六年级工程问题专题案例

六年级工程问题专题案

例

Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

第七讲 工程问题

一、知识要点

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，

都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 工作总量=工作效率×工作时间.

在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”. 举一个简单例子：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成

一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，因此甲的工作效率是

10

1，乙的工作效率是151，我们想求两人合作所需时间，就要先求两人合作的工作效率15

1101+，再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量÷工作效率 =6（天）.

两人合作需要6天.

这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的. 为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），可把工作量多设份额.如上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是

30÷（3+ 2）= 6（天） 实际上我们把111()1015

÷+这个算式，先用30乘了一下，都变成整数计算，就方便些.

10天与15天，体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系11:3:21015

=.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也是非常实用的.根据3:2，两人合作时，甲应完成全部工作的33325=+，所需时间是31065

?=（天）.

因此，在下面例题的讲述中，我们可以采用“把工作量设为整体1”的做法，也可

以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活

一些.

二、典型例题

例1. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工

作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作

解析：甲的工效：1÷9＝1/9 乙的工效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9 × 3＝1/3 余下的工作：1 － 1/3 ＝2/3 乙需做的天数：2/3 ÷ 1/6＝4（天）

例2.有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。这个工程由丙队单独做需几天完成

解析：1-（1/24+1/30）×8=2/5 6÷2/5=15天

例3.某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成，若由甲乙两人合作，

需48天完成，现在甲先单独做42天，然后由乙来单独完成，那么还需要多少天

解析：某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天可以完成,可看成甲乙合作28

天，甲再另外做了35天所以甲的工效为(1-28/48)/35=1/84，乙的工效为1/48-

1/84=1/112甲先单独做42天，然后由乙接着做，还需(1-42*1/84)/(1/112)=56天

另一个方法：令甲每天做工程的百分比为x，乙每天做工程的百分比为y则63x+28y=1 48(x+y)=1求得x=1/84 y=1/112若甲独做42天，则完成工程的42/84，即1/2，剩下

1/2由乙完成，需要1/2÷1/112=56天

例4.一项工程，甲乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比乙每天多完

成这项工程的1

30

，甲乙单独做这项工程各需要多少天

甲单独做需X天，乙单独做需y天4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1 1/x -1/y=1/30 X=10 Y=15甲单独做需10天，乙单独做需15天

设甲单独做需X天，那么甲平均每天完成工程的1/X；

因为甲比乙每天多完成这项工程的30分之一，就是说，乙平均每天完成1/X-1/30；按照已知条件，甲乙合作4天，4/X+4*(1/x-1/30)，

随后，乙单独做了5天，5*(1/x-1/30)，

加在一起，完成了这项工程，即，4/X+4*(1/x-1/30) + 5*(1/x-1/30) =1

x=10

乙每天完成 1/10-1/30=1/15，即，乙单独做需15天

例5. 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天

16天中甲实际休息了16-3=13天

甲完成了13/20

乙完成了1-13/20=7/20

需要时间：7/20÷1/30=天

所以乙休息了=天

例6. 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天

解析1：先让张某单独完成乙，李某单独完成甲。乙还剩1-8/15=7/15

两人合作时间为：7/15/（1/15+1/20)=4 所以至少要工作：8+4=12（天）

解析2：小李做甲工效高

小李先做甲,小张先做乙,小李完成甲以后再和小张一起做乙

至少需要:(1-8/15)÷(1/15+1/20)+8=12天

例7.甲、乙合做一件工作要15天才能完成，现在甲、乙合做10天后，再由乙独做6天，还剩下这件工作的1/10，甲单独完成这件工作要多少天

解析：甲乙合作10天，完成了：10×1/15＝2/3 乙独做6天完成了：1－2/3－1/10＝7/30 乙每天完成：7/30÷6＝7/180 甲独做需要：1÷（1/15－7/180）＝36（天）

例8. 一项工程甲队单独做15天可以完成，乙队独坐10天可以完成。现在开始两队合作，但中间乙队因另有任务调走，从开始到完成任务，甲队工作了9天，乙队比甲队少工作了多少天

解析：甲独做一天的工效为1/15，乙独做一天的工效为1/10。

合做分想：这项工程甲做了9天，剩下的都是由乙队完成的。

可以用工作总量减去甲队9天的工作量，求出乙队工作量，再根据乙队的工作量和工效求出乙队的工作时间：（1－1/15×9）÷1/10＝4（天）。所以乙队比甲队少工作天数为：9－4＝5

