l 、2级亮纹之间原本是暗纹的位置出现了波长为λ2的光的干涉条纹的1级亮纹，则两种光的波长之比λ2：λ1=__________________。

8．(10分)某一导体通过反复接触某块金属板来充电。该金属板初始电荷量为6μC ，每次金属板与导体脱离接触后，金属板又被充满6μC 的电荷量。已知导体第一次与金属板接触后，导体上

带的电荷量为2μC ；经过无穷次接触，导体上所带的电荷量最终为______________。

9．(10分)如图，一焦距为20cm 的薄透镜位于x =0平面上，光心位于坐标原点0，光轴与x 轴重合。在z=0平面内的一束平行光入射到该透镜上，入射方向与光轴的夹角为30°．该光束通过透镜后汇聚点的位置坐标为_________________。

10．(10分)一质量为m 的小球与一劲度系数为k 的弹簧连接，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动，弹簧的伸缩方向与小球的振动方向一致。在一沿此弹簧长度方向以速度u 做匀速直线运动的参考系里观察，此弹簧和小球构成的系统的机械能___________(填“守恒”或“不守恒”)，

理由是__________________________________________________________________________。

三、计算题．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分．有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位．

11．(20分)某电视节目中演示了一个用三根火柴棍和细棉线悬挂起一瓶或多瓶矿泉水的实验，如图所示。A 、B 、C 为三根相同的火柴棍，火柴棍长为l ，细实线为棉线，棉线的直径为d (d <

(1)如果没有火柴棍B 和C ，光靠A 是否可能悬挂起一瓶矿泉水?为什么?

(2)加上火柴棍B 和C 、小心挂上重物时，火柴棍A 会在过A 的竖直平面内绕O 点有一个角位移，通过火柴棍B 的带动，压在火柴棍C 两端的棉线将绕桌面下表面的边沿转动一个很小的角度；只要角度大小合适，可使整个系统达到稳定平衡。求平衡时该角度的大小。

已知火柴棍与桌沿、火柴棍与棉线以及火柴棍之间都足够粗糙(即可以没有滑动)，而且它们的质量与重物相比均可忽略。

12．(20分)如图，一边长为L 的正方形铜线框abcd 可绕水平轴ab 自由转动，一竖直向上的外力F 作用在cd 边的中点，整个线框置于方向竖直向上的均匀磁场中，磁感应强度大小随时间变化。已知该方形线框铜线的电导率(即电阻率的倒数)为σ，铜线的半径为r 0，质量密度为ρ，重力加速度大小为g ．

(1)当框平面与水平面abef 的夹角为θ时，求该方形线框所受到的重力矩。

(2)当框平面与水平面abef 的夹角为θ时，框平面恰好处于平衡状态。求此时线框中cd 边所受到的磁场B 的作用力的大小与外力的大小F 之间的关系式。

(3)随着磁感应强度大小随时间的变化，可按照(2)中的关系式随时调整外力F 的大小以保持框平面与水平面abef 的夹角总为θ．在保持夹角θ不变的情形下，已知在某一时刻外力为零时，磁感应强度大小为B ；求此

时磁感应强度随时间的变化率│ΔB

Δt

│．

13．(20分)横截面积为S和2S的两圆柱形容器按图示方式连接成一气缸，每个圆筒中各置有一活塞，两活塞间的距离为l，用硬杆相连，形成“工”字形活塞，它把整个气缸分隔成三个气室，其中I、Ⅲ室密闭摩尔数分别为ν和2ν的同种理想气体，两个气室内都有电加热器；Ⅱ室的缸壁上开有一小孔，与大气相通；1 mol 该种气体内能为CT(C是气体摩尔热容量，T是气体的绝对温度)。当三个气室中气体的温度均为T1时，“工"字形活塞在气缸中恰好在图所示的位置处于平衡状态，这时I室内气柱长亦为l，Ⅱ室内空气的摩尔数为

3

2ν0．已知大气压不变，气缸壁和活塞都是绝热的，不计活塞与气缸之间的摩擦。现通过电热器对I、Ⅲ两室中的气体缓慢加热，直至I室内气体的温度升为其初始状态温度的2倍时，活塞左移距离d．已知理想气体常量为R．求

