数学物理方法大作业1

数学物理方法大作业1 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

目录

一．实际现象的描述3

二．问题的求解4

（一）求弦振动泛定方程4

（二）解弦振动方程 (6)

Ⅰ.达朗贝尔法求“无限和半无限的”弦振动函数 (6)

Ⅱ.分离变量法求两端固定弦振动方程 (7)

三．各种情形下的弦振动求解及图像 (9)

四．总结21

一·实际现象的描述

演奏者在演奏弦乐器（如二胡、提琴）时，用弓在弦上来回拉动，并通过另一只手指在按不同弦的不同地位的协调作用，奏出各种不同的美妙的音乐。演奏者所用的乐器不同，奏出音乐的悦耳度也就不同。

演奏者虽然用弓所接触的只是弦的很小一段，似乎应该只引起这个小段的振动，而事实上，振动总是传播到整根弦。

这振动是怎样传播的呢如何利用数学方法来求解这种物理问题如何通过直观的方程来说明不同乐器演奏出的音乐效果不同的原因可否利用matlab来将这种振动直观表示出来

通过对于弦振动方程的学习，及对matlab的初步了解，我对于不同定解问题下弦振动方程的求解做了初级小结。也尝试利用matlab直观表述不同定解条件下的弦振动动态图像。

二·问题的求解

（一）求弦振动泛定方程

在求解时，我们不妨认为弦是柔软的，就是说在放松的条件下，把弦完成任意的形状，它都保持静止。由于弦乐器所用的弦往往是很轻的，它的重量只有张力的几万分之一。跟拉力相比，弦的重量完全可以略去，这样，真实的弦就抽象为“没有重量”的弦。

把没有重量的弦绷紧，它在不振动时是一根直线，就取这直线作为x轴。把弦上各点的横向位移记作u。这样，横向位移u是x 和t的函数，记作u（x，t）。要求解弦振动，首先应找出u所遵从的方程。

把弦细分为许多极小的小段，拿区间(x,x+dx)上的小段B为代表加以研究。B既然没有重量而且是柔软的，它就只受到邻段A和C的拉力和。弦的每小段都没有纵向（即x方向）的运动，所以作用于B的纵向合力应为零。

弦的横向加速度记作。按照，小段B的纵向和横向运动分别为

式中时弦的线密度，即单位长度的质量。ds为小段B的弧长。

因考虑的振动为小范围振动，这时、为小量，如果忽略、以上的高阶小量，则，，

，，

,又，

。这样，（1）和（2）简化为

因此，弦中张力不随x而变，它在整根弦中取同一数值。另一方面，在振动过程中的每个时刻都有长度ds=dx，即长度