2020-2021学年北京大学附中九年级(上)开学数学试卷 (解析版)
2020-2021学年北京大学附中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．（4分）实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞1B．x≥1C．x＜1D．x≤1
2．（4分）垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．厨余垃圾FoodWaste
B．可回收物Recyclable
C．其他垃圾ResidualWaste
D．有害垃圾HazardousWaste
3．（4分）下列各式中，从左向右变形正确的是（）
A．＝±2B．＝3C．＝D．
4．（4分）已知P1（﹣2，m），P2（1，n）是函数y＝﹣2x+1图象上的两个点，则m与n 的大小关系是（）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定5．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝2，则PB+PE的最小值是（）
A．1B．C．2D．
6．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，∠ABO＝60°，线
段EF绕点O转动，与AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE＝60°时，EF的长为（）
A．1B．C．2D．4
7．（4分）已知△ABC（如图1），按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
8．（4分）如图，动点P在边长为2的等边△ABC的边上．它从点A出发，沿A→C→B →A的方向以每秒1个单位长度的速度运动．如果点P的运动时间为t秒，点P与点C 之间的距离记为y，那么y与t之间的函数关系用图象表示大致是（）
A．B．
C．D．
二、填空趣（本趣共24分，每小题4分）
9．（4分）写出一个比大且比小的整数是．
10．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为．
11．（4分）一次函数图象经过第一、二、三象限，且过点（0，2），写出一个满足条件的一次函数表达式．
12．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为．
13．（4分）如图，△ABC的周长为17，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC＝6，则MN的长度为．
14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k+b与y2＝x+m的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列三个结论中正确的是（填写序号）．
①直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°；
②k+b＞0；
③关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x＜2．
三、解答题（本题共44分，第15、16题每題5分，第17、18题每题7分，第19、20题每题6分，第21题8分）
15．（5分）解方程：x2+3x﹣1＝0（公式法）
16．（5分）已知x＝+1，求代数式x2﹣2x的值．
17．（7分）关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；
（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的解．
18．（7分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G 在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
19．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．
20．（6分）2017年国务院印发《新一代入工智能发展规划》，将人工智能上升为国家战略，我国人工智能领域迎来新的发展契机．根据相关信息，回答问题：
（1）图1反映了我国人工智能专利授权量（单位：件）近些年的变化情况．2017年，中国人工智能专利授权量为件；
（2）图2是2017年前20名中国人工智能国内专利权人的专利授权量的频数分布直方图．
数据被分成5组，其中在100≤x＜200之间的数据分是129，154，155，165，170，170，186，190．则20个专利授权量的中位数是；
（3）2017年中国人工智能国内专利权人的专利授权量在基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支位于前20的统计折线图如图3．依据折线图推断，基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支的专利授权量的方差最小的是．
21．（8分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF 之间的数量关系，并证明．
四、附加题（本题10分）
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，把图形G上的点到直线l距离的最大值d定义为图形G到直线l的最大距离．
如图1，直线l经过（0，3）点且垂直于y轴，A（﹣2，2），B（2，2），C（0，﹣2），则△ABC到直线l的最大距离为5．
（1）如图2，正方形ABCD的中心在原点，顶点都在坐标轴上，A（0，2）．
①求正方形ABCD到直线y＝x+4的最大距离．
②当正方形ABCD到直线y＝x+b的最大距离小于时，直接写出b的取值范围．
（2）若正方形边长为2，中心P在x轴上，且有一条边垂直于x轴，该正方形到直线y ＝x的最大距离大于，求P点横坐标的取值范围．
参考答案
一、选择题（本题共32分，每小题4分）在下列各题的选项中，只有一个是符合题意的．1．（4分）实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞1B．x≥1C．x＜1D．x≤1
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．解：∵实数范围内有意义，
∴1﹣x≥0，解得x≤1．
故选：D．
2．（4分）垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．厨余垃圾FoodWaste
B．可回收物Recyclable
C．其他垃圾ResidualWaste
