二次根式经典复习资料

第七讲 二次根式的运算

式子a (a ≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础． (1)c b a c b c a )(±=± (c ≥0)； (2)ab b a =? (0,0≥≥b a )； (3)

b

a b a =

(0,0>≥b a )；

(4)22)(a a =(≥a 0)．

同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．

二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等． 例题求解 【例1】 已知2542

4

52

22+-----=

x

x x x y ，则22y x += ． (重庆市竞赛题)

思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手． 注： 二次根式有如下重要性质：

(1)0≥a ，说明了a 与a 、n a 2一样都是非负数；

(2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化； (3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．

著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．

提示：22222

2

054

20,262045x x x y x y x x

?-≥??-→-==→+=?-?≥?-? 【例2】 化简2

2

)1(111++

+

n n ，所得的结果为（ ）(武汉市选拔赛试题)

A ．1111+++n n

B ．1111++-n n

C ．1111+-+n n

D ．1

1

11+--n n

思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．提示：

原式

11

1

n n n +==-+ （C ）

【例3】计算： （1）

)

23)(36(23346++++； （2

（3）

49

4747491

7

55715

33513

31++

+++

++

+ ；

（4

思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．（1

）原式

=

==+

（2）原式

=

(55==--=

（3

=

=

12=

==

原式1

1113(

()2

217747

=+++=-=

（4

=

=

==【例4】 (1)化简324324-++； (北京市竞赛题)

(2)计算223810++ (“希望杯”邀请赛试题)

(3) 计算1212--+-+a a a a ． (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题) 思路点拨 （1）把4+23万与4—23分别化成一个平方数化简，

原式11=+=由于4+23与4—23是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；原

式3

423=-

21612==-==(2)

原式==

242(2)4+=+(3)通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就a 的取值情况讨论，解决含根号、

绝对值符号的综合问题．

原式

=

2112a a ?≤≤≤?=+-=?

>?? 1，即12时

，即时

【例5】 已知52

1332412---=----+c c b a b a ，求c b a ++

的值．(山东省竞赛题)

思路点拨 已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，

一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为：

222221

1]

2212

][(3)233

9]2

a c c -+--+=----+

即2221

1)2)]3)02+

+=，10=，得2a =20=，得6b =；

30=，得12c =。故261220a b c ++=++=。

学历训练

1．如果22332+-+-=x x y ，那么4x y -=

．

2

．已知3=xy

，那么

y

x

y

x y x +的值为

． (

成都市中考题)

提示：原式(

)x y x y x y x y ??==+?

-??、均为正

、均为负

3

．计算2001)1

3(2)

13(2)1

3(199920002001++-+-+= ．(天津市选拔赛试题) 原式199********)1)1)13]20011)11)3]20012001=-+-+=

--+=

4

．若 ab≠0，则等式ab b b a -=

-

-3

5

1成立的条件是

．(淄博市中考题)

==故33b b =-，因此0b <，∵ 0ab ->，∴0a > 5．如果式子2)1(2-+-x x 化简的结果为32-x ，则x 的取值范围是( B )

A ．x≤1

B ．x≥2

C ．1≤x≤2

D ．x >0 (徐州市中考题) 6．如果式子a

a --

-11

)1( 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ C ）

A ．a -1

B ．1-a

C ．1--a

D ．a --1 7．已知)0,0(02>>=+-y x y xy x ，则

y

xy x y xy x 4353-++-的值为( D )

A ．3

1

B ．2

1 C ．3

2 D ．4

3

8．已知3

21

+=a ，那么a a a a a a -+--+-2221

211的值等于（ ）

A ．)321(+-

B ．1-

C ．32-

D ．3 9．计算：

(1)12002200120001999+???； （2）72

21756215422133021120291227625223-+-+-+-+-+-+-+-；

（3）42

66777647511+++++；

（4）

)

19992001()19972001(2001

)

20011999)(19971999(1999

)

20011997)(19991997(1997

--+

--+

--

(“希望杯”邀请赛试题)