(1)Ⅲ室内气体初态气柱的长度；

(2)Ⅲ室内气体末态的温度；

(3)此过程中I、Ⅲ室密闭气体吸收的总热量。

14．(20分)把沿x方向通有电流(x方向的电场强度为Ex)的长方体形的半导体材料，放在沿z方向的匀强磁场中，半导体材料的六个表面分别与相应的坐标平面平行；磁感应强度大小为B x．在垂直于电场和磁场的+y或－y方向将产生一个横向电场E y，这个现象称为霍尔效应，由霍尔效应产生的电场称为霍尔电场。实验表明霍尔电场E y与电流的电流密度J x和磁感应强度B x的乘积成正比，即E y=R H J x B z，比例系数R H称为霍尔系数。

某半导体材料样品中有两种载流子：空穴和电子；空穴和电子在单位电场下的平均速度(即载流子的平均速度与电场成正比的比例系数)分别为μp和－μn，空穴和电子的数密度分别为p和n，电荷分别为e和一e．试确定该半导体材料的霍尔系数。

15．(20分)某根水平固定的长滑竿上有n (n ≥3)个质量相同的滑扣(即可以滑动的圆环)，每相邻的两个滑扣(极薄)之间有不可伸长的柔软轻质细线相连，细线长度均为L ，滑扣在滑竿上滑行的阻力大小恒为滑扣对滑竿正压力大小的μ倍。开始时所有滑扣可近似地看成挨在一起(但未相互挤压)；今给第1个滑扣一个初速度使其在滑竿上开始向左滑行(平动)；在滑扣滑行的过程中，前、后滑扣之间的细线拉紧后都以共同的速度向前滑行，但最后一个(即第n 个)滑扣固定在滑竿边缘。已知从第1个滑扣开始的(n 一1)个滑扣相互之间都依次拉紧，继续滑行距离l (0

(1)滑扣1的初速度的大小；

(2)整个过程中克服摩擦力所做的功；

(3)整个过程中仅仅由于细线拉紧引起的总动能损失。

16．(20分)如图，两劲度系数均为k 的同样的轻弹性绳的上端固定在一水平面上，下端悬挂一质量为m 的小物块。平衡时，轻弹性绳与水平面的夹角为α0，弹性绳长度为l 0．现将小物块向下拉一段微小的距离后从静止释放。

(1)证明小物块做简谐振动；

(2)若k =0.50N/m 、m =50g 、α0=30°、l 0=2.0m ，重力加速度g =9.8 m/s 。，求小物块做简谐振动的周期T ； (3)当小物块下拉的距离为0.010m 时，写出此后该小物块相对于平衡位置的偏离随时间变化的方程。已知：

当x <<1时，11+x ≈1－x ，1+x ≈1+1

2

x ．

解析

1．黑体辐射：在任何条件下，对任何波长的外来辐射完全吸收而无任何反射的物体，……但黑体未必是黑色的，例如太阳是一个黑体……在黑体辐射中，随着温度不同，光的颜色各不相同，黑体呈现由红——橙红—黄—黄白—白—蓝白的渐变过程。……普朗克由黑体辐射提出能量子的观点！CD 明显正确选 BCD

2．从表达式看，应是物体1的放热=物体2的吸热，建立方程：C 1m (T 1－T )=C 2m (T －T 2)……选D 3．核子数相同→质量数相同→由题知半径相同→CD 对；质量数相同→质量基本相同→质量密度基本相同……选 ACD

4．首先算出同步卫星绕地球公转的半径r ， 地球自身半径为R ，几何关系如右图所示，…… 选C 5．因为能量是没有损失的，所以通过玻璃棒后

光脉冲的光强(图中实线总面积)