D．有害垃圾HazardousWaste
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（4分）下列各式中，从左向右变形正确的是（）
A．＝±2B．＝3C．＝D．
【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一判断即可得．
解：A．＝2，此选项错误；
B．＝|﹣3|＝3，此选项计算正确；
C．＝×，此选项错误；
D．+＝2+＝3，此选项错误；
故选：B．
4．（4分）已知P1（﹣2，m），P2（1，n）是函数y＝﹣2x+1图象上的两个点，则m与n 的大小关系是（）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据﹣2＜1即可得出结论．解：∵一次函数y＝﹣2x+1中，k＝﹣2＜0，
∴y随着x的增大而减小．
∵P1（﹣2，m），P2（1，n）是函数y＝﹣2x+1图象上的两个点，﹣2＜1，
∴m＞n．
故选：A．
5．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝2，则PB+PE的最小值是（）
A．1B．C．2D．
【分析】找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可．
解：连接DE交AC于P，连接DE，DB，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD＝PB，
∴PE+PB＝PE+PD＝DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE＝BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）．
在Rt△ADE中，DE＝＝．
即PB+PE的最小值为，
故选：B．
6．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，∠ABO＝60°，线段EF绕点O转动，与AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE＝60°时，EF的长为（）
A．1B．C．2D．4
【分析】证得△ABO为等边三角形，得出∠BAO＝60°，由三角形内角和求出∠AEO＝90°，得出四边形ABFE为矩形，则可得出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，∠ABC＝∠BAD＝90°，
又∵∠ABO＝60°，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∵线段EF绕点O转动，∠AOE＝60°，
∴∠AEO＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∴AB＝EF＝2．
故选：C．
7．（4分）已知△ABC（如图1），按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定和作图依据进行判断即可．
解：由图可知先作AC的垂直平分线，再连接AC的中点O与B点，并延长使BO＝OD，
可得：AO＝OC，BO＝OD，
进而得出四边形ABCD是平行四边形，
故选：B．
8．（4分）如图，动点P在边长为2的等边△ABC的边上．它从点A出发，沿A→C→B →A的方向以每秒1个单位长度的速度运动．如果点P的运动时间为t秒，点P与点C 之间的距离记为y，那么y与t之间的函数关系用图象表示大致是（）
A．B．
C．D．
【分析】分段求出函数表达式即可求解．
解：（1）当点P在AC上运动时，
y＝2﹣t，
（2）当点P在BC上运动时，
y＝t﹣2，
（3）当点P在AB上运动时，
过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝AC sin A＝2×＝，AH＝1；
当点P在点H右侧时，
y＝PC＝＝＝；
该函数为一条曲线，
当点P在CH左侧时，同理函数为一条曲线；
故选：D．
二、填空趣（本趣共24分，每小题4分）
9．（4分）写出一个比大且比小的整数是2，3．
【分析】首先估算与的取值范围，再确定有哪些整数．
解：∵，3＜4，
∴比大且比小的整数是：2，3．
故答案为：2，3．
10．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为﹣2．
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值．
解：把0代入方程有：
a2﹣4＝0，
a2＝4，
∴a＝±2；
∵a﹣2≠0，
∴a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
11．（4分）一次函数图象经过第一、二、三象限，且过点（0，2），写出一个满足条件的一次函数表达式y＝x+2．
【分析】由一次函数的图象经过的象限判断出k，b的取值范围，然后根据其经过的点即可确定最后的答案．
解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，
∵经过（0，2），
∴一次函数可以是y＝x+2
故答案是：y＝x+2．
12．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为+1或﹣1．
【分析】分两种情况：（1）点Q在线段BC的延长线上；（2）点Q在线段CB的延长线上，分别用勾股定理求得QC的长，情况（1）中BQ＝QC+BC，情况（2）中BQ＝QC﹣BC．
解：分两种情况：
（1）点Q在线段BC的延长线上，如图：
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACQ＝180°﹣90°＝90°，
∵AC＝1，AQ＝2，
∴QC＝＝，
∵BC＝1，
∴BQ＝QC+BC＝+1；
（2）点Q在线段CB的延长线上，如图：
∵∠ACB＝90°，AC＝1，AQ＝2，
∴QC＝＝，
∵BC＝1，
∴BQ＝QC﹣BC＝﹣1．
综上，线段BQ的长为+1或﹣1．
故答案为：+1或﹣1．
13．（4分）如图，△ABC的周长为17，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC＝6，则MN的长度为 2.5．
【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA＝BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝17﹣BC＝17﹣6＝11，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，
∴MN＝DE＝2.5．
故答案为：2.5．