10．(1)已知139+与139-的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a+4b+8的值； (2)设n

n n n x ++-+=

11，n

n n n y -+++=

11，n 为自然数，如果199********=++y xy x 成立，求n ．

11．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响． （1）问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由； (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物? (供选用数据：4.12≈，7.13≈) (贵阳市中考题) 12．已知2

323+-=

x ，2

323-+=

y ，那么

2

2

y x x y += ．(杯全国初中数学联赛题)

13．若有理数x 、y 、z 满足)(2

1

21z y x z y x ++=-+-+，则3()x yz -=

．

(北京市竞赛题)

14．设b a +=-21027，其中a 为正整数，b 在0，1之间，则b

a b

a -+= ．

15．正数m 、n 满足34424=+--+n n m mn m ，则2002

282++-+n m n m = ．

(北京市竞赛题)

16．化简212172232-+-等于( )

A ．5—42

B ．42一1

C ． 5

D ．1 (全国初中数学联赛题) 17．若x x +=-11，则2

)1(-x 等于( ) (2004年武汉市选拔赛试题) A 1-x B ．x -1 C ．1 D ．－1

18．若b a b a b a -≠、、,都是有理数，那么a 和b ( ) (“希望杯”邀请赛试题) A ．都是有理数 B ．一个是有理数，另一个是无理数

C ．都是无理数

D ．有理数还是无理数不能确定 19．下列三个命题：

①若α，β是互不相等的无理数，则αβ+α－β是无理数； ②若α，β是互不相等的无理数，则

β

αβ

α+-是无理数； ③若α，β是互不相等的无理数，则3βα+是无理数． 其中正确命题的个数是( )

A ． 0

B ．1

C ．2

D ．3 (全国初中数学联赛试题) 提示：①(21)(21)[(21)(21)]123+-++--=+=是有理数；答案A ②

22221

3

22232-==+是有理数； ③

33

6622220+-=-=是有理数。

20．计算： （1）3

426302352+--+； （2）

2

356

101528-+--+；

（3）

100

99991001

3

22312

1121++

+++

+ ；

(4) )1552326(2+--； (5)

2

231

52

525--+-+

+．

提示：（1）原式2532536

26526326226(532)26+-+-=

===-+-+；（2）原式

2(52153)2(53)(53)2(53)532532

++-++-+==

+-+-(53)(532)

532

++-=

+-53=+；

（3）先看通项

(1)11(1)

n n n n n n n n =++++++

111(1)(1)11

n n n n n n n n n n n n n n +-+-=

==-++++-++

故原式19

(1)(

)(

)11010

2

2

3

99

100

=-

+-

++-

=-

= （4）原式124345215435223225215=--+=++--+

2(235)235352=--=--=+-； （5）原式

252

52(52)(51)(52)(51)

2221(21)5151(51)(51)(51)(51)

+-+---=

+--+=+--+++-+- 552535235735(21)(21)515144

+--++-=

+--=+----

1)1)

==

1)1)3)1)1

=+-=+-=

21．(1)求证

1

1

)1

(

1

2

2

2

2

+

-

+

=

+

+

+

ab

a

b

a

ab

a

b

a；

(2)计算

2000

1

2000

1999

1999

1

2

2

2-

+

+．（“祖冲之杯”邀请赛试题）

提示：（1）因为

2111

222()22

1111

a a a a a

b a

a

ab b ab ab b ab b b

+

+=+==

++++

，所以原式左边=

1

b ab

===

+

右边

（2）设1999

a=，则原式

1

1

11

a a

==

++

11

1

1

a a

==-

++

11

11

a a

=-=

++

2

111

1999

111

a a

a

a a a

++

=-=-==

+++

22．(1)

32

32

321

2

1

1

2

1

)

(

+

-

+

-

+

+

+

=

x

x

x

x

x

x

f，求(1)(3)(999)

f f f

+++的值；

(2)设x、y都是正整数，且使y

x

x=

+

+

-100

116，求y的最大值．(上海市竞赛题)

提示：(1)注意到

222233

1

()()

a b a b

a a

b b a ab b a b a b

--

==

++++--

，原

()

f x可化为：

()

f x

==

1

2

==

故(1)(3)(999)

f f f

+++

=

3

1

(1000

2

=+++

11

105

22

===

（2）设

2

22

2

116

216()()2108454

100

x m

n m n m n m

x n

?-=

?