面积)相同。又因为是三种不同波长的光，所以在同种介 质中传播的速度都不相同，所以到达玻璃棒右端点的时间都不同，所以……

选D 6．典型的单摆模型：T =2πL g =8.88 s ，实际时间是14T =2.22 s

7．两束光到达I 位置的光程差记为d ；对于波长为λ1的单色光 而言，d =3

2 λ1 ；对于波长为

λ2的单色光而言，d =

λ2，故λ2：λ1=3：2

8．两个带电体不再交换电荷的条件，并不是两者电荷量相等，而是 两者电势相等！由第一次知，当电荷量为4μC

：2μC 时，既电荷量之比为2：1时，两者电势相等。……故最终为6μC ：3μC ！ 答案：3μC

9．过F 平行于透镜，作一副光轴。把过原点O (薄透镜光心)延长后交副光轴于P ，则所有光汇聚于P 点。故位置坐标为(20, 10．不守恒；墙壁对弹簧有作用力(外力)，且在运动参考系中，

该力的作用点有位移，所做的功不为零。

11．(1)不能。从力的平衡看，单一的A 无所提供向上的力与一瓶

矿泉水的重力平衡。

从力矩的平衡看，重物相对于支撑点O 有一力矩，此力矩没有其它力矩与其平衡，会使火柴棍转动直至掉下。

(2)由于火柴棍A 水平，火柴棍B 的下端正好在A 的中点的正下方，由几何关系知，火柴棍A 和B 之间的夹角为α=60°。

桌面上表面边沿O 点到火柴棍B 的下端(即火柴棍C 的中点)的距离为

L =3

2l ．

又由于火柴棍C 水平，由几何关系知，从O 点到火柴棍C 两端的距离均为l ．如图11(a )所示。

据题意，三根火柴的结构在重物质量逐渐增大时是稳定的。因而火柴棍C

继续保持水平，火柴棍B 和A 之间的夹角也能得以保持不变，即图11(b)中，火柴棍A 和B 之间的夹角仍然为60°． 瓶最终稳态应该在何处？应该在O 点正下方！又因为棉线是有一定的线度，直径为d 。一开始瓶的纵向几何中心与棉线的纵向几何一直线，最终瓶的 2 2

1

I 波长为λ1 的单色光

波长为λ2 的单色光 的亮条纹

I

纵向几何中心在O 点的正下方。所以：①瓶向左平移的距离为d

2 ；②瓶最终的转动中心中桌子下边沿，O 点正下方的D 点。

如图11(c)，D ′是棉线纵向轴线的位置，是瓶纵向中心的原位置。D 是瓶的纵向中心的新位置。所以瓶转过的角度∠DED ′=θ．

DD ′=d 2 ，且因为是微小的转动，故由微量处理知，OO ′=DD ′=d

2

同理：O ′D ′=OD =h D ′E =DE =L －h =

3

2

l －h 故：sin θ=d 2

32l －h

得θ=arcsin d

3l －2h

12．(1)该方形线框的质量：m =ρV =ρS 4L =4Lρπr 02

方形线框的重力相对于AB 边的力矩为：M g =mg L

2 cos θ=2L 2ρgπr 02 cos θ

(2)由于电流方向未知，所以引起的安培力方向及其力矩方向均未知，故需要分类讨论 况1：安培力水平向左，力矩M 安+M F =M g

M 安=2L 2ρgπr 02 cos θ－FL cos θ 又因为 M 安=F 安L sin θ

联立得：F 安=2Lρgπr 02 cot θ－F cot θ

况2：安培力水平向右，同理 力矩M 安+ M g =M F

得：F 安= F cot θ－2Lρgπr 02 cot θ (3)磁通量 φ(θ)=L 2B cos θ 感应电动势ε=ΔφΔt =L 2cos θ│ΔB

Δt │

方形线框的电阻R ，由电阻定律有R =ρl S =4L σπr 0

2 该方形线框上的感应电流为i =εR =L 4 σπr 02 cos θ│ΔB

Δt │ cd 边所受到的安培力的大小为 F A =iBL =L 24σπr 02B cos θ│ΔB

Δt │

因为要外力F 等于零，所以是第(2)小题中的第1种情况 │ΔB Δt │=8ρg

BLσsin θ

13．(1)设大气压强为p 0．初态：I 室内气体压强为p 1；III 室内气体压强为p 3，气柱的长度为l 3． 末态：I 室内气体压强为p 1′；III 室内气体压强为p 3′． 由初态到末态：活塞左移距离为d ．