例9. 甲、乙合做一件工作，合作8天后，乙又独做5天，还剩下这件工作的1/6。已知乙单独完成这件工作要30天，那么甲单独完成这件工作要多少天

解析：1-1/30×（8+5）-1/6=12/30=2/5 2/5÷8=1/20 所以需要20天

例10. 甲、乙合做一件工作，每天能完成全部工作的1/12，甲单独做6天，乙又单独做10天后，还剩下全部工作的11/30没有完成，甲单独完成全部工作要多少天

解析：6*1/12=1/2 1-11/30-1/2=2/15 (2/15)/(10-6)=1/30 1/(1/12-1/30)=20

例11..一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天。若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天

解析1：当做鸡兔同笼问题处理，如果10天都是乙做，能完成：1/9×10=10/9，

超出了：10/9-1=1/9，每天，甲比乙少做：1/9-1/12=1/36，甲做了：1/9÷1/36=4天解析2：设甲做了X天 X×1/12＋(10-X)×1/9＝1，得出X＝4

甲做了4天

例12. 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天

解析：设甲做了x天，则乙做了3x天，丙做了6x天，所以x/12+3x/18+6x/24=1，

x/2=1

x=2，所以总共用了2+3*2+6*2=20天

例13. 一份稿件，甲、乙、丙三人单独打字需要的时间分别是20小时、24小时、30小时，现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用12小时完成，甲只打了多少小时

解析1：甲、乙、丙每小时单独打出稿件的1/20,1/24,1/30，打了12小时，则乙和丙分别打了全部稿件的 12/24,12/30，12/24+12/30=9/10，则甲打了稿件的十分之一，(1/10)除以（1/20)=2

甲打了2小时

解析2：方程法：设甲打x小时。则：x/20+12*（1/24+1/30）=1，可解出X=2

例14. 一项工程甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天。现在由甲、乙、丙合作完成此工程，在工作过程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最后把工程完成了，问完成这项工程前后一共用了多少天

解析1：方程法设是第x天完成的，(x-2)/30 +(x-3)/45 +x/90=1整理，得x=17

解析2：(1+2/30+3/45)/(1/30+1/45+1/90)=17(天)

解释：假若甲、乙没休息，那么应该完成总工程的1+2/30 +3/45

例15. 一项工程，甲、乙两人合做4天后，再由甲单独做6天才完成全部任务。已知甲比乙每天多完成这项工程的1/80,则甲、乙单独完成各需多少天

解析1：思路同第四题，设乙每天完成的工作占整个工作的x ，

4(x+x+1/80)+6(x+1/80)=1

x=1/16，x+1/80=3/40，所以甲40/3天完成，乙16天完成

解析2：甲比乙多完成全部任务的：1/80*（4＋6）＝1/8（4＋6表示甲一共做了10天）1-1/8＝7/8（相当于两人均以乙的工效完成的工作量）4＋4＋6＝14（天）乙每天完成：7/8÷14＝1/16，甲每天完成：1/16＋1/80＝3/40，单独完成甲要：1÷3/40＝13又1/3（天）

例16. 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成

解析：甲乙合作的效率=1÷36=1/36，乙丙合作的效率=1÷45=1/45，甲丙合作的效率=1÷60=1/60，甲乙丙三人合作的效率=(1/36+1/45+1/60)÷2=1/30

甲工作的效率=1/30-1/45=1/90

三、练习题

1. 某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半 解：3)15

1101(21=+÷天 2. 某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。

3. 一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。现在合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了24天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天

4. 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天

分析与解：以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效

5. 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队

合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了

多少天

分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天”这样一来，问题就简单多了。

答：甲队干了12天。

6. 制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间

比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件

解一：仍设总工作量为1.

甲每天比乙多完成

因此这批零件的总数是

丙车间制作的零件数目是

答：丙车间制作了4200个零件.

解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.

乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知

乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.

已知

甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.

综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是

12∶8∶7.

当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是

2400÷（12- 8）× 7= 4200（个）.

7.搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的

仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间

解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是

答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.

解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4.

三人共同搬完，需要

60 × 2÷（6+ 5+ 4）= 8（小时）.

甲需丙帮助搬运

（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）.

乙需丙帮助搬运

（60- 5× 8）÷4= 5（小时）.

8.一件工作，甲独做12天完成，乙独做18天完成，丙独做24天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作，求这件工作做完共用了多少天

【解析】：

解法一：列方程解答。

设甲先做了X天，则乙接着做了3 X天，丙做了（2×3）X天，由题意可得：

X×1/12＋3X×1/18＋（2×3）X×1/24＝1

解得：X＝2

所以这件工作做完共用时间：

2×（1＋3＋2×3）＝20（天）。

解法二：

把甲的工效（一天的工作量）、乙工效的3倍、丙工效的6倍合起来的工作量看作一份，总工作量里有这样的几份，甲就工作了几天，可以求出甲工作的天数为：

1÷（1/12＋3×1/18＋2×3×1/24）＝2（天）

所以这件工作做完共用时间：

2×（1＋3＋2×3）＝20（天）。