→=-→+-=?=?

?

+=

??

，108

y m n

=+

=

23

．试将实数)7

1

)(

5

1(2

11+

+

+改写成三个正整数的算术根之和．

(2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)

提示：题目的意思是：2

11

2(1()

a

b c

+++

=++

，因此配方使11

2(1

++

+=

2

112(117

5(1

=++

=+++

+

故

1

=

24

．求比6)5

6

(+大的最小整数．

(西安交通大学少年班入学试题)

提示：设x=

，y=x y

+=

1

xy=

那么2222

()2222

x y x y xy

+=+-=-=，

3322

()()1)

x y x y x xy y

+=+-+=-=，

66332

332

()

2210582

x y x y x y

+=+-=-=

即

6610582

+=

，由于01<

，故6

1

<<

6

010582

1

<-<

，同减10582，得

6

10582

10581

-<-<-，同乘1-得

6

1058210581

>>，即6

1058110582

<

<

故比6)5

6

(+大的最小整数为10582。

二次根式的计算与化简（提高篇）

1、已知m的值。

2、化简（1

（2）x

x x x x 50

2232212

3-+

（3

0)a >

3

、当2x =

2

(7(2x ++

4

、先化简，再求值：221,39

a b ==。

5

、计算：) (1)

+

6

、已知1a =

，先化简222

2214164821442

a a a a

a a a a a a a --+++÷--+-+-,再求值。

7、已知：3

21

+=a ，321

-=b ，求b a b a 222

2+-的值。

8、已知：2

323-+=

a ，2

323+-=

b ，求代数式223b ab a +-的值。

9、已知30≤≤x ，化简9622+-+x x x

10

、已知2a =a a

a a a a a a 1121212

2

2--+---+-

11

、①已知2222x y x xy y ==+++求：的值。

②已知12+=x ，求1

12

--+x x x 的值．

③)57(9

64222x x y x y +-+ ④3)2733(3

a a a ÷

-

12、计算及化简：

⑴

. 2

2

- ⑵

.

⑶

.

⑷

.

-

13

、已知：11a a +=221

a a

+的值。

14、已知

1

1039

32

2

++=+-+-y x x x y x ，求

的值。

2006年中考复习之二次根式的运算

知识考点：

二次根式的化简与运算是二次根式这一节的重点和难点。也是学习其它数学知识的基础，应熟练掌握利用积和商的算术平方根的性质及分母有理化的方法化简二次根式，并能熟练进行二次根式的混合运算。 精典例题： 【例1】计算：

（1）???

?

??-322212143222； （2）??

?

?

??-+--31221821812； （3）

()

()

()

20021

541

521

52000

2001

2002

++-+-+；

（4）(

)(

)

235235-++

-；

（5）(

)

1

0211321231260sin -??

?

??-+---++

。

答案：（1）3324-

；（2）2433

2-；（3）2002；（4）62；（5）－1 【例2】化简：b a b ab ab b a b a ++÷???

? ??-+ 分析：将

b

a b a +和

b

a b +分别分母有理化后再进行计算，也可将除以ab 变 为乘以

ab

1，

与括号里各式进行计算，从而原式可化为： 原式＝

b a b b

a a ++

-+1＝

1-++b

a b a ＝0

【例3】已知1

31

-=

a ，131

+=

b ，求???

?

??+a b b a ab 的值。 分析：直接代入求值比较麻烦，可考虑把代数式化简再求值，并且a 、b 的值的分母是两个根式，且互为有理化因式，故ab 必然简洁且不含根式，b a +的值也可以求出来。 解：由已知得：b a +＝

213213-++＝3，2

1

=ab ∴原式＝???

?