首先用整体法，力学平衡： p 3(2S )= p 1S + p 0(2S －S )

然后对三部分气体分别分析：p 1lS =νRT 1； p 0(l 2×S +l 2×2S )=3

2ν0RT 1 ； p 3l 3(2S )=(2ν)RT 1 联立上述各式得：νRT 1l 3

S ·2S =ν0RT 1lS ·S +νRT 1lS ·S 得：l 3=2ν ν+ν0l

(2)方法同第(1)小题：p 3′(2S )= p 1′S + p 0(2S －S )

对I 室中气体：p 1′(l －d )S =νRT 2=νR 2T 1 对III 室中气体：p 3′(l 3+d )(2S )=(2ν)RT 3′

T 3′=2νl +(ν+ν0)d (l －d )(ν+ν0) · (1+ν02ν ·l －d l )T 1

(3)大气对密闭气体系统做的功为：W =p 0(2S －S )(－d )=－p 0Sd =－d

l ν0RT 1

系统密闭气体内能增加量为： ΔU =νC (T 1′－T 1)+ (2ν)C (T 3′－T 3) 且初态T 3= T 1

b

b 安

故ΔU =νC (2T 3′－T 1)

将T 3′代去得：ΔU =[2νl +(ν+ν0)d (l －d )(ν+ν0)

· (2+ν0ν ·l －d

l )－1]νCT 1

密闭气体系统吸收的热量为 Q =ΔU －W =[2νl +(ν+ν0)d (l －d )(ν+ν0) · (2+ν0ν ·l －d l )－1]νCT 1+ d

l ν0RT 1

14．这个题我真的也不太懂，也颠覆了我曾经的霍尔元件模型。

为确定起见，取坐标系如图所示，磁场沿Z 方向，通电电流密度J x 沿x 方向。设半导体材料中的载流子空穴和电子沿x 方向的平均速率分别为v px 和v nx ，

由J =I/s ，I =nqvs ，得J =nqv

由题中已知条件知：空穴和电子的(单位体积内的)数密度为p 和n ；

故沿x 方向的电流密度为J x =ep v px +(－e )n (－v nx ) 由题意知，其中

v px =μp E x ；－v nx =－μn E x

如果沿x 方向的电流中只有一种载流子，则当作用于载流子的洛仑兹力与霍尔电场的作用力平衡时，霍尔电场达到稳定，如金属导体。

在半导体中，存在两种载流子，两种载流子受到的外磁场的洛仑兹力方向相同，受到的霍尔电场力方向相反，两种载流子受到的洛仑兹力不可能同时与霍尔电场力平衡，所以在半导体样品内存在载流子的横向流动，当任何时刻流向样品同一侧的空穴数与电子数相等时，霍尔电场便达到稳定。

(这段话讲述了半导体霍尔元件的工作机理，我真心不太懂。我比较浅显的理解是，①“当任何时刻流向样品同一侧的空穴数与电子数相等时”，这里空穴与电子在样品同一侧的流向是一致的，效果是相消的；②一开始空穴与电子在样品同一侧的流向是一致的，但数量是不相等的，比如一开始是空穴多，电子少；那么积累的电场不利于空穴的继续积累，而有利于电子的继续积累。但在这个阶段，霍尔电场在持续的增强。③同一侧的空穴数与电子数相等时，霍尔电场就稳定了！)

设两种载流子的横向平均速率分别为v py 和v ny ，则横向电流密度为 J y =ep (－v py )+(－e )n (－v ny )

这时，空穴在横向受到的作用力大小为：F py =e [E y －v px B z ]；这时的力是合力，其中[E y －v px B z ]是等效合场强；

同理：电子在横向受到的作用力的大小为：F ny =(－e )[E y －(－v nx )B z ]；其中[E y －(－v nx )B z ]是等效合场强；

故两种载流子的横向平均速度为：－v py =μp ·E y 合=μp ·[E y －v px B z ] －v ny =－μp ·E ′y 合=－μn ·[E y +v nx B z ]