14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k+b与y2＝x+m的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列三个结论中正确的是①②（填写序号）．
①直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°；
②k+b＞0；
③关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x＜2．
【分析】结合一次函数的性质、一次函数与不等式的关系，根据图象观察，得出结论．解：由y2＝x+m知：直线与坐标轴的截距相等，所以，直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°，故①的结论正确；
由图知：当x＝1时，函数y1图象对应的点在x轴的上方，因此k+b＞0故②的结论正确；
由图知：当x＞2时，函数y1图象对应的点都在y2的图象下方，因此关于x的不等式kx+b ＜x+m的解集是x＞2，故③的结论不正确；
故答案为：①②．
三、解答题（本题共44分，第15、16题每題5分，第17、18题每题7分，第19、20题每题6分，第21题8分）
15．（5分）解方程：x2+3x﹣1＝0（公式法）
【分析】根据公式法，可得方程的解．
解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣1
△＝b2﹣4ac＝13＞0
∴x＝＝
x1＝，x2＝﹣．
16．（5分）已知x＝+1，求代数式x2﹣2x的值．
【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案．
解：x2﹣2x＝x（x﹣2），
当x＝+1时，
原式＝（+1）（﹣1）
＝2．
17．（7分）关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；
（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的解．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝1﹣4m≥0，然后解不等式即可得到m的范围；
（2）在（1）中m的取值范围内确定满足条件的m的值，再解方程即可得到结论．解：（1）根据题意得△＝1﹣4m＞0，
解得m＜；
（2）∵m≤，
∴m的最大整数为0，
此时方程变形为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
18．（7分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G 在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【分析】（1）根据菱形的性质得出OB＝OD，再由点E是AD的中点，所以，AE＝DE，进而判断出OE是三角形ABD的中位线，得到AE＝OE＝AD，推出OE∥FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF＝＝3，于是得到结论．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，OB＝OD
∵E是AD的中点，
∴AE＝OE＝DE＝AD，
∴∠EAO＝∠AOE，∵AE＝DE
∴OE是三角形ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
19．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝1，再将点A（1，2）代入y＝x+b，
求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）根据点（1，2）结合图象即可求得．
解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，
∴k＝1，
将点（1，2）代入y＝x+b，
得1+b＝2，解得b＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）把点（1，2）代入y＝mx，求得m＝2，
∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x+1的值，∴m≥2．
20．（6分）2017年国务院印发《新一代入工智能发展规划》，将人工智能上升为国家战略，我国人工智能领域迎来新的发展契机．根据相关信息，回答问题：
（1）图1反映了我国人工智能专利授权量（单位：件）近些年的变化情况．2017年，中国人工智能专利授权量为17477件；
（2）图2是2017年前20名中国人工智能国内专利权人的专利授权量的频数分布直方图．
数据被分成5组，其中在100≤x＜200之间的数据分是129，154，155，165，170，170，186，190．则20个专利授权量的中位数是141.5；
（3）2017年中国人工智能国内专利权人的专利授权量在基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支位于前20的统计折线图如图3．依据折线图推断，基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支的专利授权量的方差最小的是基础硬件．
【分析】（1）根据图1中的数据，可以写出2017年，中国人工智能专利授权量；（2）根据题意和题目中的数据，可以得到20个专利授权量的中位数；
（3）根据图3中的数据和波动越小，方差越小，可以解答本题．
解：（1）由图1可知，
2017年，中国人工智能专利授权量为17477件，
故答案为：17477；
（2）由题意可得，
20个专利授权量的中位数是（129+154）÷2＝141.5，
故答案为：141.5；
（3）由图3可知，
基础硬件波动最小，故三个分支的专利授权量的方差最小的是基础硬件，
故答案为：基础硬件．
21．（8分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF 之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由三角形的中位线定理得DE∥BC，DE＝，进而证明四边形CEDF 是矩形得DE＝CF，得出CF，再根据勾股定理得结果；
（2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM 得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，进而根据勾股定理得结论．
解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴DE＝CF＝BC，
∴CF＝BF＝b，