??+a ab b ab ab ＝b a +＝3 探索与创新：

【问题一】比较23-与12-的大小；34-与23-的大小；45-与34-的大小；猜想n n -+1与1--n n 的大小关系，并证明你的结论。 分析：先将各式的近似值求出来，再比较大小。

∵23-≈1.732－1.414＝0.318，12-≈1.414－1＝0. 414

∴23-＜12-

同理：34-＜23-，45-＜34-

根据以上各式二次根式的大小有理由猜测：n n -+1＜1--n n 证明：n n -+1＝

(

)(

)n n n

n n

n ++++-+111

＝

()()

n

n n n ++-

+112

2

＝

n

n ++11

1--n n ＝

(

)(

)1

1

1

-+-+--n n n n n n

＝

()()

1

1

2

2

-+--n n n n

＝

11-+n n

又∵

n

n ++11＜

1

1

-+n n

∴n n -+1＜1--n n

【问题二】阅读此题的解答过程，化简：a b ab b a b a a 3

22442+--（b a 20<<）

解：原式＝a b ab a b b a a )

44(222+-- ①

＝2

2

)2(2a b a ab b a a -- ② ＝

ab a

b a b a a

?-?-22 ③ ＝

ab a

b

a b a a ?-?-22 ④ ＝ab

问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请填写出该步的代号 ；

（2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 。

分析：此题是阅读形式的题，要找出错误的原因，错误容易产生在由根式变为绝对值，绝对值再化简出来这两步，所以在这两步特别要注意观察阅读。

解：（1）④；（2）化简b a b a 22-=-时，忽视了b a 2-＜0的条件；（3）ab - 跟踪训练： 一、选择题：

1、下列各式正确的是（ ）

A 、ab a b a =2

B 、3244b a b a =（a ＞0，b ＜0）

C 、32-的绝对值是23-

D 、

1

1

31

1131

3--=

-?+-=

+a a a a a a 2、下列各式中与24-a （2

1

>

a ）是同类二次根式的是（ ） A 、3)24(3-a B 、)24(331

-a C 、2-a D 、122-a

3、下列等式或说法中正确的个数是（ ） ①b a b a -=-22；

②a -2的一个有理化因式是a -2；

③

5943

27

12=+=+； ④3333=+；

⑤54

954152=+

。 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个

4、已知2

31+=

a ，23-=

b ，则a 与b 的关系是（ ）

A 、b a =

B 、b a -=

C 、b

a 1

= D 、1-=ab 5、下列运算正确的是（ ） A 、()ππ-=-332

B 、(

)

122

11

-=--

C 、

(

)0230

=-

D 、()

620832

235

2

-=-

二、填空题：

1、比较大小：65 56；213- 617-。

2、计算：4827?＝ ；2

1

32-

＝ ； 102021515???

? ??+＝ ；a a 331241

?＝ ； 32223513459?÷＝ ；102)33(2

.02132)5(--+-++-＝ 。 22)233()233(+--＝ ；20012001)154()154(+?-＝ 。 3、请你观察思考下列计算过程： ∵121112= ∴11121= ∵123211112= ∴11112321=

因此猜想：76543211234567898＝ 。 三、化简题： 1、

)

53)(32(5322++++；

2、xy

xy

y x y x y x

xy 1

23--+； 3、3

21

30cos 60tan 3)1(21)31(8330

0023-+-+---+-x 。 四、已知231

-=x ，求21212

+??? ??

++??? ??+x x x x 的值。

五、计算：

100

9914

313

212

11++

???+++

++

+。

六、先化简，再求值：a a a a a a -+----2

221211，其中3

21

+=a 。 七、已知a

a x 1+

=（10<

求代数式x

x x x x x x x x x x x 42422362222----+---+÷-+的值。

参考答案

一、选择题：CACBD 二、填空题：

1、＜，＞；

2、36，227，210，a a

2

9，645，－1，612-，1；

3、111 111 111； 三、化简题： 1、

22

523-+；2、xy 3；3、134- 四、3414+

五、原式＝)99100()34()23()12(-+???+-+-+- ＝1100- ＝9 六、3

七、∵a

a x 1+=

∴21++

=a a x ，即a

a x 1

2+=- ∴2

21)2(??? ??+=-a a x ，即2

2221214??? ?

?

-=-+=-a a a a x x

∴原式＝22 a