(个人粗浅的理解：个人觉得这个式子的得到与题中的表述是有一定差异的，题中说是“成正比”……，“在单位电场下”……，而这里却是用了一个等效的合场强)

霍尔电场达到稳定时有 J y =0 综上各式：E y =p μp 2－n μn 2

(p μp +nμn )E x B z

因为：E y =R H J x B z 得R H =1e p μp 2－n μn

2

(p μp +nμn

)2 (注意：这里还要将J x 算出来，代进去

)

15．解：(1)为普遍起见，设两个物体质量分别为m 1和m 2，初速度分别为v 1和0，发生完全非弹性碰

撞后共同速度为v ，则碰前的动能 E =1

2mv 12 ①

由于细绳拉紧前后时间间隔极短，可以忽略摩擦阻力，故前后动量守恒，有 m 1v 1=(m 1+m 2)v ②

碰后的动能之和(即系统剩余动能)为： E ′=1

2(m 1+m 2)v 2 ③

由①②③式得 E ′=m 1

m 1+m 2E ④ [此式为后续计算的通式，后续计算特别简单，因为质量相等。]

损失的动能为 ΔE =E －E ′=m 2

m 1+m 2

E

设第1个滑扣以速度v 10开始运动 E 0=1

2mv 102 ⑤

在第1个滑扣滑动距离L 、第1与第2个滑扣之间的细绳刚拉紧前的瞬间，系统剩余动能为 E 1f =E 0－μmgL ⑥

在第1个滑扣与第2个滑扣之间的细绳刚拉紧后的瞬前，系统剩余动能为(根据④式)

E 20=11+1E 1f = 12E 1f =1

2(E 0－μmgL ) ⑦

在第1、2个滑扣共同滑动距离L 、第2与第3个滑扣之间的细绳刚拉紧前的瞬间，系统剩余动能为

E 2f =E 20－2μmgL =12(E 0－μmgL )－2μmgL =12E 0－1

2(12+22)μmgL ⑧

在第2个滑扣与第3个滑扣之间的细绳刚拉紧后的瞬前，系统剩余动能为(根据④式)

E 30=22+1E 2f = 23E 2f =23[12E 0－1

2(12+22)μmgL ] ⑨

在第1、2、3个滑扣共同滑动距离L 、第3与第4个滑扣之间的细绳刚拉紧前的瞬间，系统剩余动能

为 E 3f =E 30－3μmgL =23[12E 0－12(12+22)μmgL ]－3μmgL = 13E 0－1

3(12+22+32)μmgL ⑩

……

依次类推，在第k 个与第k +1个滑扣之间的细绳刚拉紧前的瞬间，系统剩余动能为

E kf = 1k E 0－1k (12+22+32+……+k 2)μmgL = 1k E 0－1k k (k +1)(2k +1)6μmgL =1k E 0－ (k +1)(2k +1)6

μmgL ， 1≤k ≤n －2 于是，在第(n －2)个与第(n －1)个滑扣之间的细绳刚拉紧前的瞬间，系统剩余动能为

E (n －2)f = 1

n －2

E 0－ (n －1)(2n －3)6μmgL ⑾ 在第(n －2)个与第(n －1)个滑扣之间的细绳刚拉紧后的瞬间，系统剩余动能为

E (n －1)0= n －2n －1E (n －2)f = 1

n －1E 0－ (n －2)(2n －3)6μmgL ⑿ [可类比⑦、⑨，并代入⑾得到] [由⑾知，E (n －2)f >0，1n －2E 0－ (n －1)(2n －3)6μmgL >0； E (n －1)f

<0，1n －2E 0－ (n －1)(2n －3)6μmgL <0， 得

(n －1)(n －2)(2n －3)6μmgL

6

μmgL ，本式题目中没有要求的，相当于给出了待求量的定义域]

则从第1个滑扣开始的(n －1)个滑扣都依次拉紧，且可继续滑行距离l (0

E (n －1)0=

1

n －1

E 0－ (n －2)(2n －3)6μmgL =(n －1) μmgl (因为要继续滑行距离l ) ⒀ 由⑤⒀ 得：v 10=

[

(n －2)(2n －3)

3

L +2(n －1)l ](n －1) μg

(2)整个过程中克服摩擦力所做的功为 W =μmgL +μ(2m )gL +μ(3m )gL +……+μ[(n －2)m ]gL +μ[(n －1)m ]gl =[

(n －2)

2L +l ](n －1) μmg

(3)在整个过程中仅仅由于细线拉紧引起的总能量损失为

ΔE=12mv 210 －W =12[(n －2)(2n －3)

3L +2(n －1)l ](n －1) μmg －[(n －2)2L +l ](n －1) μmg =[

(n －2)(n －3)

3

L +(n －2)l ](n －1) μmg

16．(1)取小物块的平衡位置为原点O ，y 轴的方向竖直向下，如图所示。 由牛顿第二定律可知：ma =mg －2k (l －L )sin α ① 式中a 为物块的加速度，L 为弹性绳的原长；l 0为物块静止时，

弹性绳的长；l 和α分别为物块离开平衡位置的位移为y 时弹性绳的

长度和弹性绳与水平面的夹角。

由几何关系得 l =d 2+(l 0sin α0+y )2 ②

sin α=l 0sin α0+y

l

③ d =l 0cos α0 ④ ④代入② 展开，化简得：l =l 20cos 2α0+l 2

0sin 2α0+y 2+2l 0y sin α0 由于y 是小量，y 2是二阶无穷小量，可略去。得 l =

l 2

0+2l 0y sin α0 =l 0

1+2y

l 0

sin α0

由小量展开式：当x <<1时， 1+x ≈1+12x ，知l =l 0[1+ y

l 0

sin α0]=l 0+y sin α0 ⑤

将⑤代入③，得 sin α=l 0sin α0+y l 0

+y sin α0

，由 当x <<1时，11+x ≈1－x ，知 sin α=(l 0sin α0+y )[1l 0

(1－y

l 0

sin α0)]

? l 0sin α= l 0sin α0+y －y sin 2α0－(y 2/l 0)sin α0 且 忽略y 2项，? l 0sin α= l 0sin α0+y cos 2α0 ? sin α= sin α0+(y/l 0)cos 2α0 ⑥

[我比较笨的办法：sin α=l 0sin α0+y

l ? l sin α= l 0sin α0+y ? (l 0+y sin α0)sin α=l 0sin α0+y ?l 0sin α= l 0sin α0+y －y sin α0sin α；因为是微小变化，所以α0和α很接近，所以y sin α0sin α ≈y sin 2α0 ?l 0sin α= l 0sin α0+ y cos 2α0 …… 各路大神，不知我这样证明可不可以？]

当小物块处在平衡位置时有 mg =2k (l 0－L )sin α0 即 L =l 0－mg

2k sin α0

⑦

⑤⑥⑦(代去l ，L ，sin α)代入① 得：ma =mg －2k [l 0+y sin α0－l 0+ mg

2k sin α0

][ sin α0+(y/l 0)cos 2α0 ]

ma =mg －2k [y sin 2

α0+ mg 2k + y 2l 0sin α0cos 2

α0 + mgy cos 2α02kl 0sin α0

] 略去y 2项

ma =－(2k sin 2

α0+ mg cos 2α0

l 0sin α0

)y 由简谐运动的特征方程知：F 回=－Ky

所以 K =(2k sin 2

α0+ mg cos 2α0

l 0sin α0

)

由此，物体的运动满足简谐运动的特征方程。因此，当y 很小时，小物块做简谐运动。

(2)小物块做简谐运动的周期为 T =2π

m K

= 2π

2k m sin 2α0+g l 0 cos 2α0sin α0

⑧

将题给数据代入 ⑧ 得 T =1.8s

(3)因将小物块拉开距离y 0=0.010m 时从静止松手，故小物块做简谐振动的振幅为 A =0.010m 初始时，小物块速度为零，小物块位于最大振幅处，其初相位为 φ0=0 ⑨

圆频率为 ω0=2π

T =3.5rad/s

故在国际单位制中，小物块做简谐振动的方程为 y =0.010×cos(3.5×t )